Родился в Харькове в семье врачей. В старших классах школы сильно увлекся рок-музыкой и в течение пяти лет занимался игрой на барабанах, мечтая о карьере профессионального музыканта и собственных записях. Однако финансовые проблемы вынудили его расстаться с этой мечтой. Служил в Роганском отдельном радиотехническом батальоне Вооруженных Сил Украины. После основного срока, остался в армии на сверхсрочную службу. После армии некоторое время работал в качестве охранника, в автомастерской, именно там появились первые главы «Ветра и стали».

В 1996 году Алексей показал «Ветер и сталь» харьковскому фантасту Дмитрию Громову, с которым был знаком ещё с времен активного увлечения роком в юности. Ознакомившись с творчеством Бессонова, Громов убедил его в необходимости заняться литературой всерьез. Последовав его совету, в 1996 году был написан роман «Маска власти» и повесть «Мир в красном камне», продолжающие историю об Алексе Королёве. Через месяц после окончания работы над «Маской власти» к произведениям молодого автора проявило интерес издательство «ЭКСМО», и в 1998 году была опубликована дебютная книга Алексея Бессонова «Ветер и сталь», в которую вошли все три этих произведения. Несколько позже вышла дилогия «Замкни судьбу в кольцо», состоящая из романов «Наследник судьбы» и «Ледяной бастион». Именно вселенная Алекса Королёва — мир Империи и Конфедерации, по которому автором создано 10 произведений, принёс Бессонову популярность.

В 1999 году был написан отдельный фантастический роман, действие которого происходит не в мире Королёва, а в Европе Второй мировой войны — «Алые крылья огня». Он является единственным крупным произведением автора вне каких-либо циклов и серий. К 2001 году писателем было написано более десятка рассказов, принятых к публикации журналами «Порог» (г. Кировоград), «Уральский следопыт» (г. Екатеринбург), «Звёздная дорога». В том же году Алексей впервые посетил харьковский фестиваль «Звёздный мост», где был не только в качестве молодого писателя, но и принял участие в качестве ударника в сейшн-концерте вместе с писателями Юлием Буркиным и Владимиром Васильевым  и харьковской рок-группы «Пасхальное Шествие». Впоследствии Бессонов участвовал практически во всех «Звёздных мостах» и «Росконах». Неоднократно номинировался на различные награды конвентов. В 2007 году на «Звёздном мосту» получил премию от мэрии Харькова, которая вручается писателям-харьковчанам за достойное представление родного города в фантастической литературе.

С 2005 года живёт в Санкт-Петербурге, где продолжает заниматься творческой деятельностью. В 2005 же году выходит роман «Извне», и автором создаётся его предыстория — «Концепция Лжи». В 2007 году выходит роман из серии «Миры Конфедерации» — «Пройдя сквозь дым», а в 2008 — первый авторский сборник Алексея — «Корпорация „Феникс“», включающий в себя два цикла рассказов. Первый цикл «…про барона и дракона» написан в юмористической и даже пошловатой манере, высмеивающей романтизацию условно-средневекового мира и жанр фэнтази в целом. Второй, один из рассказов которого и дал название книге, называется «На борту „Гермеса“» и представляет собой типичный набор из шести забавных коротких историй в духе «ААА-ПОПС» Роберта Шекли. «Космические дальнобойщики» Сэмэн Колоброд и Персиваль Пиккете, а также примкнувшем к ним инопланетянине Тхоре, похожий на здоровенного четырехрукого кролика с мехом в полоску, путешествуют по космосу и попадают в различные курьёзные ситуации.