Алексей Семихатов
вычислено = 1,00115965218161(24),
измерено = 1,00115965218059(13)
Вполне возможно, что в один прекрасный день мы обнаружим расхождения квантовой теории с экспериментами. Однако данные на сегодняшний день подтверждают тот взгляд, что наша Вселенная является квантовой до самой сердцевины, и поэтому нам необходимо согласовать принцип суперпозиции, унитарность и их последствия – иллюстрируемые, например, нарушением неравенства Белла – с нашим восприятием и пониманием.
Есть и другой знаменательный взгляд на постоянную Планка: размерностью кг · (м/с) · м обладает физическая величина, связанная с вращением и называемая моментом количества движения, или моментом импульса. Выражает она, если говорить неформально, «степень раскрутки» – насколько трудно остановить вращение (в обычном, неквантовом мире она представляет собой произведение массы вращающегося тела на его скорость и на расстояние до оси вращения). Вот эта величина оказывается в квантовом мире всегда «порционной», и размер ее «порций» пропорционален постоянной Планка. А поскольку это еще и сохраняющаяся величина, убыль ее в одной системе означает такое же увеличение в другой, и передается она тоже только порциями. Конечно, когда мы имеем дело с любым макроскопическим телом (типа грузика, вращающегося на нитке), кажется, что ее можно изменять непрерывно, потому что размер таких порций совершенно ничтожен в сравнении с самой величиной (похожим образом ступенчатая регулировка кажется непрерывной, если шаг ее очень мал). Про «степень раскрутки» можно при желании думать, что это самая квантовая величина – она всегда квантована. Она не раз еще встретится нам в последующих главах.
Возвращаясь к энергии: про нее, повторюсь, нельзя сказать, что она всегда и везде меняется ступеньками и передается порциями. Не всегда – но в очень многих случаях, и все такие случаи имеют ключевое значение для нашего существования. Этих порций в обычной жизни мы тоже не замечаем, потому что в большинстве процессов, которые нас окружают, их такое огромное количество, что они сливаются в нечто непрерывное. Песок, отгружаемый из карьера, тоже выглядит как непрерывная среда. Другое дело, когда песка совсем мало, как в песочных часах: тогда становится важно, что он состоит из песчинок. При большом желании их можно даже пересчитать.
Песчинки, конечно, только метафора. Порции энергии связаны с различными носителями, которые не следует представлять себе в виде сверхмалых песчинок. Они совсем другие – во многом из-за того, что существуют в условиях вечной и неизбывной вражды. Вражда, лежащая в основании нашего мира, и объясняет появление энергетической дискретности.
3
Что враждует
Невидимые глазу электроны в невидимых атомах скрывают дискретность: они могут существовать там, только если обзавелись разрешенными значениями энергии «из списка». У невидимой части этой истории есть и очень даже видимые проявления: атомы поглощают и излучают свет вполне определенных длин волн. Сами по себе эти длины волн – ничем не примечательные числа (измеряемые сотнями нанометров с некоторым количеством десятичных знаков после запятой). Но в серии из нескольких длин волн скрываются целые числа. Для атомов водорода это странное явление было замечено еще за 40 лет до создания квантовой механики, за 15 лет до гипотезы о световых квантах и вообще за 12 лет до открытия электрона – в 1885 г. Нашлось математическое выражение, включающее одну постоянную величину и целое число, из которого, если последовательно принимать это число равным 3, 4, 5, 6 и 7, получаются одна за другой несколько длин волн, испускаемых или поглощаемых водородом. Такое положение дел представлялось в то время неразрешимой головоломкой, но теперь мы знаем, что эти целые числа – номера разрешенных значений энергии из списка.
От квантовой механики требуется ответ, почему так устроена жизнь электронов в атомах и почему атом можно собрать из ядра и электронов, только если соблюдены жесткие требования дискретности.
Этим ответом не могут быть слова «потому что таковы свойства атома». Это никакое не объяснение. Но ответ может опираться на общие законы природы – применимые к электронам, протонам и т. п. – с возможными дополнениями по поводу каких-либо свойств электронов самих по себе. Тогда мы объясним строение атома через более фундаментальные понятия, напрямую с атомом не связанные. Стоит помнить при этом, что любая цепочка объяснений неизбежно где-то заканчивается: фундаментальные понятия и законы потому и фундаментальны, что не объясняются ни через что другое (наоборот, «всё» объясняется через них).
Один такой фундаментальный квантовый закон и составляет предмет этой главы. Суть его в том, что некоторые используемые при описании мира величины – такие как положение в пространстве и скорость – враждуют друг с другом. Враждуют в том смысле, что не могут одновременно иметь точно определенные значения для одного и того же квантового объекта. Практически так же, как невозможно равенство 0 = 1, невозможно и одновременно снабдить, скажем, электрон точным положением в пространстве и точным значением скорости. Или одно, или другое. Вместе они к электрону не прикрепляются. Это фундаментальный закон природы{8},{9}.
Возможно, здесь самое время подумать, как удачно, что электроны никак не выглядят, – ведь непонятно, как могло бы выглядеть такое необычное, «половинное» (или действительно половинчатое) существование. (Не самая, возможно, удачная метафора, но как действительно представлять себе табуретку, у которой точно определена или форма сиденья, или длина ножек?)
Последствия вражды между положением в пространстве и скоростью многочисленны. Для начала, в квантовом мире запрещен покой. Покой означал бы, что и положение, и скорость (равная в данном случае нулю) определены одновременно. Тут можно потренироваться в подавлении своей интуиции. Так и хочется спросить: «Как это запрещен? А если я возьму и остановлю что-то в одной точке?» А как, простите, вы собираетесь это сделать? С помощью чего именно и как будете контролировать свои действия? Можно попробовать облучать электрон светом, чтобы узнать, где он находится. Для хорошей точности потребуется свет с очень малой длиной волны, но тогда даже один фотон окажется таким энергичным (и будет заодно нести такой импульс), что передаст вашему электрону некоторую скорость. Продолжение рассуждений показывает, что нет процедуры, позволяющей обеспечить полную неподвижность квантового объекта. И это – не последствия нашей неизобретательности, а отражение того факта, что неподвижность невозможна как таковая.
И не только покоя нет. Запрещено еще и перемещаться из одной точки в другую по траектории. Да, в квантовом мире невозможно движение по траектории. Траектория – линия, строго говоря, воображаемая, но она дает неплохое описание того, как движутся обычные тела – например, песчинки, которые я сдул с ладони. Каждая точка траектории – это определенное положение в некоторый момент времени. А поскольку это положение плавно меняется с течением времени, в каждой точке траектории определена еще и скорость. Именно это в силу квантовой вражды и невозможно, причем в смысле строгого математического «нельзя».
Кроме того, вражда напрямую затрагивает и энергию, и вот каким образом. Как правило, энергия складывается из двух частей различной природы: энергии движения и энергии взаимодействия; первая зависит от скоростей, а вторая – от взаимного расположения всех самостоятельных компонентов системы. Запрет на одновременное существование точно определенных скорости и положения приводит к тому, что эти две части энергии также не могут иметь определенные значения одновременно. Но во что же тогда превращается полная энергия – сумма враждующих величин?
Мы продолжаем погружение в мир, лишенный наглядности. Энергия оказывается там не числом, а довольно абстрактной математической конструкцией – операцией. Предназначение этой операции – не выражать какое-то численное значение, а быть агентом воздействия, т. е. производить изменения. Не самый последний вопрос при этом – изменения в чем? В состоянии той квантовой системы, которую мы взялись описывать. Энергия превращается в орудие воздействия на состояния. Дело «всего лишь» в том, что сами состояния – это вовсе не наглядные описания «что где находится и куда и как движется» (они, как мы только что обсуждали, невозможны). Вместо этого состояния – это объекты, населяющие специальные математические пространства. Они представляют собой «рабочих лошадок» квантовой механики, и мы познакомимся с ними подробнее в следующих главах. Сейчас же главное для нас в том, что это математические объекты, а поэтому к ним можно применять различные математические же операции. Квантовая механика этим и живет.
Вообще за каждой физической величиной в самой глубине всей схемы квантовой механики стоит определенная операция – «преобразователь» в специальном математическом пространстве{10}. Причина вражды любых двух величин, в том числе и между положением в пространстве и скоростью, – вражда отвечающих им операций там, в «математическом ядре» квантовой теории. Происходящее там абстрактно, но не лишено изящества: две физические величины враждуют по той единственной причине, что отвечающие им абстрактные операции чувствительны к порядку, в котором они выполняются. Это значит, что выполнение сначала операции А, а потом операции Б дает другой результат, чем выполнение сначала Б, а потом А. Вообще-то в отношении операций это не слишком удивительно и наша обычная жизнь полнится примерами того, как важен порядок действий. Я ограничусь безобидным «сначала порезать овощи, а потом их пожарить, или наоборот»: каждая операция изменяет то, к чему она применяется (состояние овощей), но результат очевидным образом зависит от порядка. (Небольшое размышление показывает, что зависимость от порядка окружает нас в жизни буквально со всех сторон.)
Возвращаясь к энергии, состоящей из двух враждующих частей и ставшей поэтому не числом, а операцией: вражда между двумя ее частями в полной мере разворачивается при наличии притяжения между атомным ядром и электроном, потому что притяжение зависит от расстояния, т. е. в общем от положения в пространстве, в то время как энергия движения зависит от скорости. Две «конфликтующие стороны» преобразуют математические состояния очень по-разному: когда одна сторона вызывает незначительные изменения, другая «назло» – очень существенные, и наоборот. Энергия в результате становится в математическом пространстве свирепым преобразователем, от которого (почти) никому нет спасения.
Такая беда с энергией «мешает» существованию атома, поскольку энергия изолированного атома не должна меняться со временем (иначе с атомом что-нибудь происходит), а для этого уж во всяком случае обязана иметь какое-то численное значение!
«Мешает» действительно настолько сильно, что собрать атом из ядра и электронов невозможно почти никогда – за исключением специальных случаев «примирения». Оно наступает, если среди математических состояний, подвергаемых преобразованиям, найдется такое, что две враждующие части энергии, действуя совместно, почти его не изменяют. Что означает «почти», сказано в следующем абзаце, а случиться подобное может, только если энергия каждого электрона принимает одно из специальных (численных) значений.
Список разрешенных значений энергии возникает как условие «примирения» враждующих вкладов в энергию электрона в атоме в исключительных случаях. Для этого необходимо, чтобы существовал специальный математический объект, которому удается почти не меняться под действием энергии как операции, а именно, отделаться просто умножением на число. (Это и правда мягкий вариант изменения; в качестве бытового примера можно сравнить изменение текста из-за того, что размер всех шрифтов в нем умножен на некоторое число, с пропусканием страниц через шредер.) Появляющееся таким образом число и становится энергией электрона в атоме. Так формируется весь список энергий, при которых только и может существовать атом, – и возникает дискретность, которую мы обсуждали в предыдущей главе.
Для сравнения, у электрона, свободно летящего в пространстве, никакой дискретности нет; его энергия целиком сводится к энергии движения. Она выражается только через скорость, враждовать ей в данном случае не с кем, и никаких отдельных разрешенных значений энергии движения не возникает. Дискретно многое, но не всё.
В истории создания квантовой механики можно при желании усмотреть символизм, перекликающийся с характерной для нее самой «враждой», т. е. наличием несовместимых величин. Поначалу такими же несовместимыми выглядели две идеи, высказанные двумя разными людьми, но при этом – несмотря на кажущуюся непримиримость самих идей и приближающиеся к враждебным отношения между их авторами – вместе составившие основу квантовой механики.
Противостоящие одна другой идеи принадлежали Гайзенбергу (которого немало вдохновлял Бор) и Шрёдингеру (которого вдохновляло нечто иное).
Создатели нового описания мира пришли к осознанию, что структуру атома нельзя постичь, распространяя на него привычные модели и полагаясь на интуицию и «само собой разумеющиеся» факты. Все, что «само собой разумеется», – обобщение опыта, накопленного в классическом мире, и сколь бы естественными ни казались нам некоторые вещи, их нельзя переносить в квантовый мир без абсолютной необходимости. Рассуждения без привлечения «само собой разумеющегося» требовали немалой дисциплины мышления, и первым тут достиг успеха Гайзенберг (июнь 1925 г.). Он смог сформулировать правила описания квантовых объектов, очень строго следя за тем, чтобы иметь дело только с тем, что можно было в принципе извлечь из экспериментов, и не привнося никаких «самоочевидных» идей. Электрон в атоме, по Гайзенбергу, вел существование, привязанное только к переходам между дискретными значениями энергии – только тогда он заявлял о себе, излучая или поглощая порцию света определенной длины волны. Гайзенберг создал целую систему для обращения с дискретными величинами вместо обычных непрерывных. На ее основе удалось вычислить – математически вывести – энергетические ступеньки (разрешенные значения энергии) в атоме водорода.
Атом был «спасен»: электрон не оказывался в объятиях атомного ядра, отдав всю свою энергию в виде света (проблема, о которой мы говорили в главе 2), потому что в списке разрешенных значений имелась наименьшая энергия. С нее начинается список, и электрону, который ее приобрел, просто «некуда бежать», отдавая энергию.
Формализм получился достаточно громоздкий, но это тем не менее был колоссальный прорыв. Дискретность присутствовала в нем с самого начала, и самой существенной способностью электрона в атоме оказывалась способность совершать «скачки» между разрешенными значениями энергии. Происходящее же между скачками представлялось неважным; говорить о нем даже и не следовало: в условиях недоступности прямого наблюдения ему приписывалось не совсем полноценное существование.
Справедливости ради надо сказать, что эти отчасти философские идеи о характере существования электронов в атоме добавились к математическому аппарату не сразу и заведомо не одновременно с написанием правильных формул, позволявших делать вычисления. Возможность вычислять была на первом месте, и согласие результатов с наблюдениями служило обоснованием формул. Формулы тем не менее все же несли в себе вопрос о своем смысле. Идеи по их интерпретации набирали силу в течение нескольких лет, и существенную роль тут сыграл старший коллега и до некоторой степени наставник (очень молодого тогда) Гайзенберга – Бор. Он же взял на себя роль «разъяснителя» свойств квантового мира и наших отношений с ним для научного сообщества. Именно отношения исследователя и природы все больше выходили на передний план, тогда как физическому миру «самому по себе» Бор отказывал в полноценном существовании; обсуждать следовало лишь то, что можно наблюдать, поэтому далеко не про все в квантовом мире имеет смысл спрашивать и не всему разумно искать «объяснения»{11}.
Совсем другую идею по поводу того, как описывать квантовые явления, примерно с полугодовым отставанием от Гайзенберга высказал Шрёдингер. Он предложил (рубеж 1925 и 1926 гг.) непрерывную схему описания квантовых явлений вообще. На первый взгляд, согласно идеям Шрёдингера, квантовые объекты слагались из чего-то типа разлитых в пространстве волн – которые решительно не испытывали никаких скачков, а эволюционировали с течением времени по закону, который Шрёдингер же и сформулировал (исключительно удачно придумал) и который превратился затем в основное вычислительное средство квантовой механики под названием уравнения Шрёдингера.
Начал Шрёдингер тоже с того, что применил свое уравнение для математического вывода разрешенных значений энергии в атоме водорода (и с тех пор все тоже так поступают). Однако в его подходе было гораздо яснее, как действовать – по крайней мере, как записать нужные уравнения – и для более сложных атомов. Математические «чудеса», благодаря которым из непрерывного (чего-то типа волны) получалось дискретное (энергетические ступеньки, согласующиеся с экспериментом), были красивы и содержательны (свирепая энергия все-таки производит определенное число, действуя на очень специальный математический объект, как вкратце обсуждалось выше).
Однако не все шло гладко. Очень быстро выяснилось, что с задачей стать «материалом» для построения квантовых объектов эти вроде-бы-волны не справляются. Фундаментальная причина состояла в том, что они в действительности не бегают по пространству таким образом, что каждому квантовому объекту отвечает своя волна. Это обстоятельство глубже и сложнее, чем может показаться на первый взгляд. Да, в числе мотиваций самого Шрёдингера была идея, что объекты, считающиеся частицами (электроны), проявляют волновые свойства. Эту идею несколько ранее высказал де Бройль, а немного позднее, в 1927 г., она стала экспериментальным фактом. Но при этом не верно, что в системе из нескольких электронов каждый представлен своей волной. Ничего подобного в схеме, предложенной Шрёдингером, нет. Там необходимо сразу указать столько точек в пространстве, сколько у вас электронов, и только тогда будет математически определена «величина» (амплитуда) этой вроде-бы-волны – и относиться она будет ко всем электронам, вместе взятым. Связь с событиями в отдельных точках физического пространства при этом теряется.
Неудивительно, что Гайзенберг воспринимал «конкурирующую фирму» в штыки, на научных собраниях выступал с обоснованной критикой, а в переписке не очень стеснялся в эпитетах, доходя чуть не до «отвратительная». Удивительно, однако, что «выявленные недостатки» шрёдингеровского подхода мало чему помешали!
Шрёдингер же не только «решил» атом водорода, но и сумел математически показать, каким образом из его подхода к квантовой теории воспроизводится весь подход Гайзенберга целиком, – по существу продемонстрировал, что эти два подхода математически эквивалентны друг другу, несмотря на радикальное различие в форме и вообще кажущуюся противоположность. В итоге оказалось, что по сути одну и ту же теоретическую схему открыли дважды – независимо и на двух различных языках, достаточно различных для того, чтобы поначалу выглядеть антагонистами. Это не самая частая ситуация в истории науки, а с учетом того, насколько абстрактные конструкции при этом использовались, вообще единственная. Заодно это было веским свидетельством в пользу только-только придуманного формализма квантовой механики. С тех пор у нас есть единая квантовая механика, хотя и бывает, что находится повод говорить о матричной механике или волновой механике (это Гайзенберг и Шрёдингер соответственно).
Непримиримость двух подходов закончилась их вынужденным примирением ввиду математической эквивалентности. А вот представления о природе реальности, стоящие за каждым из двух видов математического формализма, оставались различными. Различие взглядов уходило вглубь, до разногласий о том, из чего состоит мир и в каком отношении с миром находится наше знание о нем. При этом никуда не делась проблема, что шрёдингеровские волны – это не волны в пространстве.
Эйнштейн в одном своем письме отзывался о текущем состоянии дел в квантовой науке так: «Квантовая теория подверглась полной шрёдингеризации, из-за чего имеет много практических успехов». А затем продолжал: «Но это тем не менее не может быть описанием реального процесса. Здесь тайна».
Мы вернемся к уравнению Шрёдингера в главах 9 и 10. Тайна там действительно есть.
4
Что еще из-за вражды
Вражда, отбирающая свойства, в квантовом мире повсюду. Когда электрон на постоянной основе живет в атоме, его энергия там постоянна (и, как мы уже видели, далеко не произвольна). «Математика вражды» говорит, что из-за наличия определенного значения энергии у электрона в атоме не может быть никакого определенного положения в пространстве. Положение в пространстве – свойство, которое к нему там «не прикрепляется». У электронов в атоме, другими словами, просто нет свойства находиться в какой-либо точке пространства. Речь не о том, что они меняют свое положение с течением времени; нет, у них просто нет определенного положения ни в какой момент времени. А что со скоростью? Раз пространственное положение не определено, шанс, как кажется, появляется у его антагониста – скорости. Но со скоростью теперь враждует сама энергия электрона в атоме; она получает эту вражду в наследство от положения в пространстве, и четко определенное значение энергии становится запретом для любого значения скорости. Электронам в атоме не позавидуешь: ни положения, ни скорости, и шансы наглядно ответить на вопрос «Что они там делают?» стремительно тают.
Существование электрона как части атома – чудеса изворотливости в условиях запретов из-за квантовой вражды. Несмотря на «нечеловеческие условия», электрон в атоме все-таки сумел обзавестись в дополнение к определенной энергии еще и кое-каким подобием вращения. «Подобием» вот в каком смысле. Чтобы полностью описать, как вращаются привычные нам вещи (например, шлифовальный диск, велосипедное колесо или камень на веревке), нужно указать направление оси вращения и «степень раскрутки», численно выражающую, насколько трудно это вращение остановить (эта величина уже встречалась нам здесь под своим официальным названием «момент импульса»). Таким образом, чтобы задать вращение, как мы себе его представляем, требуются три величины, т. е. три числа: два задают направление оси, а еще одно – степень раскрутки.
В квантовом мире это невозможно. Электрону, выполняющему что-то вроде вращения в атоме, не удается обзавестись всеми тремя этими величинами. Проблема – в их отношениях между собой: они враждуют и поэтому не могут прикрепиться к электрону одновременно (хотя и не враждуют с энергией). Из-за этого электрон берет себе только две из трех, причем одна – это степень раскрутки. Из-за отпавшей третьей величины теряется идея оси вращения. Можно сказать, что у электрона в атоме есть атрибуты вращения: степень раскрутки и частичная информация об оси вращения, но они не составляют наглядного описания. Мы снова сталкиваемся с непредставимостью происходящего внутри атома – в данном случае с непредставимостью вращения, у которого нет оси. Это аналог, и даже «родственник», запрета на траектории (траектории у электрона в атоме, разумеется, тоже нет).
Но последствия вражды этим не ограничиваются: две величины, оставшиеся в качестве характеристики квантового вращения, могут принимать не какие угодно, а только дискретные значения. В частности, степень раскрутки принимает только значения, которые тоже нумеруются неотрицательными целыми числами. (Это до известной степени аналогично энергии электрона в атоме, но разрешенные значения степени раскрутки математически выражаются через эти числа иначе, чем разрешенные значения энергии выражаются через свой номер в списке.) Нельзя раскрутить «чуть сильнее» или «чуть слабее», а можно только перейти от одной определенной степени раскрутки к другой. Вращение в нашей квантовой вселенной, таким образом, всегда оказывается квантованным, т. е. дискретным по своим характеристикам; в продолжение сказанного в конце главы 2, все возможные степени раскрутки пропорциональны постоянной Планка ħ{12}.
Различные электроны в атоме берут себе различные дискретные порции этого неполноценного вращения, и с ними в атоме и существуют. Наименьшая «степень раскрутки» – нулевая, и про электроны, которым она досталась, можно сказать, что они не вращаются вообще ни в каком смысле; именно таково положение дел в атоме водорода (как бы ни намекала на обратное «планетарная модель атома»; она, как мы помним, неверная). Собственно говоря, если электрон в атоме взял себе первое из списка разрешенных значений энергии, то все его атрибуты вращения с необходимостью нулевые. Для энергии № 2 ситуация чуть более интересная: степень раскрутки может быть или нулевой, или же следующей в списке – отвечающей раскруточному числу 1. Для энергии № 3 имеется уже три возможности для раскруточного числа: 0, 1 или 2; для энергии № 4–0, 1, 2 или 3; и так далее. Каждое следующее значение раскруточного числа добавляет живости сюжету, потому что открывает все больше возможностей для второго атрибута вращения. Он тоже выражается целым числом, а точнее, целым числом, умноженным на постоянную Планка. При нулевой раскрутке оно тоже равно нулю; но при раскрутке 1 для него открываются возможности – ħ, 0, ħ, при раскрутке 2 – возможности –2ħ, –ħ, 0, ħ, 2ħ, и т. д. И это – почти все, что можно рассказать про жизнь электрона в атоме, с одним только важным уточнением, которое мы сделаем в главе 7.
Из-за вражды одних величин с другими мир находится в «напряженном» состоянии. В конструкции атома нет непрерывных параметров: и энергии электронов, и атрибуты вращения, которыми эти электроны обладают, описываются дискретными значениями из некоторых списков. Существовать может только то, что отвечает одному из пунктов списка; не бывает атома, у электронов которого эти величины слегка отличались бы от некоторых предписанных.
Поэтому везде во Вселенной электроны устраиваются в атоме единственным способом, и из-за этого все атомы с одним и тем же числом электронов одинаковы{13}. А число электронов в атоме определяется зарядом атомного ядра, поэтому можно сказать, что одинаковые атомные ядра собирают электроны вокруг себя всегда одним и тем же способом. Если атом теряет свои электроны (что происходит часто, хотя и не слишком часто теряются все до единого), то при последующем воссоединении с электронами атом оказывается неотличим от исходного. Этим, собственно говоря, и определяется смысл понятия «химический элемент»: элементы остаются самими собой, несмотря на легкомысленное отношение к своим электронам в химических реакциях. (Ничего подобного не имеет места для планетных систем: сверхцивилизация, пожелавшая отодвинуть Меркурий от Солнца на миллион-другой километров, не встретила бы никаких запретов со стороны законов природы.)
То же верно, по практически тем же самым причинам, и для простых молекул. Все молекулы воды не «примерно похожи», а одинаковы: условия сборки при непрекращающейся вражде включают настолько жесткие требования, что собрать их удается единственным образом. Это снова принципиально отличается от того, как собраны большие вещи вокруг нас: для производства чего-то в высокой степени одинакового нужны специальные усилия (точные станки и дисциплина персонала, например); в квантовом же мире сборка, отклоняющаяся от «технического задания», просто невозможна{14}.
Атомы, как мы говорили, могут сообщать о себе – о конкретных деталях своей внутренней дискретности – «световой подписью», т. е. длинами волн, которые они способны излучать и поглощать; на жаргоне их называют спектром атома. Похожим, хотя и более сложным образом обстоит дело и с молекулами. Среди прочего атомы, входящие в молекулу, могут находиться в некотором подобии колебаний относительно друг друга – «подобии», потому что и здесь квантовые законы изгоняют наглядность, а заодно навязывают квантовым колебаниям дискретность{15}.
Вообще-то квантовые колебания интересны далеко не только потому, что их хорошо исполняют молекулы, особенно двухатомные. Квантовые колебания – это очень общее явление, возникающее в самых разных ситуациях, вплоть до квантовых полей, к которым мы еще вернемся. Сейчас же, чтобы не забегать так сильно вперед, потренируемся как раз на двухатомных молекулах{16}. Взаимодействие между атомами, которые их составляют, имеет свойство упругости, похожее на работу пружины: при излишнем сближении возникает отталкивание, а при излишнем (но не разрушающем молекулу) удалении – притяжение. Поэтому от таких молекул можно ожидать поведения, роднящего их с парой тел, которые соединены пружиной. Однако двухатомная молекула – это не два соединенных пружиной тела, потому что на сцене снова вражда!
Фундаментальная вражда между положением и скоростью приводит к тому, что в данном случае враждуют расстояние между атомами и скорость их сближения или удаления, что, конечно, делает наглядное представление таких «колебаний» затруднительным (к чему, надо надеяться, мы начинаем привыкать). А в качестве прямого математического следствия из этой вражды энергия таких «непредставимых» колебаний может принимать только дискретные значения. Энергетические ступеньки устроены в данном случае максимально просто: в отличие от энергетических ступенек для электрона в атоме, они отстоят друг от друга на одну и ту же величину. Этот шаг между ступеньками – свой собственный для каждой системы, которая совершает квантовые колебания{17}.
У квантовых колебаний есть еще одна особенность: их нельзя «полностью остановить». Если принять все меры для того, чтобы «затормозить» систему, отобрав у нее энергию, она сохранит «неснижаемый остаток». Этот остаток – в принципе неустранимая энергия, по величине равная половине шага между энергетическими ступеньками: когда в системе «совсем» ничего не происходит, энергия ее оказывается равной все же не нулю, а половине энергии первой ступеньки. Этот неотнимаемый энергетический остаток иногда называют «энергией нулевых колебаний»; в этих словах можно усмотреть легкое противоречие, но это всего лишь название. При желании можно думать, что наличие этой энергии выражает собой общий запрет покоя, в силу которого колебания не могут полностью остановиться.
Дискретность квантовых колебаний – прямая наследница вражды – проявляет себя еще и в том, каким образом тела принимают в себя тепло: большое ли количество энергии надо передать телу, чтобы повысить его температуру, скажем, на один градус (для сравнений надо брать определенное количество вещества, что я и буду подразумевать). Опыт говорит, что это свойство само зависит от температуры: при достаточно низких температурах порция тепла, необходимая для нагрева на один градус, оказывается все меньше. Для серебра при –120 ℃ она уже довольно заметно меньше, чем при комнатной температуре, в районе –200 ℃ становится меньше примерно на треть и при дальнейшем снижении температуры падает очень быстро: при –250 ℃ достигает примерно одной десятой своего комнатного значения и становится все меньше при более низких температурах, приближающихся к абсолютному нулю.
А куда вообще идет энергия, поглощаемая телом в виде тепла? Она «прячется» там в различных видах движения атомов и молекул; в твердом теле, где атомы не бегают свободно с места на место, их движение носит характер колебаний. Без привлечения квантовых свойств нельзя объяснить, что порция тепла, необходимая для нагревания на один градус, так сильно зависит от температуры, ведь, по классическим представлениям, если количество атомов, совершающих колебания, не меняется, то каждый должен взять себе долю переданной энергии – одну и ту же вне зависимости от температуры, при которой это происходит. Но учет квантовой природы колебаний меняет картину за счет того, как заполняются энергетические «ступеньки», свойственные колебательному движению: когда температура мала, в системе имеется не так много дискретных возможностей, по которым можно распределить энергию, в результате переданное тепло «растекается» по меньшему числу «ячеек», чем при высоких температурах, и для нагрева на один градус достаточно заметно меньшего количества тепла.
Возвращаясь к «главной», архетипической вражде между положением в пространстве и скоростью, посмотрим на дело еще с одной стороны. Да, положение и скорость не могут быть точно определены одновременно. Но если не настаивать на том, чтобы какая-то одна из этих величин была определена точно, можно допустить в каждой некоторую неопределенность – характерный размер неустранимой неточности{18}. Тогда, как следствие вражды между величинами, их неопределенности окажутся связанными друг с другом: чем больше одна, тем меньше другая (обратно пропорциональная зависимость){19}. И это – общая картина: если какие-то две величины враждуют друг с другом, то неопределенности в их значениях связаны подобным образом.
За «размер» неопределенности одной из враждующих величин при фиксированном размере другой тоже отвечает постоянная Планка ħ; в этом смысле она несомненно является мерой квантовости. В воображаемой вселенной, где величину ħ можно регулировать, «скрутка» ее до нуля положила бы конец всякой вражде и вообще квантовым эффектам. Впрочем, это плохая идея даже для фантастического сюжета (или заниматься этим должны очень плохие парни), потому что при исчезновении квантового исчез бы и классический мир: для существования ему необходима «квантовая начинка».
Это явление – зависимость между неопределенностями враждующих величин – называется принципом неопределенности. Смысл его не в том, что «все неопределенно», а именно в том, что меньшую неопределенность одной из величин можно обеспечить только за счет большей неопределенности другой.
Слово «принцип» означает, что данному утверждению придается особо важное, фундаментальное значение. Автор идеи – Гайзенберг. Хотя соотношение между неопределенностями можно получить из стандартного математического аппарата квантовой механики (который, конечно, сам основан на целом ряде допущений), Гайзенберг был склонен думать, что это утверждение носит не менее фундаментальный характер, чем набор основных допущений квантовой механики. (Можно отметить, правда, что математически вывести принцип неопределенности из других положений квантовой механики проще всего в рамках формализма, предложенного Шрёдингером.)
Неопределенности в значениях тех или иных величин часто становятся мостом, соединяющим жесткий мир формул, строго описывающих квантовые явления, с более интуитивными представлениями. Неопределенности, например, позволяют качественно пояснить несколько неожиданную способность квантовых объектов проходить сквозь стены – способность, которой они широко пользуются. Явление это официально называется туннелированием сквозь стену или барьер, но в том-то и дело, что никакого «туннеля» проделывать не требуется.
Стена или барьер – это область пространства, в которую, скажем, электрон не может проникнуть, потому что его оттуда выталкивают электромагнитные силы. Если (что удобно) говорить в терминах энергии, то это область, для вхождения в которую у него не хватает энергии («недостаточно разогнался»). Можно представлять себе энергетический барьер, служащий ограничением с какой-то одной стороны, или энергетическую яму, если электрону нельзя податься ни в какую сторону. Согласно законам обычной, классической механики нельзя – значит нельзя: если энергии не хватает, то ничего не поделаешь. Но в квантовой механике из-за неопределенности в своем положении электрон или другой квантовый объект может оказаться по другую сторону от барьера. Просто может там оказаться, если неопределенность его положения дотуда распространяется{20}. Правда, от самого участника туннелирования никак не зависит, когда оно случится, потому что всем тут распоряжается случайность.
В квантовых явлениях – не только в том, что касается туннелирования сквозь стены, а во всех – властвует случайность. Это довольно особенная случайность: она действует безо всяких скрытых причин.
5
Что беспричинно
Обычно нас огорчает, когда план действий, вроде бы продуманный до мелочей, терпит крах из-за неучтенной причины. Мы привыкли к тому, что причины есть у всего происходящего, даже если они нам неизвестны, и стоит только тщательно учесть все действующие факторы и сопутствующие условия, как результат будет определен однозначно. Если же пирог, в очередной раз сделанный строго по рецепту, не оправдал ожиданий, то, наверное, причина была в дрожжах; так или иначе, какая-то причина была.
Но квантовый закон первостепенной важности (вывод из колоссального числа наблюдений) говорит, что исход событий невозможно однозначно предсказывать, даже когда известны все обстоятельства происходящего. Раз за разом повторяя одно и то же при полностью одинаковых условиях, мы будем случайным образом получать различные результаты.
Правда, случайность здесь до некоторой степени организована, и вот в каком смысле: разные исходы выпадают с некоторыми вероятностями, причем вероятности эти определяются самой системой. Установив эти вероятности или теоретически (средствами, которые, собственно, и призвана обеспечить квантовая механика), или исходя, скажем, из ста тысяч повторений одного и того же опыта, мы обнаружим, что они – вероятности – применимы и ко всем последующим повторениям. Квантовая случайность не означает полный произвол: она имеет меру и эту меру можно предсказывать теоретически.
Из-за наличия случайности и оказалась несколько расплывчатой моя формулировка в главе 2 o предсказании результатов «насколько это возможно». Во всякой системе, где нет однозначной определенности, результат единичного опыта предсказать нельзя. Бросив две игральные кости один раз, можно получить или не получить дубль; бросив две кости несколько раз, можно получить дубль 0, 1 или несколько раз. Чтобы эмпирически установить, насколько часто выпадает дубль, понадобится длинная серия бросков, а чтобы установить это достаточно точно – очень длинная серия. В бросании костей, правда, ничего квантового нет, а случайность просто отражает наше незнание тонких подробностей; в квантовом же мире случайность не нуждается ни в каких «подробностях», она просто имеет место. Но в любом случае, когда предсказать исход единичного опыта нельзя, задачей становится определение вероятностей различных исходов.
Но какова природа квантовой случайности? В обычной жизни мы привыкли, что за кадром всегда действует какой-то набор факторов, который в принципе определяет исход событий. Действительно, мы же не думаем, что отразившийся от ракетки теннисный мяч в полете вдруг немотивированно смещается на полсантиметра влево или на сантиметр вверх, да еще и выбирает тот или иной вариант в соответствии с какими-то предопределенными вероятностями. Вместо этого мы обоснованно полагаем, что мяч летит по траектории, строго определенной тем, какую скорость (включая, конечно, направление) сообщила ему ракетка и как на него действует воздух (с учетом всех подробностей вроде вращения, влажности мяча и т. п.). Другое дело, что у нас нет полного контроля за тем, что в точности случилось в момент удара и как движется окружающий воздух, и поэтому мяч не всегда будет приземляться там, где мы бы того желали. Точно так же, когда футбольный рефери бросает монету, падение орлом или решкой определяется несколькими трудно контролируемыми факторами – прежде всего тем, как монету подбросили и в какой момент ее поймали, – но ничего истинно случайного в монете нет. Вполне можно представить себе устройство, которое подбрасывает одну и ту же монету, подкручивая ее каждый раз одинаково. Если мы обеспечим неподвижный воздух вокруг установки (а еще лучше – вообще воздух откачаем), защитимся от магнитных полей и примем другие меры, то монета будет раз за разом падать одинаково – ну а отдельные нарушения мы будем списывать на неучтенные, скрытые влияния. Случайность во всех таких случаях отражает наше незнание действующих факторов и то ли нежелание, то ли невозможность их точно учесть.
Следующая отсюда инерция мышления сильна, и соблазнительно думать, что и квантовые случайности – это тоже проявление нашего незнания о каких-то процессах, происходящих «в самой глубине вещей», которые на самом деле все контролируют и однозначно определяют исход, просто нам они неизвестны. Эти неизвестные контролирующие факторы стали называть скрытыми параметрами. Их существование предполагал Эйнштейн, а почти все ключевые фигуры, участвовавшие в создании и развитии квантовой теории, с ним не соглашались. Эти разногласия, с учетом полученного позднее знания, отзываются и сегодня, и мы со временем доберемся до интригующих подробностей.
Как бы то ни было, совокупность имеющихся на текущий момент данных указывает, что квантовая случайность фундаментальна, то есть не нуждается ни в каких объяснениях, и тот или иной исход в каждом конкретном случае ничем не определяется. «Исходом» обычно является результат измерения какой-либо физической характеристики (скажем, попадание электрона в одну из интересующих нас пространственных областей). Фундаментальная случайность – это вовсе не ситуация, когда экспериментаторам неизвестны причины, определяющие тот или иной исход среди нескольких возможных. Все гораздо серьезнее, и экспериментаторов упрекать не следует: в самом состоянии исследуемой системы таких причин нет. Перед нами объективная – ни к чему не сводимая, ничем не мотивированная – случайность: объективная физическая величина, связанная с системой (скажем, попадание электрона в область А), никак не определяется состоянием системы и вообще состоянием мира. Случайность действует не через какие-то механизмы, а сама по себе. Прямой конфликт со здравым смыслом представляется здесь неизбежным. Кстати, вероятности, через которые эта случайность себя проявляет, тоже должны тогда быть объективными. Как им это удается?
Случайность – полноправная хозяйка в мире элементарных частиц. Одно из ее проявлений там – распады нестабильных элементарных частиц; это, впрочем, не распады в прямом смысле, а превращения, потому что получившиеся элементарные частицы не содержались в исходной, иначе она не была бы элементарной. Как правило, имеется несколько, а в ряде случаев много вариантов распада и выбор между ними случайный; знание же их вероятностей – это существенная информация для изучения природы. Например, «сверхтяжелый» родственник электрона, называемый тау (это, увы, все, что осталось от греческого слова τριτoν – тритон, т. е. третий), с вероятностью 0,254941 превращается в пи-минус-мезон, пи-ноль-мезон и тау-нейтрино; с вероятностью 0,178175 – в электрон, электронное антинейтрино и тау-нейтрино; с вероятностью 0,173937 – в мюон, мюонное антинейтрино и тау-нейтрино; с вероятностью 0,108164 – в пи-минус-мезон и тау-нейтрино; с вероятностью 0,089868 – в два пи-минус-мезона, пи-плюс-мезон и тау-нейтрино; и так далее еще тремя с лишним десятками других способов. Все такие вероятности – осмысленная (и важная) информация, потому что они соблюдаются и, будучи установленными один раз, с успехом используются при дальнейших исследованиях (уже отсюда, кстати, видно, почему эксперименты в мире элементарных частиц требуют большой статистики).
Надо ли понимать наличие фундаментальной случайности как отсутствие причинности в природе? Отказ от причинности в широком смысле называют индетерминизмом. Да, если никаких скрытых параметров нет, то разные исходы случаются в одной и той же ситуации без причины. Тем не менее физический мир, пусть и индетерминистский, не выглядит полностью произвольным. Чтобы получить представление о том, как индетерминизм сочетается с некоторыми правилами, посмотрим на случайность «в деле».
За игрой случая хорошо наблюдать при одновременном наличии большого числа одинаковых систем: это сильно экономит время, избавляя от необходимости многократного повторения единичного опыта. Два широко распространенных во Вселенной вида явлений, вовлекающих много участников сразу, основаны на квантовой случайности, связанной с туннелированием.
Мы уже говорили, что «персонажам» квантового мира доступно прохождение сквозь стены – кстати, не раз обыгранное в кинематографе, часто в (полу)комедийном ключе. Комедийное содержание можно было бы усилить, если перенести на кинематографических героев одно существенное свойство квантового прохождения сквозь стены: оно происходит случайно и его участники «сами не знают», случится это через секунду или, скажем, к следующему утру, и повлиять на это не в состоянии; некоторые варианты развития сюжета так и напрашиваются.
В точности то же верно для радиоактивных атомов. Они уже встречались нам мимоходом; ядро радиоактивного атома может самопроизвольно превращаться в ядро другого атома. Например, радий-226 превращается в радон-222 с периодом полураспада около 1600 лет, а радон-222 превращается в полоний-218 с периодом полураспада 3,8 суток, последний превращается в свинец-214 с периодом полураспада 3,1 мин; в каждом случае испускается альфа-частица. Период полураспада – это время, за которое такое превращение произойдет с половиной имеющихся атомов. (Правильно – ядер, но почему-то легче говорить об атомах.)
Наблюдая за куском руды, в котором содержится, скажем, миллиард (что очень немного) атомов радия-226, мы через 1600 лет останемся с половиной от этого миллиарда. Какой именно половиной? Вот этого сказать невозможно. Один радиоактивный атом не имеет никаких обязательств распасться через секунду, минуту, час, день, год или тысячу лет. Но если атомов много, можно надежно оценить убывание их количества с течением времени. Не беря на себя никаких индивидуальных обязательств и не договариваясь между собой, они тем не менее обеспечивают стабильный массовый эффект.
Не помешает на секунду задуматься о том, что было за 1600 лет до того момента, когда мы заинтересовались куском руды, обогащенным выбранным изотопом: предполагая для простоты, что дополнительные атомы радия за этот период не возникали из каких-либо источников (которые вообще-то в природе имеются), мы понимаем, что радиоактивных атомов тогда было в два раза больше. А 3200 лет назад – в четыре раза больше, чем сейчас. Это, конечно, означает, что атомы радия, оставшиеся в «нашем» куске руды, пребывают там довольно давно – но при этом ни один из них нисколько не постарел: они продолжают подчиняться одной и той же неизменной вероятности превращения в радон, такой же, какая действовала в момент их создания и будет действовать для всех оставшихся через десятки и сотни тысяч лет. На постоянстве этих вероятностей, кстати, основаны разнообразные изотопные методы определения возраста.
А где в радиоактивном распаде атомного ядра прохождение сквозь стену? Сидящая в ядре альфа-частица испытывает притяжение ко всем остальным слагающим ядро протонам и нейтронам за счет значительного по величине (но действующего только на очень малых расстояниях) взаимодействия, которое не слишком оригинально называется сильным ядерным взаимодействием, или просто сильным взаимодействием{21}. Ему противодействует электрическое отталкивание протонов друг от друга, но на очень малых расстояниях побеждает притяжение. Для простоты можно считать, что альфа-частица уже существует внутри ядра как относительно автономное образование (это довольно простительное упрощение). При попытках удалиться на периферию (скажем, под действием «пинков» от соседей по ядру) она испытывает силу притяжения, которая и возвращает ее в направлении к центру. Картина такая же, как если бы вы пытались выбраться из глубокой ямы, карабкаясь по стенкам. В данном случае тоже говорят об энергетической яме. Высота ее стенок – это энергия, которая нужна, чтобы «выпрыгнуть» наружу.
Края этой ямы окружены дополнительным барьером, чем-то вроде бруствера, который превосходит по высоте окружающий энергетический ландшафт. Альфа-частица может иметь энергию, превосходящую уровень окружающего ландшафта, но меньшую, чем высота бруствера. По законам классической механики она навсегда осталась бы в яме, ведь стенки препятствуют ее «протеканию» наружу. Но если неопределенность в ее положении превосходит ширину ямы вместе с бруствером, то она может появиться снаружи от ямы, не перебираясь для этого через верх. Распоряжаются этим безликие и равнодушные вероятности. Для каждого ядра вероятность туннелирования своя – она очень резко падает при увеличении высоты и толщины стенок; разброс значений для различных радиоактивных атомов отражает характер энергетических ям, создаваемых их ядрами (по счастью, в природе есть устойчивые ядра){22}.
Присутствие значительного количества радиоактивных атомов, скажем, в руде или в окаменелостях поднимает квантовый эффект на макроскопический уровень (в урановой шахте тепло). Другой очень макроскопический пример того, как работает квантовое туннелирование, находится у нас перед глазами каждый день, в ясную погоду во всяком случае. Это Солнце.
Солнце светит – «горит» – за счет реакции ядерного синтеза: четыре протона, претерпев некоторые приключения и превращения, соединяются в альфа-частицу, и этот процесс сопровождается выделением энергии. Для этого требуется прохождение сквозь стену, созданную взаимным отталкиванием. Она, кстати, больше похожа на стены моей комнаты. Я ощущаю их как твердые из-за того, что слагающие их электроны уже заняли место, куда собрались было попасть электроны в моей ладони, и просто отталкивают их. (Протоны, да и нейтроны, тоже, конечно, присутствуют, но основной эффект происходит за счет электронов). Внутри Солнца же отталкиваются друг от друга протоны (электроны там тоже есть, но они не соединены с протонами в атомы и за всей историей синтеза просто наблюдают со стороны). Чтобы синтез получил шансы на успех, два протона должны сблизиться на столь малое расстояние, чтобы сильное ядерное взаимодействие, действующее как притяжение, превзошло электрическое отталкивание. Но как раз электрическое отталкивание возводит между протонами стену, не позволяющую им сблизиться настолько, чтобы почувствовать сильное взаимодействие!
Высокая температура в недрах Солнца (около 15 млн ℃) означает достаточно высокую энергию движения протонов, которая позволяет им подпрыгивать вверх вдоль энергетической стенки. Но они все равно не допрыгивают туда, где стенка становится настолько тонкой, чтобы они протянули друг другу крепкую руку ядерного взаимодействия. Если бы протоны подчинялись законам классической механики, где не может быть никакого туннелирования, мы бы никогда не узнали о квантовой механике, потому что нас бы не было: звезды бы попросту не горели. По счастью, благодаря квантовому туннелированию протоны иногда приходят в тесное взаимодействие и Солнце горит{23}.
Интенсивность синтеза характеризуют в терминах времени, в течение которого один протон в среднем ожидает изменения своего статуса: из протона, существующего самого по себе, в составной элемент альфа-частицы. И если в случае радиоактивных распадов можно высказывать различные соображения о том, какой период полураспада «лучше», 4,5 млрд лет для урана-238 или 160 миллионных долей секунды для полония-214, то в случае Солнца нельзя не радоваться среднему времени ожидания для одного протона: оно близко к 10 млрд лет, что более чем в два раза превосходит возраст самого Солнца! Но среднее время ожидания – всего лишь среднее. Каждый отдельно взятый протон может случайным образом вступить в реакцию синтеза «прямо сейчас», а может не вступить никогда за все то время, что Солнце будет оставаться желтым карликом; действие квантовой случайности не предполагает ничего похожего на очередь (многих наверняка взбесила бы организация очереди звонков в колл-центрах, если бы вероятность услышать оператора никак не зависела от времени ожидания). В Солнце колоссальное число протонов, и тех, которым случилось вступить в реакцию «прямо сейчас», как раз достаточно для ровного и длительного горения нашей звезды. Таким-то образом, из-за «квантово неохотного» горения, Солнце и растягивает удовольствие своего существования на миллиарды лет – около четырех с половиной из которых мы уже не без успеха использовали.
В качестве небольшого отступления стоит, возможно, отметить, что «единая и неделимая» квантовая случайность, ни через что другое не объясняемая, – предмет зависти программистов. Для ряда задач, решаемых на компьютере, требуется производить случайные числа. С этой целью написаны специализированные программы, но выполнение любой компьютерной программы – детерминистский процесс, и появление каждого конкретного числа имеет какую-то причину. Поэтому программистам приходится изобретать, каким образом использовать трудно контролируемые факторы, чтобы получить числа, которые очень похожи на случайные, но даже называются, строго говоря, псевдослучайными; какие-то причины появления каждого такого числа есть, их просто очень трудно контролировать.
Квантовая же случайность беспричинна. Она просто «есть» и не имеет никаких объяснений, которые прятались бы в глубине вещей. Такое положение дел с самого начала было определенно не по душе Эйнштейну.
6
Что перестало устраивать Эйнштейна
Квантовая механика возникла в 1925–1926 гг. (с завершающими штрихами, относящимися к 1927 г.), но самый первый квантовый закон был сформулирован Планком в декабре 1900 г.; никто, конечно, еще не знал, что это квантовый закон, а сам Планк использовал слово quantum лишь в технических целях, для обозначения дозированных порций (это, правда, было отличным началом).
Это был закон излучения; он, кстати, превосходно работает уже более 120 лет, не требуя никаких поправок и улучшений. Если опустить все подробности, то он сообщает, как цвет излучаемого света зависит от температуры. Часть этой истории – достаточно известный факт, что каждое теплое тело (например, человеческое) излучает инфракрасные волны. Это не какие-то особые волны, а то же самое физическое явление, что и свет – электромагнитные волны, только в определенном интервале длин волн. Инфракрасные волны еще длиннее, чем волны, отвечающие красному цвету, откуда и название{24}. (Слова «электромагнитные волны» существенно длиннее, чем слово «свет», и поэтому электромагнитные волны самой разной длины часто называют светом; я тоже буду так делать, не очень следя за терминологической строгостью.)
Теплые предметы излучают инфракрасный свет, а горячие уже светятся красным. Дальнейшее увеличение температуры приводит к появлению более голубого свечения – к сдвигу в сторону более коротких волн. В действительности излучение происходит на всех частотах (раскаленный «добела» гвоздь продолжает излучать и инфракрасный свет тоже), и речь идет о том, на какой длине волны излучение наиболее интенсивно. Для выражения этой интенсивности есть численная мера. Закон Планка описывает не только это, но и гораздо большее: как интенсивность излучения распределена по разным длинам волн при каждой заданной температуре{25}.
Путем «умной подгонки» Планк максимально удачно угадал превосходно согласующуюся с экспериментальными фактами формулу для интенсивности излучения. Это уже был немалый успех, и на этом можно было бы остановиться, но Планк принялся размышлять над тем, на основе каких идей к такой формуле можно было бы прийти, не занимаясь подгонкой. Из учебника в учебник переходит рассказ о том, как он предположил квантовую природу колебательных систем и вывел из нее свой закон, но в действительности это лишь «обратная проекция» более позднего понимания.
Как бы то ни было, постепенно возникло осознание, что в основе формулы Планка для излучения должно лежать свойство колебательных систем брать себе энергию только определенными порциями (пропорциональными частоте). Такие идеи были полностью чужды физической картине мира того времени, но убедительность, с которой выполнялся закон Планка, помноженная на невозможность объяснить его каким-либо другим способом, заставляла к ним прислушиваться.
Развитию новых взглядов очень поспособствовала «вторая квантовая формула». Она появилась в 1905 г. в статье Эйнштейна, посвященной совсем другой задаче. Там Эйнштейн предположил существование «световых квантов» – минимальных порций света, несущих определенную энергию, зависящую от длины волны этого света. Они понадобились для объяснения иначе никак не объясняемых экспериментальных фактов о том, что происходит, когда свет, падая на поверхность, выбивает из материала электроны{26}. Эта работа была удостоена Нобелевской премии за 1921 г. (присуждена в 1922-м).
В 1907 г. Эйнштейн использовал зарождающиеся квантовые идеи (в том числе формулу Планка) для объяснения того, как твердые тела откликаются на нагревание (см. главу 4). Эта модель была много лучше всего предыдущего, хотя и оказалась не очень точной. Наряду с основной идеей о квантовом характере распределения энергии по колебательным системам она включала некоторое количество упрощающих предположений. Модель действительно описывала резкое уменьшение теплоемкости при уменьшении температуры, но при очень низких температурах предсказывала слишком малую теплоемкость. Она стала шагом на пути к улучшенной модели, которую предложил Дебай в 1913 г., использовав несколько иные предположения, и которая прекрасно описывает теплоемкость твердых тел при очень низких температурах. Важность первой модели Эйнштейна была в указании направления мысли: первые догадки о новом устройстве вещей чрезвычайно ценны, потому что стимулируют следующие версии и часто определяют, в каких терминах следует думать о задаче{27}.
В 1916–1917 гг. Эйнштейн применил идею квантов света, формулу Планка и представления о дискретных уровнях энергии в атоме (эмпирический факт, в то время еще не объясненный) для построения простой и элегантной теории. Она говорила, каким образом и при каких условиях свет, проходящий через вещество, может заставить атомы вещества, получившие перед тем дополнительную энергию, излучать новые фотоны, которые по всем своим характеристикам, включая частоту и направление распространения, согласованы с фотонами падающего света. Эта теория лежит в основе работы мазеров и лазеров, впервые созданных соответственно в 1953 и 1960 гг. и впоследствии отмеченных Нобелевской премией{28}.
Вклад Эйнштейна в развитие квантовой теории на ее раннем этапе неоспорим. Но этим дело не ограничилось. В 1924-м, буквально накануне открытия квантовой механики, на глаза Эйнштейну попался ответ на давно занимавший его вопрос, касавшийся тех самых порций света, которые он же в свое время и ввел: как описывать их свойства, когда этих порций очень много? Это позволило ему сделать следующий важный шаг. Пожалуй, я процитирую Нобелевский комитет – сообщение для прессы в связи с премией по физике 2001 (!) г.: «В 1924 г. индийский физик Бозе выполнил важные теоретические расчеты, касающиеся частиц света. Он отправил свои результаты Эйнштейну, который распространил теорию на атомы определенного типа и предположил, что если газ, состоящий из таких атомов, охладить до очень низкой температуры, то все атомы внезапно соберутся в состояние с наименьшей возможной энергией»{29}.
Эйнштейн предсказал явление «конденсации», но не обычной, а квантовой, причем невиданно радикальной, когда частицы (атомы) «определенного типа» ведут себя способом, в точности противоположным обычному: не «делают что хотят», каждый без оглядки на остальных, а, наоборот, массово делают одно и то же – причем в очень строгом смысле одно и то же. Макроскопически большое количество частиц, принципиально неотличимых друг от друга, приобретают в точности одинаковые характеристики, причем все возможные характеристики. Потребовалось 70 лет развития технологий, чтобы воспроизвести это явление в лаборатории (за это и была вручена только что упомянутая Нобелевская премия). Сейчас бозе-эйнштейновский конденсат считается отдельным (так называемым пятым) состоянием вещества с выраженными квантовыми свойствами. Знаменательно, что Эйнштейн сделал это предсказание не после и не вследствие изобретения квантовой механики; наоборот, его идеи предшествовали ее появлению (и даже, вместе с идеями де Бройля, повлияли на Шрёдингера, вскоре после того создавшего свое фундаментальное уравнение).
Но когда полноценная квантовая механика наконец появилась (1925–1926), Эйнштейн предъявил к ней значительные претензии. Сначала он просто подозревал предложенную схему во внутренней непоследовательности и изобретал такие ситуации, когда применение внутренней логики самой квантовой механики должно было по его замыслу привести к противоречию. Такой способ действий стали называть мысленным экспериментом. Мысленные эксперименты – логический анализ того, как теория, претендующая на описание мира, может справиться с различными ситуациями, которые в принципе возможны, – сыграли большую роль в развитии квантовой теории.
Задачу оппонирования Эйнштейну взял на себя Бор – который в немалой степени был вдохновителем Гайзенберга при изобретении квантовой теории, а попутно развивал систему взглядов для «объяснения» квантовой механики и вообще физического взгляда на мир. Хорошие личные отношения Эйнштейна и Бора не исключали долгих, глубоких, снова и снова возобновляемых споров. Изобретательность Эйнштейна несколько раз ставила Бора перед вроде бы неустраняемыми противоречиями – но только временно; внимательное рассмотрение показывало, что противоречия каждый раз возникали из-за протаскивания в квантовую область предположений, которые верны в классическом мире и к которым мы привыкли настолько, что можем даже не замечать, в какой момент рассуждений они используются. Бор обнаруживал неявное использование таких предположений, и Эйнштейн подтверждал, что противоречие исчезло. Такие «проверки на прочность» с помощью мысленных экспериментов укрепляли убежденность, что квантовая механика сама по себе лишена логических изъянов, и Эйнштейн с этим согласился.
Но он определенно не хотел соглашаться с той интерпретацией – «объяснением смысла» всей схемы, – которую продвигал Бор. В фокусе обсуждения была несовместимость некоторых свойств друг с другом («вражда», если использовать язык этой книги). Уже было известно, что в зависимости от постановки эксперимента из него можно было извлечь или одни, или другие свойства квантовой системы. Но что представляет собой данная квантовая система в реальности, без ссылок на какие бы то ни было эксперименты? Вещи ведь существуют независимо от того, какими из их свойств мы решим поинтересоваться? Разве нет?
Несогласие между Эйнштейном и Бором (по часто высказываемому мнению – между Эйнштейном и «всеми остальными», что не буквально точно, но в целом скорее верно, чем нет) оказалось несогласием по поводу структуры реальности. Эйнштейн был уверен, что мир и его свойства существуют независимо от нас, наблюдателей, и независимо от того, какие средства мы выбрали, чтобы узнать об этих свойствах; он считал, что наблюдение над объектом выявляет те свойства, которыми этот объект обладал до наблюдения. Физика, по мысли Эйнштейна, имеет своей задачей определение объективных свойств вещей и явлений.
Бор же был склонен отвергать идею объективно существующей реальности. Раз мы имеем дело только с результатами опыта, не следует сверх того предполагать «реальность» и наделять ее какими-то качествами.
Взгляды Бора во многом опирались на важное обстоятельство, с которым мы мельком уже сталкивались. «Наблюдение» – без сомнения, плохой термин. Он в значительной мере ассоциируется с пассивностью: зритель, наблюдающий футбольный матч, не влияет на то, как этот матч развивается, – совсем никак, если сидит перед телевизором, и в небольшой и отчасти спорной степени, если находится на стадионе (где воздействие теоретически ограничено криками).
Но в квантовом мире наблюдение за системой – это всегда вмешательство в систему (с «квантовым футболом» в этом смысле возникли бы большие проблемы). В качестве иллюстрации представьте себе, что вы желаете на ощупь убедиться в наличии каких-то неровностей на очень деликатной поверхности; сама эта процедура может изменить подробности – те самые, которые и были предметом интереса. А в отношении квантовых явлений посмотреть тоже означает «пощупать» – в том числе и светом. Любое наблюдение или измерение сопровождается там вмешательством. Слово «измерение» тоже не самое удачное – по выражению Белла, худшее в списке плохих слов из хороших книг. По историческим причинам тем не менее все его в основном и используют, и я тоже буду так делать, не каждый раз прибавляя, что измерение требует взаимодействия с системой, а потому представляет собой вмешательство в нее.
Одна и та же квантовая система по-разному откликается на измерения, выполняемые с помощью различных приборов. Это делает приборы особенно важными: с точки зрения Бора они необходимы ни много ни мало для придания смысла всей квантовой механике. Измерение выбранной физической величины (например, положения в пространстве или энергии) заставляет квантовую систему определиться с тем, каким окажется значение этой величины. Повторение того же измерения со строго идентичной системой вполне может дать другое значение – так работает индетерминизм, который мы обсуждали в предыдущей главе и который еще не раз нам встретится. Чтобы избежать при этом логического круга, пришлось наделить измерительные приборы особым статусом: по Бору, они не подчиняются квантовой механике. Такое свойство приписывается им декларативно, несмотря на то что каждый прибор состоит из электронов и всего остального (атомных ядер, образованных из протонов и нейтронов), что, разумеется, ведет себя квантовым образом.
А поскольку, согласно Бору, говорить о квантовых объектах «самих по себе» (безотносительно к измерению) достаточно бессмысленно, дело оборачивается таким образом, что для придания смысла квантовому миру необходим отдельный и отделенный от него классический мир. Квантовая реальность, определенно отличающаяся от классической, оказывалась доступной только через результаты измерения, сильно дальше которых предлагалось и не заглядывать.
Эйнштейн, однако, подозревал наличие более глубокой – и при этом «более обычной» – реальности. В частности, он был склонен думать, что невозможность одновременно обладать «враждебными» свойствами не идет от природы вещей, а является лишь чертой квантовой теории в том виде, в котором она была придумана на его глазах; и что эта теория просто недопридумана до конца: она неполная и не ухватывает какие-то более глубокие и более «детальные» свойства мира, где никаких неопределенностей уже нет. Как уже было сказано, эти свойства, существующие где-то в глубине реальности, получили название скрытых параметров.
Заодно, надеялся Эйнштейн, в «более глубокой реальности» нет и индетерминизма, а случайность появляется в квантовой механике только из-за того, что мы не все знаем. Не знаем каких-то неведомых подробностей про электрон и про радиоактивное атомное ядро, вообще про все. Возможно, эти подробности очень громоздкие и нам в конце концов будет удобнее остаться с вероятностным описанием – но как бы то ни было, случайность эта не «истинная и неделимая», ни к чему не сводимая, а просто является результатом действия трудно учитываемых факторов (как при подбрасывании монеты на футбольном поле, только много убедительнее).
Так полагал Эйнштейн, но прислушивались к нему не многие. Предлагаемые задним числом ответы «почему» всегда грешат предвзятостью. Факторов было несколько: и несомненный вычислительный успех квантовой механики уже в версии Гайзенберга, на волне которого предлагалось «раз и навсегда» отказаться от старых, до-квантовых представлений о реальности; и харизма Бора, который обладал незаурядной способностью воздействовать (в том числе давить) на собеседников, произнося при этом с трудом понимаемые, неясно сформулированные и неоднозначно интерпретируемые сентенции (запутанность своей словесной аргументации он возвел едва ли не в принцип); и, возможно, обретшая после Первой мировой войны особое влияние философия позитивизма{30}.
По итогам дебатов о природе квантового, растянувшихся на несколько лет (с кульминацией в 1927–1930 гг.), победу с заметным преимуществом, по общему мнению, одержал лагерь, возглавляемый Бором. Правда, остались неурегулированными пара ключевых вопросов, которые Бор в известной степени «заболтал», но сообщество по этому поводу не переживало (в частности, не получило определения само понятие измерения – несмотря на его ключевую роль в предлагаемой схеме). На стороне Бора было то неоспоримое обстоятельство, что квантовая механика работала.
Однако в 1935 г. Эйнштейн в соавторстве с двумя молодыми коллегами придумал новую, до тех пор невиданную конструкцию, чтобы с ее помощью отстоять точку зрения, что квантовая механика, пусть сама по себе и ничем не неправильная, все же представляет собой неполную теорию: за ее рамками остаются некоторые подробности устройства мира. Работа Эйнштейна, Подольского и Розена произвела немалое впечатление на Шрёдингера (который, надо сказать, никогда не сближался в своих воззрениях с Гайзенбергом и Бором, хотя и отдавал должное веской аргументации первого и полемическому таланту второго). Шрёдингер же придумал и название для явления, которое изобрели три автора, и заодно высказался в том духе, что оно представляет собой главное отличительное свойство квантовой механики, радикально отделяющее ее от классической. Он назвал его Verschränkung по-немецки и entanglement по-английски. Русский термин «запутанность», возможно, стоило бы заменить на «зацепленность», но дело уже прошлое.
Правда, кроме Шрёдингера запутанностью впечатлились не слишком многие. Статья Эйнштейна, Подольского и Розена была написана сложно. По итогам совместной работы текст писал второй автор, и он расставил акценты не совсем так, как хотел бы первый автор (который не проконтролировал результат), из-за чего основной тезис оказался не столь прост для усвоения. Кроме того, тот же Подольский, видимо в предвкушении скорого выхода статьи, организовал «утечку» в массовое (а не научное) издание, The New York Times. Газетная публикация о том, что Эйнштейн критикует квантовую теорию, вызвала среди непрофессионалов шумиху, которая вполне могла отвратить профессионалов (а с Подольским Эйнштейн больше не разговаривал).
Не слишком ясно выраженные идеи, ажиотаж в газетах, поверхностное впечатление, что это «еще одна» попытка Эйнштейна поймать квантовую механику на противоречии, чего, как все уже видели, сделать не удается, – все это не способствовало привлечению серьезного внимания к статье трех авторов. Бор опубликовал в ответ на нее комментарии, граничащие со словесной эквилибристикой (их неудовлетворительность он и сам впоследствии признавал), и о статье в общем и целом забыли. Но в науке написанное остается. После небольшого отступления мы, вооружившись необходимыми средствами, увидим, что не прошло и полувека, как запутанность, изобретенная в полемике о неполноте квантовой механики, получила развитие, которого ни одна из вовлеченных в дискуссию сторон не могла и предвидеть.
7
Что от вращения
Открытая Эйнштейном, замеченная и названная Шрёдингером запутанность довольно долго вела малособытийное существование вдали от центральных тем квантовой теории. В начале 1950-х гг. – когда в ведении квантовой науки оказалась ядерная энергия, из-за чего много изменилось и в мире, и в этой науке, и в их взаимоотношениях, – Бом придал запутанности более выразительный вид, использовав для этого уникальное квантовое свойство – спин. Ее, впрочем, некоторое время продолжали не замечать и в этом новом наряде, но уж теперь, когда запутанность набрала настоящую популярность, запутанными неизменно оказываются спины.
Чтобы двигаться вперед, нам нужен спин! Это свойство как никакое другое показывает, что наш мир – квантовый в своей основе. Спин не имеет прямого классического аналога, но существенно влияет на судьбу всех элементарных объектов; он фигурирует не только в самом популярном варианте запутанности, но и во многих иных принципиально важных явлениях. Он, в частности, отвечает за точный вид таблицы Менделеева. Откладывать знакомство со спином далее невозможно.
Что такое спин для нашего доброго друга – электрона? Если угодно, это его «второе неотъемлемое свойство». С первым неотъемлемым мы уже многократно встречались, и я его даже не каждый раз упоминаю: это электрический заряд. Заряд позволяет электрону взаимодействовать с электрическим полем (например, получать от него энергию движения – что, собственно, происходило в телевизорах XX в. и что продолжает использоваться в ускорителях). А свое второе неотъемлемое свойство электрон проявляет во взаимодействии с магнитным полем, потому что это свойство делает электрон похожим на магнит неопределенно малого размера. Магнитных свойств в отсутствие электрического заряда у электрона не было бы, но одного заряда недостаточно. Нужно, кроме того, что-то вроде вращения – настолько, насколько это возможно в квантовом мире.
А там, как мы видели в главе 4, вращение теряет наглядность. Из-за вражды невозможно указать ось вращения, и из трех величин, которые нужны для привычного описания этого явления, определены только две, причем и они могут принимать только дискретные значения. Мы называли их атрибутами вращения, потому что это те «остатки» от наглядной картины вращения, которые только и возможны в квантовой механике. Каждый электрон в атоме обладает какими-то атрибутами вращения, но в этой главе нас в первую очередь интересуют электроны сами по себе, вне всякой связи с атомами. Любой электрон, оказывается, обладает своими собственными атрибутами вращения, хотя внутри него ничего подходящего для вращения нет, потому что никакого «внутри» тоже нет{31}.
Отказаться от своих атрибутов вращения электрон не может. Они всегда с ним, причем в значительной степени фиксированы количественно: строго определенная «степень раскрутки» приделана к электрону раз и навсегда. Как и все остальное, связанное с электроном, это его качество «никак не выглядит» (не имеет визуального образа), однако проявляет себя в виде магнитных свойств, поскольку у электрона есть еще и электрический заряд. Правда, из-за отягощенности враждой магнит из электрона получается не совсем обычный.
В отношении обычных магнитов у нас есть определенные ожидания. Каждый магнит ориентирован вдоль какой-то линии в пространстве, просто потому что у него есть два полюса, через которые можно мысленно провести прямую. Если договориться проводить ее от южного магнитного полюса к северному, то каждый магнит определит какое-то направление в пространстве. Даже если магнит очень маленький и два полюса находятся совсем близко друг к другу, такое направление все равно задано. Удобно изображать магнит стрелкой: направлена она так, как только что было сказано, а ее длина условно выражает «силу» магнита. Это, конечно, воображаемая стрелка, но не требуется особенно развитой фантазии, чтобы ее себе представить – ведь два полюса у магнита всегда есть.
Магнит, которым является электрон, тоже определяет направление, хотя там нет ничего похожего на отделенные друг от друга южный и северный магнитные полюса. И «сила» этого магнита всегда фиксирована – она одна и та же для всех электронов во всех условиях, аналогично ситуации с зарядом электрона. Попробовав изображать магнитные свойства электронов стрелками, мы сразу поймем, что стрелки различаются только своими направлениями, а не длиной, раз все магниты одинаковы по силе. Но дальше оказывается, что в случае электрона стрелка приобретает «волшебные» черты. Если сформулировать одной фразой, то «как ни поворачивайся, нельзя посмотреть на нее сбоку». Это, конечно, метафора (уж во всяком случае в отношении слова «посмотреть»), но за ней стоит фундаментально квантовое поведение – буквально квинтэссенция несговорчивости из-за квантовой вражды.
Представьте себе, что вы получаете электрон, по своему усмотрению выбираете направление в пространстве и интересуетесь, под каким углом к этому направлению повернута та самая «магнитная» стрелка этого электрона. Для этого имеется прибор, названный по именам двух ученых, впервые применивших его в 1922 г. (первоначально к ионам серебра), – прибор Штерна – Герлаха. Никакой разговор о спине не может обойтись без прибора Штерна – Герлаха; это не только реально существующее устройство, но и основной фигурант множества рассуждений и мысленных экспериментов, проясняющих структуру квантовых законов.
Задача прибора – сортировать влетающие в него миниатюрные магниты в зависимости от их ориентации. Для этого там создается магнитное поле особой конфигурации, которое отклоняет летящие магниты в зависимости от того, как их «магнитные стрелки» повернуты по отношению к этому магнитному полю. Отклонения фиксируются по следам, которые остаются на специальном экране, стоящем за прибором. Если магнитное поле, созданное в приборе, направлено вдоль вертикали, то будут наблюдаться отклонения вверх или вниз – на любую величину в интервале от максимального вверх до максимального вниз. В частности, вообще никакого отклонения не должно наблюдаться в том случае, когда «магнитная стрелка» ориентирована горизонтально, под углом 90° к направлению магнитного поля в приборе.
Но это если у вас обычные магниты. Электроны же ни в какие промежуточные положения не попадают, они вылетают только с двумя крайними вариантами отклонения. Это значит, что стрелка, выражающая магнитные свойства электронов, смотрит или точно «вперед», или точно «назад» вдоль выбранного направления. Ничего посередине, никаких промежуточных положений не случается.
Неожиданно! Ведь выбор, скажем, вертикального направления в приборе Штерна – Герлаха – произвольное решение. Выберем другое, просто наклонив прибор. Результат получается тот же, что и раньше, но в отношении нового направления: только два крайних отклонения вдоль этого направления, а это значит, что «волшебные стрелки» всех электронов смотрят или строго вдоль него или строго противоположно.
Никто, кстати, не говорит «стрелка» или тем более «волшебная стрелка»: все говорят «спин». Итак: спин электрона всегда направлен или вдоль выбранного направления, или в точности противоположно ему (угол 0° или 180°, и никакой другой). Любого направления.
Кажется, что здесь скрывается противоречие и вроде бы несложно изобрести простую стратегию, чтобы его выявить. Используем, как и ранее, прибор Штерна – Герлаха, измеряющий спин вдоль вертикального направления, и будем посылать в него электроны один за одним. Те, которые отклонились вверх, имеют, значит, спин, направленный вверх. С ними, кажется, все понятно: если не давать им удариться об экран, а отправить во второй, точно такой же, прибор Штерна – Герлаха, то все они продемонстрируют спин вверх. Но теперь положим этот второй прибор на бок – так, чтобы он отклонял пролетающие через него магниты вдоль горизонтального направления, скажем, слева направо. В спине каждого из отобранных электронов нет никакого предпочтения между левым и правым, поскольку угол между вертикальным и горизонтальным направлениями – прямой. А значит, второй прибор не отклонит электроны ни влево, ни вправо?
Ничего подобного. Каждый электрон отклонится одним из двух крайних способов – максимально влево или максимально вправо – сообщая тем самым о своем спиновом состоянии «спин влево» или «спин вправо». Но чем же может определяться выбор?
Ничем. Природа прибегает здесь к спасительной – той самой немотивированной – случайности. Результаты «спин влево» и «спин вправо» чередуются в случайном порядке от одного электрона к другому, а про каждый конкретный электрон нет способа предсказать, какой из двух вариантов получится.
А теперь вспомним про исходное вертикальное направление спина: с ним-то как? Направим электроны из второго прибора Штерна – Герлаха в третий, который снова измеряет спин вдоль вертикального направления. Оказывается, что от исходно отобранных спинов вверх не осталось даже воспоминаний: электроны показывают случайно чередующиеся «спин вверх» и «спин вниз», причем в равных пропорциях. Хотя с самого начала мы отобрали электроны со спином вверх, измерение спина вдоль другого направления стирает воспоминания о том, каков был спин до того.
Подведем промежуточный итог. Измерение спина электрона всегда дает один из двух результатов: «спин вперед» или «спин назад» вдоль направления, выбранного для измерения. Оно, это направление, может быть любым, но только каким-то одним; значения спина вдоль разных направлений не прикрепляются к электрону одновременно. Это – прямое следствие вражды, связанной с идеей вращения.
Вражда «вращательных» свойств устроена математически схожим образом и для состояний электрона в атоме, и для спина электрона. Электрон в атоме, как мы видели на в главе 4, обладает двумя атрибутами вращения: это степень раскрутки и еще одно число, причем оба они принимают дискретные значения. Аналогично, атрибуты вращения, которые внутренне присущи электрону из-за наличия у него спина, – это два числа, которые тоже принимают дискретные значения, и одно из них тоже выражает степень раскрутки, но только она одинаковая для всех электронов. Это перефразирование того факта, что все магниты, связанные с электронами, равны по силе. При этом «раскруточное» число, относящееся к спину электрона, слегка нарушает правила, которые выполнены для электронов в атомах: там эти числа могут быть равны 0, 1, 2, 3 и так далее, тогда как собственное раскруточное число электрона – не целое, а полуцелое, причем наименьшее положительное полуцелое: 1/2. Это и выражают словами «спин электрона равен 1/2». Отвечающая электрону степень раскрутки – самая малая, которая только может существовать, не считая нулевой. В природе нет ничего с меньшей (но ненулевой) степенью раскрутки.
Из математики вражды следует, что второй атрибут вращения принимает не любые дискретные значения, а только некоторые, причем разрешенных значений тем больше, чем выше степень раскрутки{32}. При минимальной степени раскрутки 1/2 возможны только два значения: –ħ/2 и ħ/2. Они-то и проявляют себя как «спин вперед» и «спин назад» – те самые две возможности, с которыми мы сталкиваемся снова и снова, как бы мы ни поворачивали прибор Штерна – Герлаха. Сверх того у электрона никакого богатства нет, и показать ему нечего; вражда, связанная с вращением, в сочетании с малой степенью раскрутки оставляет скудный выбор. Электрон и откликается как умеет, одним из двух доступных ему способов, на вопрос о своем спине вдоль любого направления{33}.
Спин все-таки не настоящая стрелка: сам по себе он существует в малонаглядном состоянии, а как только мы беремся за прибор Штерна – Герлаха, чтобы на него «посмотреть», он упрямо укладывается «строго вдоль» или «строго против» установленного нами направления. Обычные стрелки, даже воображаемые, так себя не ведут. Но это удивительное поведение глубоко укоренено в математике и связано с тонкими свойствами поворотов в пространстве. (Да, «атрибуты вращения» хоть и квантовые и не описывают вращение в привычном смысле, все же состоят с ним в родстве.)
Математическое отступление почти на целую страницу о связи спина и поворотов, которое я хочу сделать, начинается с придуманного Дираком фокуса с ремнем. Возьмите ремень средней ширины и книгу, желательно толстую (содержание большого значения не имеет, важнее формат и масса). Раскройте ее примерно посередине, вложите между страницами конец ремня без пряжки, закройте и положите на край стола. Тяжестью своих страниц книга должна удерживать конец ремня. Держась за пряжку, растяните ремень как ленту (натягивать сильно ни к чему, да и невозможно, потому что ремень выскочит из книги). Теперь поверните пряжку на два полных оборота (на 720°); ремень при этом скрутится. А далее ваша задача – избавиться от этой скрученности, ничего больше не вращая. Зажмите пряжку в одной руке и не отпускайте! Другой рукой вам понадобится взять книгу, не давая ремню из нее выскочить. Вы увидите, что, не вращая книгу – сохраняя ее ориентацию в пространстве, – вы можете обнести ремень вокруг нее так, чтобы он полностью раскрутился. Скручивание на два полных оборота удается «открутить», не прибегая к вращению (ни пряжки, ни книги), а только обнося ремень вокруг книги.
Но если первоначально вы скрутили ремень не на два, а на один полный оборот, «открутить» его обратно таким способом не получится.
В одном полном повороте есть что-то, чего уже нет в двух полных поворотах – что вообще-то может показаться несколько странным, потому что, закрыв глаза, повернувшись на 360° вокруг любой оси и снова открыв глаза, вы увидите мир прежним: он возвращается в исходное состояние уже после одного полного поворота. И тем не менее имеется класс математических объектов, несколько более абстрактных, чем ремень и книга, которые остаются неизменными при повторении полного поворота дважды, т. е. при повороте на 720°, но изменяются при повороте на 360°. Эти объекты живут в специальных математических пространствах, но, обитая там, умеют откликаться на повороты в обычном пространстве. Назвали их спинорами – из-за их связи со спином. Математические команды они получают от «волшебной стрелки»: когда она поворачивается в нашем обычном пространстве, спиноры «там у себя» изменяются по определенным правилам. И они не остаются прежними после одного полного поворота «стрелки» в нашем пространстве; чтобы прийти в себя, они ждут второго такого же поворота. Нам тоже придется немного подождать следующего появления спиноров на этих страницах, но ожидание окупится: в конце концов они приведут нас в антимир, открытый только что упомянутым Дираком (вклад которого в картину мироздания выходит далеко за пределы фокуса с ремнем){34}.
Возвращаясь к упрямству «волшебных стрелок» самих по себе: оно ставит перед нами несколько вопросов о природе квантовой реальности. Следует ли полагать, что измеренное значение спина вдоль выбранного направления возникает в момент его измерения? И «происходит» ли что-нибудь между измерениями, когда спином электрона никто не интересуется? Мы не можем (по фундаментальным, как мы говорили, причинам) видеть квантовые объекты так, как видим обычные вещи или даже разглядываем мелкие, но вполне определенные подробности в микроскоп. Квантовые объекты «этим и пользуются», ведя лишенное наглядности существование, а информация от них доходит до нас при посредстве тех или иных устройств или агентов, которые вмешиваются в происходящее на квантовом уровне. По мере погружения в подробности квантового устройства вещей мы все острее осознаем проблему: в какой степени можно говорить о том, что представляют собой квантовые объекты «сами по себе»?
Чтобы рассуждать об этом, как минимум необходим какой-нибудь способ описания возможных состояний обитателей квантового мира: как вообще может быть устроена их «жизнь в себе» и какие средства позволят нам описывать ее настолько полно, насколько возможно? Из-за вражды, запрещающей определенные комбинации свойств, здесь далеко не все заранее ясно.
8
Что комбинируется и запутывается
Время от времени – и не так уж редко – нам случается переживать несколько различных эмоций сразу. Испытывая комбинации эмоций типа «грустно и легко одновременно», мы находимся во власти обеих, но и каждая не теряет своей индивидуальности. В привычном физическом мире, в отличие от психического, индивидуальности вещей не смешиваются. Камни, стулья и тигры существуют сами по себе, каждый является чем-то одним. Электрон, однако, способен одновременно «переживать» состояние со спином вверх и состояние со спином вниз, а равным образом – свое нахождение в множестве точек пространства, притом что находиться в любой конкретной ему со всей возможной строгостью запрещено. Сосуществование различных возможностей описывается в рамках специальной математической схемы – ключевого элемента всей квантовой механики.
Успех всеобщей шрёдингеризации неотделим от способа описания квантовых систем, при котором различные «возможности» комбинируются в нечто единое, существуют вместе, но не растворяются друг в друге. Это определяющий момент в построении квантовой механики, ее внутренний механизм, работающий по своим особым законам. Из предыдущих глав должно быть ясно, что практически ничего «обычного» электрон и его собратья делать не могут: не могут, для начала, двигаться по определенным траекториям. На их долю остаются «переживания» (разумеется, в кавычках) в специальных математических пространствах. Там свои правила, и туда, довольно удивительным образом, переносятся основные события: там все и происходит.
Вообще для описания любой системы требуются средства, позволяющие перечислить все, что с ней в принципе может случиться – перечислить все ее возможные состояния. Не побоюсь тавтологии: «состояние» как теоретическая конструкция – например, для использования в уравнении – должно максимально полно описывать состояние интересующей нас системы. В нашем привычном мире эту роль выполняют положение в пространстве и скорость (с учетом направления, конечно) для каждой «самостоятельной» части системы, которая нас интересует. Камни могут лежать рядом друг с другом, а могут быстро разлетаться в разные стороны.
В квантовом же мире в абстрактную конструкцию состояния, какой бы она ни была, можно включить только по одному элементу из каждой враждующей пары «положение – скорость»: если положение в пространстве, то не скорость. Но куда же годится такое неполное описание с использованием только половины величин? В случае «камней» этой половины определенно было бы недостаточно. Кажется, что мы теряем возможность описывать, что происходит с квантовыми системами.
Здесь интрига усложняется. С одной стороны, я проявил пресловутую недисциплинированность мышления, перенеся на квантовый случай понятие «происходит», которое нагружено смыслами из окружающего мира, почти наверняка неприменимыми в мире квантовом; там не следует предполагать ничего из «очевидного», а рассуждать надо более формально. А с другой стороны – как раз в рамках более формальных рассуждений – оказывается, что хоть мы и ограничены «бедным» описанием на основе только половины величин, мы получаем за это неожиданную компенсацию: состояния наделяются особым свойством – возможностью комбинироваться колоссальным числом способов. Ради такой возможности им и приходится жить в математических пространствах.
Если квантовая система в принципе может находиться в состоянии А, а также может находиться в состоянии Б, то она может находиться и в произвольной комбинации этих состояний. Характерный пример «из жизни» мы уже встречали в главе 4: мы говорили там, что у электрона в атоме нет свойства занимать какое-либо положение в пространстве. К этому сейчас можно добавить, что причина – именно в комбинации (по официальной терминологии, суперпозиции) состояний. Электрон в атоме находится в комбинации состояний, каждое из которых отвечает определенному положению, но именно наличие комбинации не позволяет электрону занимать какое бы то ни было положение в пространстве. Если вам не вполне ясно, как представить себе такой способ существования электрона, то это нормально. Не оглядывайтесь по сторонам в надежде увидеть квантовое состояние! Их здесь нет, они населяют свое собственное пространство.
Комбинирование состояний не назвать наглядным именно потому, что прямого классического аналога у этого явления нет: оно определенно находится по ту сторону границы между классическим и квантовым. Чтобы не погружаться в психологию, которую я имел неосторожность затронуть в самом начале главы (и которая к квантовой теории прямого отношения не имеет), я предлагаю метафору квантовых состояний, в которой отсылаю всего лишь к волшебству. Ни одна метафора не совершенна, и никакую не следует заводить слишком далеко, чтобы не дойти до абсурда; эта моя метафора тоже не идеальна, но я надеюсь продержаться с ней некоторое время.
Представьте себе, что вы в казино и у вас на руках волшебная, «квантовая» карта – одна карта, содержащая в себе комбинацию нескольких: скажем, тройки треф, семерки треф и туза пик. Речь идет не о «комбинации» из нескольких карт, как «стрит» или «каре» в покере, а о (волшебной, как было сказано) комбинации из нескольких значений внутри одной карты.
Для учета таких комбинаций в этом казино – буквально повторяя то, как это делается в квантовой механике, – предлагается использовать арифметические действия. Например, содержанием вашей карты может быть «тройка треф плюс семерка треф» (туз пик в этот раз оказался исключенным). Этот плюс не означает, что у вас на руках десятка треф – нет, значения не складываются, значение каждой карты «защищено» тем, что это не число само по себе, а значение карты. Другой вариант комбинации – «семерка треф минус две тройки пик». Здесь тоже не надо производить арифметические действия: значения карт не участвуют в математических операциях. К числу «минус два», сопровождающему значение карты, надо относиться терпеливо, смысл таких чисел прояснится позже. (Кстати, эти числа могут быть абсолютно любыми, а целые я обычно использую только для простоты.)
Может наступить момент, когда казино попросит вас предъявить карту. Первое, что вам надлежит знать, – отказаться тут нельзя (к этому центральному обстоятельству в настоящей, не-метафорической квантовой механике мы еще будем возвращаться; в казино же это не проблема, там найдутся люди, которым трудно отказать). А кроме того, в тот момент, когда казино обязывает вас выложить карту, эта ваша карта перестает быть волшебной: она превращается в одну из обычных карт – но только в одну из тех, которые участвовали в комбинации. Если комбинация, которая составляла содержание вашей волшебной карты, – это «двойка червей минус две тройки пик плюс одна треть дамы треф», то предъявленная вами карта может оказаться или двойкой червей, или тройкой пик, или дамой треф (уже без всяких сопровождающих чисел). Но не какой-либо другой картой. Правда, решить, какой именно из перечисленных, вы не можете: волшебная карта, расколдовываясь в обычную при предъявлении, решает это за вас.
Мы начинаем подозревать, что комбинации внутри волшебных карт – это что-то вроде списка возможностей. И, честно говоря, называются они не комбинациями, а суперпозицией, а «волшебная карта» в квантовой механике называется волновой функцией. Волновая функция, описывающая состояние, скажем, электрона, может, например, быть комбинацией возможностей, каждая из которых – нахождение электрона в какой-то точке пространства; но пока там присутствует более одной возможности, электрон не находится ни в одной из этих точек. Различные волновые функции содержат много или мало возможностей и различаются теми числами, которые сопровождают каждую возможность{35}.
Полезным будет одно терминологическое упрощение: поскольку волновая функция – это все, что мы можем сказать о состоянии электрона, про нее можно думать и говорить, что она и есть состояние электрона. Собственно говоря, термины «волновая функция» и «состояние» указывают на одно и то же, но я употребляю то одно, то другое название, исходя из каких-то личных предубеждений: волновая функция просится на язык в более общем контексте («волновая функция электрона»), а состояние, как правило, относится к чему-то более конкретному («состояние с наименьшей энергией»); впрочем, четкой границы здесь нет.
Волновые функции/состояния населяют математическое пространство, которым я пугал читателя уже в главе 3. Математическое оно именно потому, что загруженным туда возможностям разрешается комбинироваться друг с другом путем сложения – с помощью знака плюс, используемого в том же слегка ускользающем смысле, что и в волшебных картах (кроме того, как мы видели, различные возможности могут умножаться на числа, например, минус два и одна треть). С нашим обычным пространством оно напрямую никак не связано.
Согласно принципам квантовой механики, нет никакого другого способа говорить о том, что «происходит с электроном», кроме как обсуждать его волновую функцию (она же – состояние). Все вопросы о том, «что делает» электрон, надо задавать волновой функции, и мы регулярно будем так поступать.
И если вы успели перевести дух после преодоления классическо-квантового водораздела, то вот следующий важный вопрос. Позади остались классические состояния, выражающие положения и скорости. Сейчас же перед нами волновая функция электрона в виде комбинации состояний, отвечающих различным положениям. Да, если этих положений хотя бы два (а их, как правило, бесконечно много), то электрон лишается свойства находиться в какой бы то ни было точке пространства. Но что со скоростью? «Приделать» дополнительную информацию о скорости к имеющейся волновой функции нельзя из-за вражды. Мы столкнулись лицом к лицу с вопросом, который, пусть робко, уже звучал раньше: не приводит ли вражда между величинами к неполному описанию мира?
Нет, квантовая механика не так проста. Польза от того, что основной ареной стало пространство, населенное волновыми функциями, оказывается немалой: там обнаруживается необходимое количество математических фокусов для «восстановления полноты бытия». Вспомним, что мы говорили в главе 3: в недрах квантовой механики физические величины принимают вид операций, воздействующих на математические объекты. Эти последние и есть волновые функции! Скорость тоже становится средством воздействия на них: из одних волновых функций она производит некоторые другие по четко установленным математическим правилам. В колоссальном большинстве случаев (можно сказать, почти всегда) в результате получается «совсем другая» волновая функция; этот математический факт означает, что у электрона в рассматриваемом состоянии нет никакого определенного значения скорости. Имеются тем не менее такие специальные волновые функции, что действие на них скорости-как-операции приводит всего лишь к умножению их на число. Это число в таком случае и является точным значением скорости электрона в данном состоянии. Построить такие состояния можно, если весьма специальным образом комбинировать вообще все положения в пространстве; «вражда» оборачивается таким образом своеобразной кооперацией в самой глубине математического формализма. Другое дело, что состояния электронов в атоме не представляют собой ни одну из этих специальных волновых функций, и у этих электронов нет ни определенного положения в пространстве, ни определенной скорости (хотя вне атома могло бы быть одно или другое; в атоме же, как мы помним, вместо этого имеются определенные значения энергии и атрибутов вращения).
Волновая функция вносит дополнительный поворот в сюжет, когда перед нами больше одного электрона (или чего угодно еще). Если в системе имеется несколько самостоятельных частей, то волновая функция как «перечисление возможностей» имеет дело со всеми этими частями сразу – она просто не умеет снисходить до каждой в отдельности. Это необычное свойство с последствиями, которые еще будут нас преследовать. Для простоты ограничимся тройкой электронов: в волновой функции тогда в качестве возможностей перечислены тройки точек; каждая тройка представляет возможную конфигурацию трех электронов. Но в волновой функции совсем ничего не сообщается о каком-либо одном электроне безотносительно к другим.
Вместо электронов попробуем на минуту представить себе сумасшедшее квантовое турагентство, которое планирует отпуск для Павла, Юрия и Александры, но почему-то делает это не совсем обычным образом, а построив аналог волновой функции. А именно, обсуждаются тройки, и только тройки, возможностей: скажем, Павел в Гондурасе, Юрий в Таиланде, Александра в Швеции; Павел в Аргентине, Юрий в Индии, Александра в Нидерландах; Павел в Ботсване, Юрий в Омане, Александра в Марокко; и так далее{36}. Каждая тройка возможностей сопровождается своим числом, и каждая сосуществует в «волновой функции» со всеми остальными. Но эти числа не относятся к странам по отдельности: разложив на столе карту мира, нельзя подписать на ней что-то вроде «коэффициента пребывания» для каждой страны – это можно сделать только для троек стран.
А в метафоре карт у вас на руках тогда три карты, которые не просто волшебные, но еще и согласованным образом волшебные. Впрочем, чтобы мои примеры оставались не особенно громоздкими, пусть, пожалуй, карт будет все-таки две; тогда они могут быть такой, например, комбинацией: «(валет треф и двойка пик) минус (пятерка бубен и десятка треф) плюс (дама червей и туз пик)». Поскольку мы уже находимся в опасной близости к математике, стоит воспользоваться удобным обозначением – скобками – для более ясной расстановки смыслов. Внутри каждой скобки – то, чем может оказаться пара волшебных карт, когда казино попросит их предъявить. Выложив ваши две карты, вы можете тогда обнаружить, что это дама червей и туз пик. Или одна из двух других возможностей – но никогда не перекрестные комбинации, скажем, валет треф и туз пик. Тем, кого математикой не испугать, в качестве домашнего задания остается расставить знаки вместо слов «плюс» и «минус». Получится, если не считать игорной тематики, практически «настоящая» волновая функция.
Картина, основанная на сложении/комбинировании возможностей, выглядит не совсем обычной, и не зря: она лежит в основе большинства «необычностей» квантового мира. Я не перестаю удивляться, что основанная на ней схема, во-первых, вообще была придумана, а во-вторых, привела к беспрецедентным успехам в описании природы (среди прочего, именно эта абстрактная волновая функция «выращивается» в квантовом компьютере так, чтобы привести к совсем не абстрактному ответу). Чтобы увидеть, как она работает, нужны кое-какие дополнительные средства; им посвящены следующие главы, а сейчас я еще раз прошу читателя отнестись ко всей идее «комбинирования» максимально внимательно.
Комбинирование возможностей в волновой функции в сочетании с изящной математикой объясняет «выкрутасы» с повторными измерениями спина, которые мы наблюдали в главе 7. Мы брали там электроны в состоянии «спин вверх» и измеряли их спин в приборе Штерна – Герлаха, который лежит на боку и поэтому может выдавать только результат «спин влево» или «спин вправо». Положить измерительный прибор на бок означает выполнить поворот на 90º. В небольшом математическом отступлении о поворотах в предыдущей главе появились спиноры – обитатели абстрактного пространства, математически чувствительные к поворотам, выполняемым в нашем физическом пространстве: когда «волшебная стрелка» поворачивается здесь у нас, они откликаются на это, изменяясь по определенным правилам.