Владимир Левшин

Фрегат капитана Единицы



ОТВАЛЬНАЯ

Я очень тороплюсь, поэтому буду краток. Я всегда краток. Кто я такой? Я — Нулик, а моя мама-Восьмёрка (она меня очень любит, и я её тоже очень люблю). Живём мы в Арабелле — столице Арифметического государства Карликании. Вас, наверное, интересует, кто помог мне попасть на Фрегат капитана Единицы? Никто! Только смелость. Я очень смелый. Шесть раз поднимал телефонную трубку и всё не решался позвонить капитану. В седьмой раз я смело набрал номер и сказал:

— Здравствуйте, капитан Единица! Я слышал, что завтра, первого нуляля, вы отправляетесь в плавание. Очень прошу вас взять меня с собой. Я никогда не плавал, а это, должно быть, весело!

— Во-первых, — ответила трубка, — почему ты будишь меня среди ночи? Ночью я сплю. Во-вторых, я в самом деле завтра, первого нуляля, отправляюсь в рейс. В-третьих, там будет не только весело, но и трудно. В-четвёртых, твоя мама никогда не разрешит тебе броситься в пучину невероятных опасностей, неслыханных лишений, отчаянных схваток! Конечно, кроме опасностей, лишений и схваток, нас ждут волшебные открытия. Но без согласия мамы я ни за что не возьму тебя с собой.

К счастью, я не только смел, но и находчив. Поэтому ответил так:

— Величайший из капитанов, моя мама-Восьмёрка сама умоляет вас взять меня с собой. Она говорит, что такому опытному, знаменитому, храброму капитану, как вы, она может доверить даже меня. Она просит вас…

— Ну, если мама сама… тогда другое дело! Я счастлив оказать ей эту услугу. Так и быть, назначу тебя юнгой. Но тебе придётся здорово поработать. На моём Фрегате лентяев не держат! Спокойной ночи!

— Подождите! — закричал я. — Вы не сказали главного — куда собираетесь плыть?

— Это секрет! Но тебе, мой юнга, я его открою. Наш путь лежит через арифметические, алгебраические и геометрические моря и океаны. Мы будем качаться на рейдах, проходить заливы и проливы в приливы и отливы, увидим гавани, порты, бухты…

Я спросил, где сейчас стоит Фрегат.

— В бухте А, — ответил капитан. — Да не в букве, а в бухте. И вообще не мешай мне спать. Привет маме.

Одно дело сделано: капитана я уговорил. Оставались самые пустяки уговорить маму. Я её тотчас разбудил. Мама перепугалась, решила, что я заболел, но я выпалил единым духом, что совершенно здоров что сейчас звонил капитан Единица он не хотел её будить а у него неприятность заболел юнга и капитан умоляет отпустить меня в рейс а я сказал что мама ни за что на это не согласится… Уф!

— Что ты?! — Мама всплеснула руками. — Разве я могу запретить тебе ехать, если капитан умоляет? Да, но как я отпущу тебя одного в такое опасное плавание? Что мне делать?

Мама сейчас же позвонила капитану, снова разбудила его и долго благодарила за заботу обо мне, а капитан долго благодарил маму за доверие. Вот так я и очутился на Фрегате. Вы скажете, что я поступил нехорошо и мне за это достанется? Что поделаешь, наука требует жертв!

До отплытия остаётся несколько минут. Мама с берега машет мне платком и утирает слезы. Не плачь, мама! Прощай! Но вот капитан Единица подал команду: «Отдать концы!» — и все запели отвальную:





Фрегат готов к отплытию.
Ведёт нас капитан
К невиданным открытиям,
К неслыханным открытиям
В открытый океан,
В открытый океан!


Надёжны все крепления.
И в шторм и даже в штиль
Пройдём никак не менее,
Да, уж никак не менее
Тра-та-та тысяч миль,
Тра-та-та тысяч миль!


Порядок полагается
Повсюду и всегда,
И рейс наш начинается,
Да, рейс наш начинается
Из первой бухты А,
Да, да — из бухты А!



Почему эта бухта так называется, мне пока неизвестно. Когда узнаю, занесу в судовой журнал. Я ведь буду вести журнал. И очень вас прошу, читайте его понемногу, по одной главке в день — так, как я писал. А то поспешишь — людей насмешишь!

НЕПТУН СЕРДИТСЯ

1 нуляля

Как только отдали эти самые концы, я отправился осматривать Фрегат. Больше всего мне понравилась пушка. Вот бы пальнуть из неё разок!

Возле пушки стояли капитан Единица и штурман Игрек, они что-то там крутили. Я спросил, не собираются ли они дать салют. Капитан пожал плечами и сказал, что из этого оружия салюта не получится: это не пушка, а телескоп. Да и Фрегат наш не военное, а учебное судно. Я и забыл, что здесь придётся учиться! Я спросил у капитана, что он разглядывает в телескоп.

— Телеграфные провода, — отвечал капитан. — Хочу ещё раз убедиться, что они не провисли, а остались прямыми линиями, как им полагается. Кстати, знаешь ли ты, что такое прямая линия?

Я ответил, что знаю: прямая линия — это такая линия, которая… прямая. Капитан возмутился: это, мол, не определение, а кит знает что!

— Прямая линия, — вмешался штурман, — это кратчайшее расстояние между двумя точками.

— Нет-нет, — поправил его капитан, — кратчайшее расстояние между двумя точками — это только отрезок прямой. Ведь прямая тянется в обе стороны бесконечно.

Я взял карандаш и прямо на палубе нарисовал длиннющий отрезок прямой. Но капитан сказал, что моя прямая линия вовсе не прямая, а…

Это-то я и сам видел. Кривой она получилась потому, что палубу качает. А вообще-то я умею рисовать прямые линии. Такие прямые, как верёвки, что натягивают паруса: проведи по ним смычком, и они запоют!

— Это не верёвки, — поморщился капитан, — а ванты. Они слишком толсты, чтобы называться линиями. Математики прямыми линиями называют совсем другое. Хочешь видеть настоящие прямые линии — взгляни на здешние телеграфные провода.

Я взглянул на берег, но никаких проводов не увидел, а капитан сказал, что, если я не увидел, это ещё не значит, что их нет. Он велел мне взглянуть в телескоп, и… что за штука! — между столбами в самом деле были натянуты провода — тоненькие-претоненькие! Капитан сказал, что они вовсе не имеют толщины, одну только длину. Их без этого волшебного телескопа и увидеть нельзя, а можно только вообразить.

Но как эти провода держатся на столбах? Оказалось, что, как и всякие провода, они держатся на изоляторах, которых тоже не видно. Потому что здешние изоляторы — это математические точки. У них нет ни длины, ни ширины, ни толщины!

Капитан покрутил ещё какие-то винтики, и я наконец увидел крохотные точки-изоляторы.

— Здорово вы мне всё это доказали… — начал я, но тут же осёкся, потому что с капитаном случилось что-то непонятное: он замахал руками, стал кусать воздух и долго не мог ни слова выговорить, а потом как закричит:

— Ничего я тебе не дока… я тебе пока… по-ка-зал! Что тут началось! Среди ясного неба сверкнула молния, загрохотал гром, Фрегат качнуло так, что я чуть не свалился в воду, а вода в бухте закипела, и из неё вылез бородатый старик в золотой короне. Он размахивал огромной вилкой и чуть не угодил мне в глаз.

— Кто тут собирается что-то дока… и так далее?! — завопил он. — Кто нарушает законы этой бухты?

Капитан и штурман упали на колени и, перебивая друг друга, заголосили:

— Ваше величество! Повелитель морей и океанов! Великий царь Нептун! Это же Нулик! Простите его! Он больше не будет!

Здравствуйте! Оказывается, я же во всём и виноват!

— Да, да, ты! — накинулся на меня Нептун. — Я запретил произносить в этой бухте слово «дока…» и так далее!

— А почему, ваше морское величество? — спросил я.

— О горе мне и всему подводному царству! — застонал старик. — Этот юнга, видно, не знает, что А — сокращённое название бухты Аксиома!

— Ваше величество, — сказал капитан, — что толку для него в названии бухты? Ведь он понятия не имеет об аксиоме!

Нептун почесал вилкой в бороде, сердито хмыкнул и неожиданно нырнул в воду.

Сообразив, что опасность миновала, я потребовал у капитана объяснения, но он сказал, что, пока мы не покинем бухты Аксиомы, ничего объяснять не станет.

Через несколько часов он наконец позвал меня и спросил, стану ли я дружить с тем, кто может ни с того ни с сего обидеть собаку или кошку. Само собой разумеется, не стану. А приду ли я на помощь другу, если он окажется в беде?

Что за вопрос! Конечно, приду! Никто не оставит друга в беде. Это всем ясно и не требует никаких доказательств!

— Вот, вот, вот! — обрадовался капитан. — В жизни так и объясняют значение слова «аксиома». Аксиома — то, что само собой разумеется и не требует доказательств. Но математики определяют аксиому несколько иначе. Учёные — народ недоверчивый, осторожный… Вместо «НЕ ТРЕБУЕТ доказательств» они говорят: «Аксиома — это то, что мы ПРИНИМАЕМ без доказательств».

— Что в лоб, что по лбу! Одно и то же!

— Ошибаешься, — возразил капитан, — совсем не одно и то же. По мнению математиков, аксиома не то что бы не требует доказательств, а её невозможно доказать. Потому приходится принимать её на веру.

Я спросил: как учёные придумывают эти аксиомы? Оказалось, они их не придумывают, а принимают после долгих наблюдений и опытов.

— Всякая наука начинается с аксиом, — заключил капитан. Так вот почему мы начали рейс из бухты А! Всё всегда начинается с начала!

Я спросил капитана: какую он знает самую простую математическую аксиому? Он ответил, что все аксиомы простые, и, в свою очередь, пожелал узнать, сколько, по-моему, прямых линий можно провести через две точки. Я догадался, что, наверное, не больше одной.

— Правильно! То, что ты сказал, и есть математическая аксиома, похвалил меня капитан. (Люблю, когда меня хвалят!)

— Теперь уж вовек не забуду, что между двумя точками можно провести только одну прямую! — обрадовался я. Только рано. Потому что тут снова появился штурман Игрек и заявил, что я сказал чепуху, что между двумя точками можно провести не одну, а сколько угодно прямых. Он взял лист бумаги, поставил две точки, а затем провёл между ними штук пятнадцать прямых! Оказывается, надо говорить не «МЕЖДУ двумя точками», а «ЧЕРЕЗ две точки». Вот как важно подбирать нужные слова, если хочешь, чтобы тебя правильно поняли!

ПРАВДИВАЯ ЛЕГЕНДА

2 нуляля

У меня появился друг — младший кок. Его зовут Пи. Утром мы с ним поднялись на палубу и увидели маленький треугольный островок. У него три берега: один длиною в три метра, другой — в четыре, третий — в пять.

Капитан сказал, что это особенный треугольник. Он — прямоугольный, потому что один из трёх его углов прямой.

— А другие кривые? — засмеялся я.

— Кит знает что ты мелешь! — возмутился капитан. — Углы бывают прямые, острые и тупые. (При слове «тупые» он выразительно посмотрел на меня.) Острый угол всегда меньше прямого, а тупой — больше. Углы принято измерять в градусах.

Я вспомнил, что температуру тоже измеряют в градусах, — этак легко их спутать. Но капитан сказал, что никакой путаницы быть не может. Одно дело градусы температуры, другое — градусы угловые. Слово «градус» в переводе с латинского означает «ступень» или «шаг». Когда у больного повышается температура, ртуть в градуснике поднимается вверх по шкале, как по ступенькам лестницы. А вот стрелки часов — те шагают по угловым градусам. Например, секундная стрелка за один полный оборот, то есть за 60 секунд, отмеряет угол в 360 градусов. Значит, за одну секунду она пробегает 6 градусов (ведь 360:60 = 6). За это же время минутная стрелка отмеряет угол в 60 раз меньший, ведь в минуте 60 секунд. Ну, а часовая стрелка движется ещё медленнее — в 12 раз!

Капитан вынул часы.

— Ровно 3 часа, — сказал он. — Как видите, минутная и часовая стрелки сейчас взаимно перпендикулярны. Это значит, что угол между ними — 90 градусов. Такой угол и называется прямым. Берега этого острова, образующие прямой угол, называются катетами, а берег, расположенный против прямого угла, — гипотенузой.

Тут штурман объявил, что хочет рассказать нам одну правдивую легенду об этом острове. Я сказал, что правдивых легенд не бывает, потому что легенда — это выдумка. Капитан, однако, заметил, что не всегда.

— Когда-то на этом острове, — начал штурман, — было всего-навсего три жителя: мама и два её сына. Маму звали Гипотенузой, а обоих сыновей Катетами. Но чтобы не было путаницы, старшего называли Катетом большим, младшего — Катетом маленьким.

Все трое очень любили плавать. А чтобы дети не заплывали чересчур далеко, мама взяла канат и отгородила им в море квадратный участок возле самого длинного берега, что в пять метров длиной. (Точь-в-точь как огораживают ринг для бокса, только здесь четвёртой стороной был сам берег.) Каждая из четырёх сторон этого участка была равна пяти метрам, и, стало быть, площадь для плавания была вполне подходящая — 25 квадратных метров. (Ведь для того чтобы вычислить площадь квадрата или любого прямоугольника, надо перемножить длины двух его сторон. А пятью пять — двадцать пять.)

Однажды мама отправилась путешествовать, а сыновей оставила дома. Те сразу стали ссориться. Нехорошие были Катеты! Каждый говорил, что другой мешает ему плавать стилем брасс. И решили они друг от друга отгородиться разделить плавательный участок на две части. Катет большой немедленно достал новый канат, отметил четыре метра по берегу, столько же на одной стороне прежней канатной ограды и отделил себе лучший участок в 16 квадратных метров (4?4 = 16). А то, что осталось — 9 квадратных метров (25?16 = 9), — отдал брату.

Очень скоро Катет маленький понял, что его обделили, потому что брату достался удобный квадратный бассейн, а ему два каких-то закутка, где ни кролем, ни брассом не развернёшься!

Дело дошло до драки, да хорошо, мама вернулась вовремя. Она отшлёпала обоих, вышвырнула лишние канаты и сказала, что теперь весь этот участок оставляет только для себя, а сыновьям отделила два новых, также квадратных, участка. Один примыкал к берегу, у которого длина 4 метра, другой — к берегу, что в 3 метра.

Так каждый из братьев получил по отдельному огороженному участку для плавания: старший — площадью 16, младший — 9 квадратных метров. И оказалось, что участки обоих братьев по общей площади равны маминому участку:

3*3 + 4*4 = 5*5.

Теперь все купались, не мешая друг другу, а потом шли на берег греться и пить кофе. Вот и вся легенда.

— Легенда легендой, — добавил капитан, — а это замечательное свойство прямоугольного треугольника обнаружил великий математик древней Греции Пифагор. И записал он его так: площадь квадрата, построенного на гипотенузе любого прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

ДУМАТЬ НАДО, ДУМАТЬ!

3 нуляля

— Внимание! — сказал капитан. — Фрегат идёт вдоль берега Точных Доказательств. Здесь надо вести судно особенно осторожно: повсюду подстерегают подводные камни. Один неумелый манёвр — и можно утонуть в море Ошибок. Вот герб берега Точных Доказательств.

Капитан протянул нам памятный значок. На одной его стороне было написано: «Меньше слов — больше смысла», а на обороте — «Требуйте точных и красивых доказательств!»

Да, это вам не бухта Аксиома, где ничего нельзя доказывать! Здесь не только можно, но и нужно. Но капитан сказал, чтобы я не слишком торопился отделаться от аксиомы. Потому что без аксиомы ничегошеньки не докажешь. Ни одной теоремы!

— Чего-чего? — переспросил я.

— Те-о-ре-мы! — повторил капитан. — Это слово греческое и означает в переводе «обдумывание». Для того чтобы доказать теорему, надо много думать.

Я сказал, что, наверное, очень трудно доказывать теоремы. Но капитан ответил, что совсем не трудно, если всё время думать логически, то есть рассуждать правильно, последовательно, так, чтобы одна мысль вытекала из другой, а не противоречила ей. Уметь логически рассуждать важно каждому, а математику — особенно.

Я попросил капитана доказать какую-нибудь теорему. Он нарисовал два треугольника, оба прямоугольные, — я это понял сразу, потому что не успел ещё забыть легенду про маму-Гипотенузу и братьев-Катетов. Капитан велел запомнить, что точки, где сходятся стороны треугольника, называются вершинами и что вершин у треугольника три. Он их обозначил латинскими буквами. У одного треугольника — большими (А, В, С), у второго — маленькими (а, b, с).

— Эти треугольники замечательны тем, — продолжал капитан, — что как меньшие, так и большие катеты у обоих одинаковой длины. Вот и надо доказать, что при этом треугольники равны между собой.

Я чуть было не брякнул, что это очень просто, но капитан остановил меня.

— Первым делом, — сказал он, — надо определить, что такое равные треугольники. Ведь прежде чем что-либо доказывать, надо знать, что собираешься доказать. Так вот. Если ты возьмёшь два треугольника, наложишь их аккуратно один на другой и они в точности совпадут, то такие треугольники и называются равными.

Я тут же решил вырезать один из нарисованных треугольников, а потом наложить его на другой, но капитан сказал, что это будет не доказательство теоремы, а кит знает что.

Во-первых, нам может только показаться, что треугольники совпали, потому что зрение наше несовершенно. Но если даже треугольники совпадут в точности, мы докажем лишь то, что равны только эти треугольники. А теорема должна быть справедливой не для двух, а для всех прямоугольных треугольников, у которых катеты соответственно равны.

— А для этого, друзья, — закончил капитан, — нужно уметь рассуждать. Думать надо, думать!

Ничего не поделаешь, придётся немножко и подумать.

— Начнём доказательство со слов: «Допустим, что…», — сказал капитан. — Допустим, что я мысленно (обратите внимание — мысленно!) накладываю вершину прямого угла одного треугольника на вершину прямого угла второго — точку А на точку а. А потом осторожно накладываю друг на друга два равных катета. Как вы думаете, совпадут концы этих катетов или нет? Совпадут точки В и в?

— Совпадут, — ответил Пи, — ведь катеты эти одинаковой длины.

— Верно. Теперь допустим, что эти катеты крепко-накрепко склеились. Наложатся друг на друга два других катета? Думайте, думайте!

— Ясно, наложатся, — ответил я. — Углы между катетами у обоих треугольников прямые — значит, одинаковые, по 90 градусов, длины катетов тоже одинаковые.

— Ты делаешь успехи, Нулик! — похвалил капитан. — Итак, логика помогла нам выяснить, что катеты обоих треугольников накрепко склеились. Остаётся установить, совпали гипотенузы или нет.

Мы с Пи понимали, что гипотенузы должны совпасть, но капитан потребовал, чтобы мы это до-ка-за-ли! Да, нелёгкая это работа — из болота тащить бегемота! Хорошо, капитан дал наводящий вопрос: все ли вершины треугольника совпали?

— Все! — сказал Пи.

— Значит, — сообразил я, — совпали и гипотенузы ВС и вс!

Капитан прищурился:

— Ой ли? А из чего это следует?

Из чего? Ах я чудак этакий! Да из аксиомы! Аксиомы о том, что через две точки можно провести только одну прямую!

— Логично, — согласился капитан. — Теперь теорема доказана: треугольники в точности наложились один на другой. Стало быть, они равны между собой.

Ура! Да здравствуют аксиомы!!

ПОСТОЯННЫЕ ОТНОШЕНИЯ

4 нуляля

Какие чудные имена бывают у островов! Как вам, например, нравится такое — «Остров Отношений»? Мы с коком чуть со смеху не лопнули, когда услышали, что так называется нынешняя наша стоянка. Добро бы ещё это был Остров Добрых Отношений или, на худой конец, Остров Плохих Отношений… А то просто отношений — и всё тут!

Но капитан сказал, что остров этот ни к добрым, ни к плохим отношениям отношения не имеет. Это остров отношений математических.

Мы, конечно, потребовали объяснений и, как всегда, своё получили.

— Смотрите, — сказал капитан. И написал на листе блокнота вот что:

6:2 = 3

Ну, мы сразу поняли, что это пример на деление.

— Верно, — сказал капитан, — но тот же самый пример на деление можно рассматривать как пример на отношение чисел. Разделив шесть на два, мы выясним, как эти числа относятся друг к другу.

— Ага! — обрадовался я. — Значит, у чисел всё-таки есть какие-то отношения!

— Разумеется, — подтвердил капитан, — но не добрые и плохие, а числовые. И если у нас с тобой отношения могут меняться в зависимости от твоего поведения (сегодня — хорошие, завтра — плохие), то у чисел они никогда не меняются. Отношение шести к двум всегда равно трём, десяти к двум — пяти, тридцати шести к четырём — девяти…

— Значит, разные числа относятся друг к другу по-разному? — сообразил Пи.

— Не всегда, — сказал капитан. — В том-то и дело, что есть много пар разных чисел, которые относятся друг к другу совершенно одинаково. Отношение шести к двум равно трём. Но ведь трём равно и отношение двенадцати к четырём, восемнадцати к шести, ста двадцати к сорока. Таких пар можно подобрать сколько угодно. Соединим два таких отношения знаком равенства и получим пропорцию:

6:2 = 12:4

Ведь пропорция как раз и есть равенство двух отношений, а числа, образующие пропорцию, называются соответственно пропорциональными.

Капитан хотел сказать ещё что-то, но я спросил: что значит «соответственно»?

— А то, — объяснил капитан, — что делимые двух отношений пропорциональны их делителям. 6 и 12 пропорциональны 2 и 4.

Ничего не скажешь, всё понятно, но, по совести, скучновато. Во всяком случае, после рассказа капитана ничего интересного от острова Отношений мы не ждали. И напрасно.

Не успели мы сойти на берег, как тут же попали в кино и с удовольствием посмотрели весёлый приключенческий фильм «Великолепная Восьмёрка». Правда, какое отношение к числовым отношениям имеет кино, мы поначалу не уловили, но оказалось, что самое непосредственное.

Кинолента состоит из крохотных кадров, а на экране те же кадры мы видим увеличенными во много-много раз. Но самое главное здесь в том, что числовое отношение всех размеров изображения остаётся при этом точно таким же, как и на плёнке.

На плёнке изображён дом. Высота его, допустим, 8 миллиметров, ширина 4. На экране же высота этого дома стала 80 сантиметров, а ширина — 40. Дом вырос в 100 раз. Но отношение его высоты к ширине ничуть от этого не изменилось. Все размеры его соответственно пропорциональны размерам на плёнке. Стало быть, на экране мы видим точное подобие того, что есть на киноленте. Вот почему изображения, все размеры которых соответственно пропорциональны, называются подобными.

Мы, разумеется, тут же предположили, что раз существуют изображения подобные, значит, должны быть какие-то бесподобные.

— Выдумщики! — засмеялся капитан.

Он сказал, что бесподобных изображений в математике нет, зато есть не подобные, и повёл нас… в комнату смеха.

Да, да. На Острове Отношений тоже есть комната смеха. Как в нашем парке культуры и отдыха. Здесь, как водится, понаставлены всякие зеркала. В одном ты — кубышка, поперёк себя толще, в другом — длиннющая жердь.

Я очень люблю смотреться в такие зеркала и каждый раз хохочу до упаду. Только прежде я смеялся просто так, а сегодня понял, что меня смешит. Я смеюсь оттого, что вместо подобной себе фигуры вижу не подобную, не пропорциональную, то есть такую фигуру, где привычное соотношение всех частей тела изменено, нарушено.

Но для чего всё-таки нужны все эти подобия и неподобия, пропорциональности и непропорциональности? Зачем их изучают? Да затем, что без правильных пропорций не создашь ничего путного.

Когда архитектор строит дом, он заботится не только о его прочности и удобстве, но и о том, чтобы на него приятно было смотреть. А приятно смотреть на такое здание, где всё соразмерно, где найдены правильные, красивые пропорции. Конечно, найти их нелегко. Для этого надо быть не только хорошим строителем, но и художником, то есть обладать чувством прекрасного.

Капитан сказал, что чувство это было в высшей степени свойственно древним грекам. Недаром же созданные ими статуи до сих пор остаются недосягаемым образцом в искусстве, точно так же как древнегреческие здания — в архитектуре. И происходит это потому, что греки нашли совершенные, идеальные соотношения между частями человеческого тела. Точно так же умели они находить правильные соотношения между частями зданий. Потому-то найденные ими пропорции называют классическими…

— А почему сейчас архитекторы не строят таких классических зданий? - спросил я.

— Да потому, — сказал капитан, — что всё хорошо в своё время. Мы можем любоваться древнегреческими строениями, но повторять их сейчас было бы глупо. То, что прекрасно, должно быть ещё и удобно Ведь древние греки жили совсем не так, как мы. У них были иные потребности. Им не нужны были, например, высотные здания, да они и не сумели бы их построить. Кроме того, напрасно ты думаешь, что в наше время классические пропорции забыты. Они используются и в современных зданиях, хотя и не всегда. Потому что рядом со старыми возникают новые соотношения, новые пропорции… Всё на свете меняется. В том числе и понятие прекрасного.

— Нет, — заявил я, — кое-что всё-таки остаётся неизменным. Это отношения чисел. Ведь шесть, делённое на два, всегда равно трём!

ИГРА ИЛИ НАУКА?

5 нуляля

Мы с коком гуляли по палубе и смотрели, как Фрегат пробирается среди бесчисленных островов, стараясь их не задеть. Посреди каждого острова на высоком шесте развевался флаг. А на флагах были написаны разные цифры. Только написаны они были как-то странно: одна цифра под другой, а между ними — чёрточка:

Капитан сказал, что так математики записывают дробные числа. Оказывается, числа бывают не только целые. Стоит целое число раздробить на части — и получаются дроби.

Кок сказал, что он-то хорошо знает, как дробить на части. На судне не осталось ни одной целой чашки.

Капитан объяснил нам, что дроби, которые меньше единицы, называются правильными. На флагах этих островов написаны только правильные дроби. Число над чёрточкой называется числителем дроби, число под чёрточкой знаменателем дроби. Знаменатель показывает, на сколько частей разделён числитель. Например, дробь ¹/₃ показывает, что от единицы взята третья часть. И читается эта дробь так: одна треть.

У правильной дроби числитель всегда меньше знаменателя, а у неправильной — больше.

Значит, есть дроби, которые больше единицы? Да, есть. Если разделить пять на два, получится неправильная дробь ⁵/₂ — пять вторых. А это всё равно что два с половиной, и записывается так: 2¹/₂. Вот и выходит, что неправильная дробь больше единицы.

— А теперь, — сказал капитан, — посмотрите направо. Перед вами Залив Десятичных Дробей.

Да, оказывается, есть и такие дроби. Это те, у которых знаменатель всегда либо десять, либо сто, либо тысяча… Словом, число, которое делится на десять без остатка.

Коку это очень понравилось, и он заявил, что теперь будет бить чашки только на десятичные осколки.

— А записывать это буду так, — добавил он,

Верно?

— И верно, и неверно, — ответил капитан. — Десятичные дроби принято записывать иначе, в строчку. Если число больше единицы, целую часть его отделяют от дробной запятой. А если число меньше единицы, то перед запятой ставят нуль.

— А где же пишут знаменатель? — спросил я.

— Знаменателя совсем не пишут, — ответил капитан, — его подразумевают. Дело в том, что у десятичных дробей, как и у целых чисел, есть разряды. Первый знак после запятой справа указывает, сколько десятых долей в числе, второй — сколько сотых, третий — сколько тысячных, и так далее. Вот, например, 0,2 читается так: две десятых. А 0,02 — две сотых…

Под конец капитан попросил нас прочитать такое число: 0,023.

Я ответил, что это очень легко: нуль целых, нуль десятых, две сотых и три тысячных. Капитан страшно удивился:

— Зачем же читать по складам, когда можно сразу: двадцать три тысячных. Если после запятой число состоит из трёх цифр, значит, подразумевается, что это число надо разделить на тысячу. Вот и всё. А теперь идите-ка чистить картошку.

Мы с коком уселись на корме и принялись за дело. Трудиться здесь приходится вовсю.

Неожиданно похолодало, пошёл снег. Он лез в глаза, мешал работать, и я решил подождать, пока он кончится.

Вдруг — тррррррах! Гром. Один удар, другой, третий… Сверкают молнии. А снег всё идёт. Снег и гроза? Невероятно!!

— А что значит невероятно? — спросил кок.

— Невероятно, — пояснил я, — это когда совсем невозможно.

— Как же невозможно, когда гремит? — засмеялся Пи.

— Это просто случайно. А вообще не бывает.

Тут появился капитан и сказал, что я неправ. Всё, что может произойти даже случайно, — всё вероятно. Только иной раз приходится этого очень долго ждать. Тогда говорят, что для такого случая вероятность мала.

— Значит, вероятность можно измерить? — удивился я.

— Конечно. На то и появилась математическая наука — теория вероятностей. Кстати, острова, мимо которых мы идём, принадлежат архипелагу Вероятностей.

— Что ещё за архипелаг? — спросил я.

— Ах да, я и забыл, что вы ещё этого не знаете, — улыбнулся капитан. Архипелагом называется скопление островов.

Снег кончился, и Фрегат пришвартовался к острову, на флаге которого красовалась дробь ¹/₂ — одна вторая, иначе говоря — половина. Какой-то половинчатый остров!

Жители встретили нас приветливо, но мне почудилось, что им не до гостей. Оказалось, что все они играют в шахматы, и даже не играют, а только бросают жребий, кому играть белыми! Один зажмёт в каждом кулаке по фигуре и предлагает приятелю угадать: где белая? И оба радуются, когда угадывают.

Капитан попросил игроков дать и ему две пешки: зажал каждую в кулаке и спросил кока: в какой чёрная? Тот ответил: в правой, но ошибся. Тогда я сразу отгадал, что чёрная в левой руке, и решил, что игра пустяковая. Но капитан сказал, что вовсе не пустяковая.

— Дело в том, — продолжал он, — что на этом острове отгадывают цвет шахматных пешек. Но так как их всего два — чёрный и белый, — а угадать надо только один из двух, то и говорят, что вероятность угадывания равна отношению одного к двум, то есть ¹/₂. Вот почему на флаге этого острова написана эта дробь. А если бы перед нами было не две, а несколько разноцветных пешек — красная, зелёная, синяя, жёлтая и так далее, то угадать, какая из них зажата в руке, было бы уже гораздо труднее. В этом случае вероятность угадывания уменьшается.

И капитан повёз нас на остров, обозначенный дробью одна шестая: ¹/₆. Жители его играли в кости. У игроков были костяные чёрные кубики. На каждой из его шести сторон нарисованы белые точки: на одной стороне — одна, на другой — две, и так до шести. Точки эти называются очками. Один игрок подбросит кубик, а другой загадывает, сколько выпадет очков.

Понятно, что угадывали на этом острове гораздо реже, чем на первом. И я догадался, что вероятность угадывания здесь равна отношению одного к шести, то есть ¹/₆.

— Верно, — сказал капитан и спросил, какова будет вероятность угадывания, если задумать, чтобы выпало либо два очка, либо четыре.

И я опять догадался, что тогда и вероятность станет вдвое большей. Она будет равна уже не ¹/₆, a ²/₆. А это всё равно что одна треть — ¹/₃.

— А вот что будет, если задумать, чтобы выпало ЛЮБОЕ число очков?

— Тогда нужно ехать на другой остров, — ответил капитан, — на остров Достоверностей. Вон тот, с синим флагом.

Только теперь я заметил синий флаг, на котором красовалась не дробь, а единица. Это почему же?

— Да потому, — пояснил капитан, — что тебе нужно, чтобы из шести возможных случаев выпал любой. Значит, вероятность угадывания равна отношению шести к шести: ⁶/₆ — стало быть, единице. А это уже достоверность, то есть то, что произойдёт непременно.

В это время кок заметил остров, над которым развевался чёрный флаг с большим белым нулём посередине. Капитан сказал, что это остров Невероятностей, то есть остров, где вероятность угадывания равна нулю.

— Как же это может быть? — спросили мы с коком одновременно.

— А вот как, — ответил капитан. — Предположим, кто-нибудь из вас загадает, чтобы у этого кубика выпало СЕМЬ очков.

— Но это невозможно! — воскликнул я. — Ведь у кубика cамое большое число очков — шесть.

— В том-то и дело, — обрадовался капитан. — Стало быть, семь выпасть не может. Значит, в этом случае нет никакой вероятности, что вы отгадаете. Вероятность равна нулю!

Интересная игра — теория вероятностей! Но капитан возмутился и сказал, что это не игра, а наука. Хотя и родилась она из игры. Так частенько бывает. И ещё он сказал, что теория вероятностей помогает учёным, инженерам и особенно экономистам, что она необходима народному хозяйству страны и что мы в этом очень скоро убедимся.

Когда мы вернулись на Фрегат, Пи спросил меня: какова вероятность, что обед будет готов вовремя? Ведь картошки-то мы так и не начистили! Ясно: вероятность равна нулю!

КАКОЙ У BAC НОМЕР БОТИНОК?

6 нуляля

Сегодня мы попали на Землю Статистики. Странная это земля: куда ни поглядишь — всюду числа, числа, числа… В какое здание ни войдёшь — везде что-то подсчитывают. На счётах. На арифмометрах. На электронно-счётных машинах. Без конца звонят телефоны, поступают телеграммы, радиограммы, приносят какие-то пакеты…

Капитан привёл нас в новый просторный дом. Здесь в одной из комнат за столом сидел Старший статистик. Мы познакомились. Но только я собрался атаковать его вопросами, как зазвонил телефон. Старший статистик взял трубку.

— Да-да, это я. Я просил сообщить, сколько в прошлом году родилось мальчиков. Сколько вы говорите? Ага. А девочек? Угу. Благодарю вас. До свидания.

Не успел он положить трубку, как телефон зазвонил снова. На этот раз сообщали, какого роста мужчины работают на макаронной фабрике.

— 460 человек — 165 сантиметров, — записывал статистик. — 380 человек — 170 сантиметров… А один — двух метров? Я не ошибся? Ха-ха! Ну что ж, так и запишем…

До чего любопытные люди живут на Земле Статистики. Всё им нужно знать!

— А как же, — сказал Старший статистик, — ведь у нас хозяйство плановое. Поэтому нужно заранее подсчитать, сколько построить новых школ, сколько сшить форменных костюмов для школьников, сколько пар ботинок, сколько, наконец, понадобится футбольных мячей, волейбольных сеток, да мало ли чего ещё! На все эти вопросы отвечает статистика.

— Вас послушать, без статистики хоть ложись да помирай.

— Конечно, — отвечал Старший статистик, ничуть на меня не обидевшись, — статистика имеет отношение решительно ко всему.

— Даже к ботинкам?

Понятно, я сказал это для смеха. Но Старший статистик совершенно серьёзно подтвердил, что статистика и вправду играет не последнюю роль в производстве обуви. Ведь обувь носят все: и пионеры, и пенсионеры. Даже грудным младенцам, которые вовсе ещё не умеют ходить, и тем надевают пинетки. Стало быть, надо знать, сколько изготовить обуви мужской, сколько женской, а сколько — для детей. Но это ещё не всё. Для разных возрастов шьются разные фасоны обуви. Кроме того, ноги у разных людей разные. И по форме, и по размеру.

Тут я окончательно запутался. Капитан говорит, что на земле три миллиарда жителей. Неужели статистики перемерили все ноги на свете? Вот когда я наконец рассмешил нашего собеседника!

— Зачем измерять все ноги? — сказал он, насмеявшись всласть. Достаточно измерить длину стопы хотя бы у тысячи взрослых мужчин, чтобы знать, сколько потребуется мужской обуви разных номеров вообще.

— А по-моему, недостаточно, — сказал Пи. — У одной тысячи так, у другой — этак…

— Замечание дельное, — согласился Старший статистик. — Но тут на помощь статистикам приходит математика.

Наконец-то добрались до математики! А то всё про ботинки да про пинетки…

— Математики подметили, — продолжал Старший статистик, — что размеры стопы у населения подчиняются определённой закономерности. Эту закономерность они назвали законом распределения.

Он указал на плакат, где были нарисованы обувные коробки. Коробки стояли аккуратными столбиками. Самый большой столбик находился посередине, и под ним было написано: «№ 41». Столбики, стоявшие по бокам от него, становились всё ниже. При этом справа номера ботинок увеличивались, слева уменьшались. Все коробки поверху были очерчены жирной красной линией, сильно смахивающей на ледяную горку. Вот бы с такой да на салазках!

— Видите, — сказал статистик, — больше всего у нас требуются ботинки сорок первого размера, меньше всего — сорок седьмого и тридцать седьмого.

— А что означает красная линия? — спросил я. Оказалось, это кривая, которую нашли математики с помощью закона распределения.

— Но откуда вы знаете, что математики не ошиблись? — прищурился Пи.

— Сама жизнь подтвердила, что кривая, полученная математическим путём, достаточно точно выражает потребности населения.

— Значит, вам не приходится гадать, сколько очков выпадет на кубике, как это делали обитатели архипелага Вероятностей! — вставил капитан.

Статистик просто в восторг пришёл от его столь тонкого замечания.

— Архипелаг Вероятностей! Как вы о нём вовремя вспомнили! Ведь Земля Статистики находится с ним в самой тесной дружбе! Всеми своими удачами, всеми математическими открытиями статистика целиком обязана теории вероятностей. Собственно говоря, математическая статистика — это та же теория вероятностей, в которой действует закон больших чисел. Статистика делает выводы из огромного числа наблюдений, измерений — словом, из целого вороха беспорядочных, хаотических сведений. И в этом-то хаосе она находит порядок, закономерности. Вот почему теория вероятностей постепенно приобретает всё большее значение в современной науке.

Да, прав был капитан, когда сказал, что наука иной раз возникает из игры. Ведь и теория вероятностей началась с обыкновенной игры в кости…

БЕСКОНЕЧНЫЕ КАПРИЗЫ

7 нуляля

Сегодня, когда мы плыли морем Бесконечности, справа по борту неожиданно появилась земля, и мы увидели на берегу какое-то странное бородатое существо. Я решил, что это опять Нептун, но капитан сказал, что Нептун никогда не сидит на берегу и что надо обязательно выяснить: кто это такой?

Спустили шлюпку, и мы с капитаном немедленно отправились на берег.

Бородач оказался матросом с каравеллы, затонувшей 150 лет назад! Его подобрали чуть живого, и с тех пор правитель острова заставляет этого матроса ежедневно выполнять одну и ту же работу. Правитель ещё молод, ему 3183 года. У него двое детей: мальчику 2185 лет, а девочке пошёл 1232-й годик. Я, понятно, удивился, а Единица пояснил, что на берегу моря Бесконечности живут вечно. Я спросил у матроса, что заставляет его делать правитель.

— И не говорите, — вздохнул матрос. — Матрёшек!

— Каких матрёшек?

— Обыкновенных. Деревянных. За 150 лет я сделал 109575 штук! Сто девять тысяч пятьсот семьдесят пять. А им всё мало!

— Кому — им?

— Деткам правителя. Это самые капризные дети на свете. Вечно они всем недовольны, вечно делают друг другу наперекор. Когда меня в первый раз привели во дворец, правитель сказал: «Сделай такую игрушку, чтоб она понравилась и сыну и дочери. У них четыре миллиарда триста восемьдесят две игрушки, но ни одна им не нравится. Даю тебе ночь сроку: сделаешь игрушку по вкусу — награжу, не сделаешь — не взыщи». Всю ночь я думал, что бы такое смастерить. А под утро выточил маленькую матрёшку. Нарисовал ей личико, платочек, сарафан и понёс во дворец. Детям матрёшка понравилась. Сын говорит: «Игрушка хороша, но… слишком мала. Сделай её ровно вдвое больше». И дочка соглашается: «Хороша игрушка, только сделай её ровно вдвое меньше». Правитель дал ещё ночь сроку. Выточил я к утру две новые матрёшки — одну вдвое больше первой, вторую — вдвое меньше. Принёс во дворец. Сын как закричит на меня: «Ты что — глухой?! Я велел сделать матрёшку не вдвое, а втрое больше!» И дочка напустилась: «Я приказала выточить матрёшку не вдвое, а втрое меньше!» Так я и сделал. Наутро всё повторилось заново: сын сказал, что заказывал матрёшку вчетверо больше первой, а дочь твердит: нет, вчетверо меньше! И пошло! Она требует матрёшку в пять раз меньшую, он — в пять раз большую, затем — в шесть, в семь раз… в тысячу! Каждую ночь я делаю по две матрёшки и всё не угожу. Я их здесь на берегу и расставляю. Вот они, друг за дружкой по росту стоят.

И правда, на берегу выстроилась длиннющая вереница матрёшек. Вправо одна другой больше. Это матрёшки для мальчика. Влево — одна другой меньше. Это матрёшки для девочки. Все они перенумерованы. На средней стояло число 1. Числа справа росли: 2, 3, 4, 5, б… 100… 1000… Эти числа показывали, во сколько раз каждая матрёшка больше первой.

Слева числа уменьшались и были все меньше единицы. Они показывали, во сколько раз каждая матрёшка была меньше первой. Поэтому на них были написаны дробные числа: одна вторая, одна треть, одна четверть, одна пятая… одна сотая… одна тысячная — ¹/₂, ¹/₃, ¹/₄, ¹/₅…¹/₁₀₀…¹/₁₀₀₀…

Матрёшек собралось так много, что крайние были едва видны.

— Когда-нибудь должен же наступить конец этим капризам! — сказал я.

Матрос только понурился:

— То-то и оно, что здесь ничему не бывает конца! Капризы, как и числа, никогда не кончаются. Какое бы большое число ты ни придумал, всегда найдётся ещё большее. Какое ни возьмёшь маленькое, ан сыщется ещё меньше. Одни матрёшки превратятся со временем в великанов, другие — в карликов, а я всё ещё буду мастерить новых…

— Ну хорошо, пусть числа уменьшаются бесконечно, — сказал я, — но как же выточить такую малюсенькую, крохотулешную матрёшку, которой и не видно вовсе?

— На то я и волшебный мастер, — ответил матрос. Тут мы услышали голоса. Матрос посоветовал нам поспешить на Фрегат, не то правитель и нас заставит что-нибудь смастерить, и тогда…

Когда Фрегат был уже далеко, мы увидели, что на берегу стояла только одна, самая большая матрёшка. Всех остальных матрос успел упрятать в неё. А вот какое число было нa ней написано, этого я не разглядел. Может быть, вы догадаетесь? Вспомните, что матрос в первую ночь выточил ОДНУ матрёшку, а потом каждую ночь вытачивал по ДВЕ. А за все 150 лет он выточил… Впрочем, сколько он выточил, об этом я уже написал.

КАПИТАН СРЕДИ ДРУЗЕЙ

8 нуляля

Нынче я много веселился и очень устал. Восьмое нуляля — день рождения нашего капитана. Штурман Игрек специально подгадал, чтобы именно сегодня Фрегат подошёл к мысу Единиц.

Мы сошли на берег и сразу очутились в весёлой праздничной толпе. Нас окружили Единицы — десятки, сотни Единиц. Ещё на Фрегате я подумал: как это, должно быть, скучно, если перед глазами одни Единицы. Но я ошибся: ни одна Единица не была похожа на другую. Кроме того, все они были совершенно по-разному и очень красиво одеты.

Кок решил, что они расфуфырились в честь нашего капитана, но штурман сказал, что они всегда такие и что это не просто Единицы, а…

Тут я громко ойкнул, потому что кто-то больно дёрнул меня за руку. Я обернулся и увидел Единичку, которая смущённо извинялась: она и не думала никого дёргать — это я сам до неё случайно дотронулся! Оказалось, что это единица силы электрического тока — ампер. Так её назвали в честь знаменитого французского физика и математика Андрэ Мари Ампера.

Вот оно что! Оказывается, электрический ток бывает разной силы!

Тут штурман, который всё дожидался возможности продолжить прерванный разговор, повторил, что на этом мысе живут не просто Единицы, а различные единицы измерения. А измеряется на белом свете всё: и сила, и скорость, и работа, и время, и температура, и объём… Но для того чтобы что-нибудь измерить, надо выбрать удобную единицу измерения. Часто для измерения одной и той же величины применяются разные единицы: сантиметр, метр, фут, миля всё это единицы длины. Время измеряют и секундами, и часами, и годами, и веками; силу, вес — килограммами и ньютонами. Единица «ньютон» получила своё название в честь великого английского учёного Исаака Ньютона.

Метр, секунда, ньютон — всё это общепринятые единицы измерения простейших величин: длины, времени, силы. А измерять приходится кое-что и посложнее. Вот, например, скорость. Что это такое? Это путь, пройденный за единицу времени. Чтобы измерить скорость, надо длину пути разделить на время, за которое этот путь пройден. Стало быть, в измерении скорости участвует не одна простейшая единица измерения, а две: метр и секунда. Так образуется составная единица измерения скорости: метр в секунду.

А вот чтобы измерить работу, надо перемножить единицы силы и пути, то есть килограмм и метр.

Почему? Да потому что работа зависит от двух причин: от силы и расстояния. Чем больше груз, тем больше и работа. Однако и маленький груз может заставить нас изрядно поработать, если надо передвинуть его далеко. Поэтому и измеряют работу в килограммометрах.

Тут по радио объявили: «Сейчас 736 смельчаков вступят в единоборство с лошадью!» Хорошенькое ЕДИНОборство — 736 на одного!

Толпа расступилась, и смельчаки выбежали на площадь. У каждого на голове была электрическая лампочка, на груди написано: «ватт». Как у спортсменов: «Спартак» или «Динамо».

Капитан объяснил, что ватт — это тоже единица измерения. В ваттах обычно измеряют не силу, а мощность электрического тока.

Но разве мощность и сила — не одно и то же? Ничего подобного! Мощность, сказал капитан, это та работа, которую ты можешь совершить за единицу времени — иначе говоря, скорость работы. Чем больше мощность, тем меньше времени затрачивается на работу.

Тут как раз привели лошадь. Так вот она какая! Я в первый раз увидел живую лошадь, а то всё автомобили, самолёты, ракеты… Лошадь была с хвостом! А хвост пышный, длинный и так причёсан, будто только что вышел из парикмахерской!

736 смельчаков-ваттов ухватились за этот хвост и изо всех сил старались сдвинуть лошадь с места. А лошадь оказалась упрямой, как осёл (ослов-то я повидал много!), и ни за что не хотела никуда идти. Судье ничего не оставалось, как объявить ничью. Единоборцы мигом убежали, а лошадь… Выяснилось, что лошадь — тоже единица измерения. Мощность, оказывается, можно измерять не только ваттами, но и лошадиными силами. Лошадиная сила — это такая мощность, при которой за одну секунду успеваешь поднять на высоту метра 75 килограммов! И оказывается, что эта-то лошадиная сила равна 736 ваттам.

Вдруг поднялся невероятный шум: где-то били молотками по кастрюлям, пилили рельсы, тут же гудели автомобильные рожки, и всё это перекрывали громкие звуки духового оркестра. Все переполошились, но тут откуда-то выскочили крохотные Единички с наушниками — децибелы, единицы измерения силы звука. Их было очень много, и все они бежали на шум. Вскоре он прекратился, и Единички с наушниками снова вернулись на площадь. От них-то мы и узнали, что всю эту кутерьму устроили какие-то озорники, которые забыли о правиле: не шуметь больше, чем на 20 децибел. А они разбушевались на все 150! Штурман Игрек очень на них рассердился: он твердил, что шум не только неприятен для слуха, но и вреден для здоровья, при этом сам бушевал так, что хоть уши затыкай!

К счастью, в это время из толпы вышел оратор — единица измерения времени Секунда. Он обратился с приветствием к юбиляру. А так как секунда время небольшое, оратор только и успел выпалить:

— УРАКАПИТАНУЕДИНИЦЕ!

Кратко, зато выразительно. Но наш капитан всё-таки его переплюнул: он вообще ничего не сказал, а только высоко поднял руки, соединил их и потряс, словно со всеми поздоровался. И жители мыса отлично поняли, что он хотел сказать. Они дружно замахали платками и шляпами и запели знаменитый гимн Единиц:



Знайте все: без Единицы,
Хоть на вид она мала,
Не могло бы появиться