Глава 7

АММИАЧНЫЙ МАЗЕР



§ 1. Состояния моле­кулы аммиака

§ 2. Молекула в стати­ческом электриче­ском поле

§ З. Переходы в поле, зависящем от вре­мени

§ 4.Переходы при резонансе

§ 5. Переходы вне резонанса

§ 6. Поглощение света

§ 1. Состояния молекулы аммиака

В этой главе мы хотим обсудить применение квантовой механики в одном практическом устройстве — в аммиачном мазере. Вас может удивить, отчего это мы бросаем на полпути наше изложение формального аппарата кван­товой механики и обращаемся к частной задаче. Но позже вы увидите, что многие черты этой частной задачи сплошь и рядом встречаются и в общей теории квантовой механики, так что детальное изучение задачи многому нас научит. Аммиачный мазер — это устройство для генерирования электромагнитных волн. Его действие основано на свойствах молекулы аммиака, о которых вкратце говорилось в предыдущей главе. Поэтому сначала мы под­ведем итоги тому, что нам уже известно.

Молекула аммиака имеет много состояний. Но мы будем считать ее системой с двумя состоя­ниями (двухуровневой); сейчас нас интересует лишь то, что бывает, когда молекула находится в любом заданном состоянии вращения или посту­пательного движения. Физическую модель этих двух состояний можно наглядно представить себе следующим образом. Если вращать моле­кулу аммиака вокруг оси, проведенной через атом азота перпендикулярно плоскости атомов водорода, как показано на фиг. 7.1, мы обна­ружим, что существуют два сорта состояний, которые не переходят друг в друга при таких поворотах и отличаются положением атома азота.



Фиг. 7.1. Физическая модель двух базисных состояний молекулы аммиака. Электрические дипольные моменты этих состояний рав­ны m.

Азот может быть либо по одну сторону плоскости атомов водорода, либо по другую. Эти два состояния мы обозначаем |1> и |2>. Их мы выберем в качестве совокупности ба­зисных состояний в нашем анализе поведения молекулы аммиака.

В системе с двумя базисными состояниями любое состоя­ние |y> системы всегда может быть описано линейной комби­нацией двух базисных состояний; это значит, что существует определенная амплитуда С₁ быть в одном базисном состоянии и амплитуда С₂ быть в другом. Вектор состояния |y> можно записать в виде



где



Эта пара амплитуд меняется со временем согласно нашим гамильтоновым уравнениям — уравнениям (6.43). Используя симметрию двух состояний молекулы аммиака, мы полагаем H₁₁=H₂₂=E₀ и H₁₂=H₂₁=-А и получаем такое решение [см. (6.50) и (6.51)]:



Кинем теперь на эти решения более внимательный взгляд. Пусть сперва молекула была поставлена в состояние |y₁₁>, для которого коэффициент b был равен нулю. Тогда при t=0 амплитуды оказаться в состояниях |1> и |2> одинаковы и останутся такими все время. Их фазы обе меняются во времени одинаково, с частотой (E₀-A)/h. И точно так же, если бы мы поставили молекулу в состояние |y₁>, для которого а=0, амплитуда C₂ равнялась бы C₁ с минусом, и это соотношение сохранилось бы навсегда — обе амплитуды менялись бы теперь во времени с частотой (E₀+A)/h. Это все состояния, для кото­рых связь между С₁ и С₂ не зависит от времени; других возмож­ностей нет.

Мы нашли два частных решения, в которых амплитуды не меняются по величине и, более того, фазы меняются с одина­ковой частотой. Это стационарные состояния по определению, данному в гл. 5, § 1, т. е. состояния с определенной энергией. Состояние |y₁₁> обладает энергией Е₁₁=Е₀-А, а состояние |y₁> — энергией E₁=E₀+A. Кроме этих, никаких стационар­ных состояний не существует, т. е. мы обнаруживаем, что у мо­лекулы есть два уровня энергии, отличающиеся на 2А. (Под­разумеваются, конечно, два уровня энергии для заданного со­стояния колебания и вращения, о которых говорилось в наших исходных допущениях.)

Если бы азот не мог перескакивать вверх или вниз, нам пришлось бы принять А равным нулю, и оба энергетических уровня (с энергией Е₀) налезли бы один на другой. Истинные уровни не таковы; их среднее значение Е₀, но они разведены на ±А, т. е. промежуток между энергиями двух состояний равен 2А. Поскольку А на самом деле мало, то и разница в энергиях очень мала.

Чтобы возбудить электрон внутри атома, требуются до­вольно высокие энергии, нужны фотоны оптического или уль­трафиолетового диапазона. Чтобы возбудить вибрации молекул, требуются инфракрасные фотоны. Если речь идет о возбужде­нии вращений, различия в энергиях состояний соответствуют фотонам в далекой инфракрасной области. Но разность энер­гий 2А меньше их всех, меньше инфракрасных энергий, она приходится на микроволновой диапазон. Опытным путем было найдено, что существует пара уровней энергии с промежутком 10^-4 эв, что отвечает частоте 24000 Мгц. Это, очевидно, озна­чает, что 2A=hf, где f=24000 Мгц (отвечает волне длиной 1¹/₄ см). Значит, перед нами молекула с переходами, которые вызывают испускание микроволн, а не свет в обычном смысле.

Для дальнейшей работы нам понадобится немного более удобное описание этих двух состояний с определенной энер­гией. Представим, что мы построили амплитуду С₁₁ из суммы двух чисел C₁ и С₂:



Что бы это могло означать? Очень просто: это амплитуда того, что состояние |Ф> окажется в новом состоянии |//>, в котором амплитуды первоначальных базисных состояний равны между собой, Иначе говоря, когда мы пишем С_II=<II |Ф>, то мы впра­ве абстрагироваться в уравнении (7.4) от |Ф>, поскольку оно вы­полняется при любых Ф, и писать



это означает то же самое, что и



Амплитуда того, что состояние (II} окажется в состоянии |1>, равна



а это, конечно, равняется просто единице, поскольку и |1>, и |2> суть базисные состояния. И амплитуда обнаружения состояния |II> в состоянии \\2у тоже равна единице, так что у состояния |II> одинаковы амплитуды оказаться в каждом из базисных состояний |1> и |2>.

Но тут всплывает новая трудность. У состояния |II> пол­ная вероятность оказаться то ли в одном базисном состоянии, то ли в другом получается больше единицы. Но это всего лишь означает, что вектор состояния неудачно «отнормирован». Чтобы исправить дело, надо вспомнить, что всегда для любого состояния обязано быть <II|II>=1. Использовав общее соотношение



полагая, что и Ф, и c суть состояние II, и суммируя по ба­зисным состояниям |1> и |2>, получаем



Это даст, как положено, единицу, если мы изменим наше оп­ределение С_II [см. уравнение (7.4)] и примем



Таким же путем можно построить и амплитуду



или



Эта амплитуда есть проекция состояния |Ф> на новое состоя­ние |I>, обладающее амплитудами противоположного знака, для пребывания в состояниях |1> и |2>. А именно (7.6) означает то же самое, что и



или



откуда следует



Зачем все это нужно? С какой целью все это делается? Дело в том, что состояния |I> и |II> могут быть приняты за новую совокупность базисных состояний, особенно подхо­дящую для описания стационарных состояний молекулы ам­миака. Вы помните, что требования к совокупности базисных состояний были таковы:



Мы уже сами сделали так, чтобы было



Из (7.5) и (7.7) легко вывести, что и



Амплитуды С_I=<I|Ф> и С_II=<II|Ф> того, что любое состояние |Ф> окажется в одном из наших новых базисных со­стояний |I> и |II>, обязаны также удовлетворять гамильтонову уравнению вида (6.39). И действительно, если мы просто вычтем друг из друга два уравнения (7.2) и (7.3) и продиф­ференцируем по t, то убедимся, что



А взяв сумму (7.2) и (7.3), увидим



Если за базисные состояния взять |I> и |II>, то гамильтонова матрица очень проста:



Заметьте, что каждое из уравнений (7.8) и (7.9) выглядит очень похоже на то, что получалось в гл. 6, § 6, для уравнения си­стемы с одним состоянием. Они дают простую экспоненциальную зависимость от времени, отвечающую определенной энергии.

С ростом времени амплитуды пребывания в каждом из состоя­ний ведут себя независимо.

Найденные нами раньше стационарные состояния |y_I> и |y_II> тоже являются, конечно, решениями уравнений (7.8) и (7.9). У состояния |y_I> (для которого С₁=-С₂)



А у состояния |y_II> (для которого С₁=С₂)



Пусть мы теперь умножили (7.10) на вектор состояния |/>; тогда получится



Вспомним, однако, что |I><I|=1; значит, это одно и то же, что сказать



Иначе говоря, вектор состояния стационарного состояния |y_I> не отличается от вектора состояния базисного состояния |I> ничем, кроме экспоненциального множителя, связанного с энергией состояния. И действительно, при t=0

|y_I>=|I>;

физическая конфигурация у состояния )/> та же самая, что и у стационарного состояния с энергией Е₀+А. Точно так же для второго стационарного состояния получается



Состояние |II>— это просто стационарное состояние с энер­гией Е₀-А при t=0. Стало быть, оба наших новых базисных состояния |I> и |II> физически имеют вид состояний с опреде­ленной энергией, но с изъятым экспоненциальным временным множителем, так что они могут быть приняты за базисные со­стояния, не зависящие от времени. (В дальнейшем нам будет удобно не отличать стационарные состояния |y_I> и |y_II> от их базисных состояний |I> и |II>, ведь различаются они только очевидными временными множителями.)

Подведем итог. Векторы состояний |I> и |II> — это пара базисных векторов, приспособленных для описания состояний молекулы аммиака с определенной энергией. Они связаны с нашими исходными базисными векторами формулами



Амплитуды пребывания в |I> и |II> связаны с С₁ и С₂ форму­лами



Всякое состояние может быть представлено линейной комби­нацией |1> и |2> (с коэффициентами С₁ и С₂) или линейной ком­бинацией базисных состояний с определенной энергией |I> и |II> (с коэффициентами С_I и С_II). Итак,

|Ф>=|1>С₁+|2>С₂, или

|Ф>=|I>С_I+|II>С_II.

Вторая формула дает нам амплитуды обнаружить состоя­ние |Ф> в состоянии с энергией Е_I=Е₀+А или в состоянии с энергией Е_II=Е₀-А.

§ 2. Молекула в статическом электрическом поле

Если молекула аммиака находится в любом из двух состоя­ний определенной энергии, а мы приложим к ней возмущение с частотой w, такой, что hw= E_I-Е_П=2А, то система может перейти из нижнего состояния в верхнее. Или она может перейти из верхнего в нижнее и испустить фотон. Но для возбуждения таких переходов у вас должна быть физическая связь с состоя­ниями — возможность возмущать систему. Должен существо­вать какой-то внешний механизм влияния на состояния, нечто вроде электрического или магнитного поля. В нашем частном случае эти состояния чувствительны к электрическому полю. На очереди, стало быть, у нас теперь проблема поведения мо­лекулы аммиака во внешнем электрическом поле.

Для разбора этого поведения вернемся опять к перво­начальной базисной системе |1> и |2> вместо |I> и |II>. Пред­положим, что имеется электрическое поле, направленное по­перек плоскости атомов водорода. Пренебрежем на мгновение возможностью переброса атома азота вверх или вниз и зададим вопрос: верно ли, что энергия, этой молекулы в обоих положе­ниях атома азота будет одинаковой? Вообще говоря, нет. Элект­роны стремятся к тому, чтобы находиться ближе к ядру азота, чем к ядрам водорода, так что водороды оказываются слегка положительно заряженными. Насколько — это зависит от деталей расположения электронов. Каково это распределение, точно представить очень трудно, но, во всяком случае, окон­чательный результат состоит в том, что у молекулы аммиака есть электрический дипольный момент, как показано на фиг.7.1. С его помощью можно продолжить дальнейший анализ, не ин­тересуясь деталями направлений или величин смещений за­рядов. Впрочем, чтобы наши обозначения не отличались от общепринятых, предположим, что электрический дипольный момент равен m и направлен от атома азота поперек плоскости атомов водорода.

Далее, когда азот перепрыгивает с одной стороны на дру­гую, то центр масс не перемещается, а электрический дипольный момент переворачивается. В результате энергия в электрическом поле x будет зависеть от ориентации молекулы. При сделанном только что допущении потенциальная энергия бу­дет выше тогда, когда атом азота будет удален от плоскости водородов в направлении поля, и ниже, когда он удален в обратную сторону; промежуток между обеими энергиями будет равен 2mx.

До этого места мы вынуждены были делать предположения о том, чему равны Е₀ и А, не зная, как подсчитать их. В соот­ветствии со строгой физической теорией обязана существовать возможность вычисления этих констант, если известны поло­жения и движения всех ядер и электронов. Но никто никогда не делал этого. В систему входит десяток электронов и четверка ядер, и задача чересчур сложна. Факт остается фактом: о молекуле этой никто не знает больше того, что знаем мы с вами. И все, что всякий может о ней сказать,— что в электри­ческом поле энергия двух состояний отличается и разность энергий пропорциональна электрическому полю. Коэффициент пропорциональности мы обозначили 2m, но его величина долж­на определяться экспериментально. Можно еще сказать, что молекула имеет амплитуду А перевернуться, но и она должна измеряться экспериментально. Никто не укажет нам точных теоретических значений m и А, потому что расчеты уж слишком сложны, чтобы честно их проделать.

Для молекулы аммиака в электрическом поле наше описа­ние придется изменить. Если игнорировать амплитуду пере­броса молекулы из одной конфигурации в другую, то энергии двух состояний |1> и |2> обязаны быть равны (Е₀±mx). Сле­дуя процедуре, принятой в предыдущей главе, мы примем



Кроме того, предположим, что при интересующих нас электри­ческих полях сами поля не сказываются заметно на геометрии молекулы и, стало быть, на амплитуде того, что атом азота перепрыгнет из одного положения в другое.

Поэтому можно принять, что Н₁₂ и H₂₁ не изменились, т. е.

H₁₂=H₂₁=-А. (7.15)

Теперь с этими новыми значениями Н_ij надо решать гамильтоновы уравнения (6.43). Мы могли бы их решить просто, как делали это прежде, но поскольку нам не раз, видимо, представится случай решать системы с двумя состояниями, то давайте уж решим их раз и навсегда в общем случае произвольного Н_ij, считая только, что со временем оно не меняется.

Мы ищем общее решение пары гамильтоновых уравнений



Это линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Значит, всегда можно найти решения, яв­ляющиеся экспоненциальными функциями независимой пере­менной t. Сперва отыщем решения, в которых С₁ и С₂ одина­ково зависят от времени; возьмем пробные функции



Поскольку это решение отвечает состоянию с энергией E=hw,

то можно прямо написать



где Е пока неизвестна и должна быть определена так, чтобы дифференциальные уравнения (7.16) и (7.17) выполнялись. При подстановке С₁ и С₂ из (7.18) и (7.19) в дифференци­альные уравнения (7.16) и (7.17) производные дают просто -iE/h, умноженное на С₁ или C₂, так что слева остается попросту ЕС₁ или ЕС₂. Сокращая общие экспоненциальные множители, получаем



или после перестановки членов



У такой системы однородных алгебраических уравнений не­нулевые решения для а₁ и а₂ будут лишь тогда, когда опре­делитель, составленный из коэффициентов при а₁ и а₂, равен нулю, т. е. если



Но когда уравнений два и неизвестных тоже два, то можно обойтись и без столь возвышенных представлений. Каждое из уравнений (7.20) и (7.21) дает отношение двух коэффициентов a₁ и а₂, и эти два отношения должны быть равны. Из (7.20) мы имеем



а из (7.21)



Приравнивая эти отношения, получаем, что Е должно удовле­творять равенству

(E-H₁₁)(E-H₂₂)-H₁₂H₂₁=0.

То же получилось бы и из (7.22). В любом случае для Е получается квадратное уравнение с двумя решениями:



Энергия E может иметь два значения. Заметьте, что оба они вещественны, потому что Н₁₁ и H₂₂ вещественны, а Н₁₂Н₂₁, равное Н₁₂H₁₂=|H₁₂|², тоже вещественно, да к тому же положительно.

Пользуясь тем же соглашением, что и раньше, обозначим большую энергию E_I, а меньшую Е_II. Имеем



Подставив каждую из этих энергий по отдельности в (7.18) и (7.19), получим амплитуды для двух стационарных состояний (состояний определенной энергии). Если нет каких-либо внеш­них возмущений, то система, первоначально бывшая в одном из этих состояний, останется в нем навсегда, у нее только фаза будет меняться.

Наши результаты можно проверить на двух частных слу­чаях. Если H₁₂=H₂₁=0, то получается E_I=H₁₁ и E_II=H₂₂. А это бесспорно правильно, потому что тогда уравнения (7.16) и (7.17) не связаны и каждое представляет состояние с энер­гией H₁₁ и H₂₂. Далее, положив H₁₁=H₂₂=E₀ и H₂₁=H₁₂=-А, придем к найденному выше решению:

е_I=е₀+а и е_II=е₀-а.

В общем случае два решения Е_I и Е_II относятся к двум состояниям; мы их опять можем назвать состояниями



У этих состояний С₁ и С₂ будут даваться уравнениями (7.18) и (7.19), где а₁ и а₂ еще подлежат определению. Их отношение дается либо формулой (7.23), либо (7.24). Они должны также удовлетворять еще одному условию. Если известно, что си­стема находится в одном из стационарных состояний, то сумма вероятностей того, что она окажется в |1> или |2>, должна равняться единице. Следовательно,



или, что то же самое,



Эти условия не определяют а₁ и а₂ однозначно: остается еще произвол в фазе, т. е. в множителе типа е^id. Хотя для а можно выписать общие решения, но обычно удобнее вычислять их в каждом отдельном случае.

Вернемся теперь к нашему частному примеру молекулы аммиака в электрическом поле. Пользуясь значениями Н₁₁, H₂₂ и Н₁₂ из (7.14) и (7.15), мы получим для энергий двух ста­ционарных состояний выражения



Эти две энергии как функции напряженности x электрического поля изображены на фиг. 7.2.



Фиг. 7,2. Уровни энергии молекулы аммиака в электрическом поле.

Кривые построены по формулам (7.30):

Когда электрическое поле нуль, то энергии, естественно, обращаются в Е₀±А. При наложении электрического поля расщепление уровней растет. Сперва при малых x оно растет медленно, но затем может стать пропор­циональным $. (Эта линия — гипербола.) В сверхсильных полях энергии попросту равны



Тот факт, что у азота существует амплитуда переброса вверх — вниз, малосуществен, когда энергии в этих двух поло­жениях сильно отличаются. Это интересный момент, к которо­му мы позже еще вернемся.

Теперь мы наконец готовы понять действие аммиачного мазера. Идея в следующем. Во-первых, мы находим способ отделения молекул в состоянии |I> от молекул в состоянии |II>. Затем молекулы в высшем энергетическом состоянии |I> пропускаются через полость, у которой резонансная частота равна 24000 Мгц. Молекулы могут оставить свою энергию полости (способ будет изложен позже) и покинуть полость в состоянии |II>. Каждая молекула, совершившая такой пере­ход, передаст полости энергию E=E_I-Е_II. Энергия, отобран­ная у молекул, проявится в виде электрической энергии поло­сти.

Как же разделить два молекулярных состояния? Один способ такой. Аммиачный газ выпускается тонкой струйкой и проходит через пару щелей, создающих узкий пучок (фиг. 7.3).



Фиг. 7.3. Пучок молекул аммиака может быть раз­делен электрическим полем, в котором x² обладает гра­диентом, перпендикуляр­ным пучку.

Затем пучок пропускается через область, в которой имеется сильное поперечное электрическое поле. Создающие поле элект­роды изогнуты так, чтобы электрическое поле поперек пучка резко менялось. Тогда квадрат x·x электрического поля будет иметь большой градиент, перпендикулярный пучку. А у мо­лекулы в состоянии |/> энергия с x² растет, значит, эта часть пучка отклонится в область меньших x². Молекула же в со­стоянии |II>, наоборот, отклонится к области, где x² побольше, потому что ее энергия падает, когда x² растет.

Кстати, при тех электрических полях, которые удается генерировать в лаборатории, энергия mx всегда много мень­ше А. В этом случае корень в уравнении (7.30) приближенно равен



Во всех практических случаях энергетические уровни, стало быть, равны



и



и энергии с x² меняются линейно. Действующая на молекулы сила тогда равна



Энергия в электрическом поле у многих молекул пропорцио­нальна x². Коэффициент — это поляризуемость молекулы. Поляризуемость аммиака необычно высока: у него А в зна­менателе очень мало. Стало быть, молекулы аммиака очень чувствительны к электрическому полю.

§ 3. Переходы в поле, зависящем от времени

В аммиачном мазере пучок молекул в состоянии |7> и с энергией Е_I пропускается через резонансную полость, как по­казано на фиг. 7.4.



Фиг. 7.4. Схематическое изображение аммиачного мазера.

Другой пучок отводится прочь. Внутри полости существует меняющееся во времени электрическое поле, так что нашей очередной задачей явится изучение поведе­ния молекулы в электрическом поле, которое меняется во вре­мени. Это совершенно новый род задач — задача с гамильто­нианом, меняющимся во времени. Раз H_tj зависит от x, то и H_ij меняется во времени, и нам надлежит определить поведе­ние системы в этих обстоятельствах.

Для начала выпишем уравнения, которые нужно решить:



Для определенности положим, что электрическое поле меня­ется синусоидально; тогда можно написать



На самом деле частота w берется всегда очень близкой к резо­нансной частоте молекулярного перехода w₀=2A/h, но пока мы для общности будем считать w произвольной. Лучший спо­соб решить наши уравнения — это, как и прежде, составить из C₁ и С₂ линейные комбинации. Сложим поэтому оба урав­нения, разделим на у 2 и вспомним определения С_I и С_II из (7.13), Получим



Вы видите, что это похоже на (7.9), но появился добавочный член от электрического поля. Равным образом, вычитая урав­нения (7.36), получаем



Вопрос теперь в том, как решить эти уравнения. Это труд­нее, чем прежде, потому что x зависит от t; и действительно, при общем x (t) решение не представимо в элементарных функ­циях. Однако, пока электрическое поле мало, можно добиться хорошего приближения. Сперва напишем



Если бы электрического поля не было, то, беря в качестве g_I и g_II две комплексные постоянные, мы бы получили пра­вильное решение. Ведь поскольку вероятность быть в состоя­нии |/ > есть квадрат модуля C_I, а вероятность быть в состоя­нии |II> есть квадрат модуля С_II, то вероятность быть в со­стоянии |I> или в состоянии |II> равна просто |g_I|² или |g_II|². Например, если бы система начинала развиваться из состояния |II> так, что g_I было бы нулем, a |g_II|²— единицей, то эти условия сохранились бы навсегда. Молекула из состояния |II> никогда бы не перешла в состояние |I>.

Польза записи решений в форме (7.40) состоит в том, что оно сохраняет свой вид и тогда, когда есть электрическое поле, если только mx меньше А, только g_I и g_II при этом станут мед­ленно меняющимися функциями времени. «Медленно меняю­щиеся» означает медленно в сравнении с экспоненциальными функциями. В этом весь фокус. Для получения приближен­ного решения используется тот факт, что g_I и g_II меняются медленно.

Подставим теперь С_I из (7.40) в дифференциальное уравне­ние (7,39), но вспомним, что g_I тоже зависит от t. Имеем



Дифференциальное уравнение обращается в



Равным образом уравнение для dC_II/dt обращается в



Обратите теперь внимание, что в обеих частях каждого урав­нения имеются одинаковые члены. Сократим их и умножим первое уравнение на

а второе на

. Вспоминая, что (E_I- e_ii)=2А=hw₀, мы в конце концов получаем



Получилась довольно простая пара уравнений — и пока еще точная. Производная от одной переменной есть функция от времени, умноженная на вторую переменную; про­изводная от второй — такая же функция от времени, умножен­ная на первую. Хотя эти простые уравнения в общем не реша­ются, но в некоторых частных случаях мы решим их.

Нас, по крайней мере сейчас, интересует только случай ко­леблющегося электрического поля. Взяв x(t) в форме (7.37), мы увидим, что уравнения для g_I и g_II обратятся в



(it

И вот если x₀ достаточно мало, то скорости изменения g_I и g_II тоже будут малы. Обе у не будут сильно меняться с t, особен­но в сравнении с быстрыми вариациями, вызываемыми экспо­ненциальными членами. У этих экспоненциальных членов есть вещественные и мнимые части, которые колеблются с частотой w+w₀ или w-w₀. Члены с частотой w+w₀ колеблются вокруг среднего значения (нуля) очень быстро и поэтому не дадут сильного вклада в скорость изменения g. Значит, можно сде­лать весьма разумное приближение, заменив эти члены их средним значением, т. е. нулем. Их просто убирают и в каче­стве приближения берут



Но даже и оставшиеся члены с показателями, пропорциональ­ными (w-w₀), меняются быстро, если только w не близко к w₀. Только тогда правая сторона будет меняться достаточно мед­ленно для того, чтобы набежало большое число, пока интег­рируешь эти уравнения по t. Иными словами, при слабом электрическом поле изо всех частот представляют важность лишь те, которые близки к w₀.

При тех приближениях, которые были сделаны для того, чтобы получить (7.45), эти уравнения можно решить и точно; но работа эта все же трудоемкая, и мы отложим ее на другое время, когда обратимся к другой задаче того же типа. Пока же мы их просто решим приближенно, или, лучше сказать, найдем точное решение для случая идеального резонанса w=w₀ и приближенное — для частот близ резонанса.

§ 4. Нереходы при резонансе

Первым рассмотрим случай идеального резонанса. Если положить w=w₀, то экспоненты в обоих уравнениях (7.45) станут равными единице, и мы просто получим



Если из этих уравнений исключить сперва g_I, а потом g_II, то мы увидим, что каждое из них удовлетворяет дифференциаль­ному уравнению простого гармонического движения



Общее решение этих уравнений может быть составлено из сину­сов и косинусов. Легко проверить, что решениями являются следующие выражения:



где а и b — константы, которые надо еще определить так, чтобы они укладывались в ту или иную физическую ситуацию.

К примеру, предположим, что при t=0 наша молекулярная система была в верхнем энергетическом состоянии |I>, а это требует [из уравнения (7.40)], чтобы g_I=1 и g_II=0 при t=0. Для такого случая должно быть а=1 и b=0. Вероятность того, что молекула окажется в том же состоянии |I> в какой-то позднейший момент t, равна квадрату модуля g_I, или



Точно так же и вероятность того, что молекула окажется в состоянии |II>, дается квадратом модуля g_II:



Пока x мало и пока мы находимся в резонансе, вероятности даются простыми колебательными функциями. Вероятность быть в состоянии |I> падает от единицы до нуля и возрастает опять, а вероятность быть в состоянии |II> растет от нуля до единицы и наоборот. Изменение обеих вероятностей во времени показано на фиг. 7.5.



Фиг. 7.5. Вероятности обоих состояний моле­кулы аммиака в синусоидальном электрическом поле.

Нечего и говорить, что сумма обеих вероятностей всегда равна единице; ведь молекула всегда на­ходится в каком-то состоянии.

Положим, что прохождение через полость занимает у мо­лекулы время Т. Если сделать полость как раз такой длины, чтобы было mx₀Т/h=p/2, то молекула, ныряющая в нее в состоянии |I>, наверняка вынырнет из нее в состоянии |II>. Если она вошла в полость в верхнем состоянии, то выйдет из полости в нижнем. Иными словами, ее энергия упадет, и эта потеря энергии не сможет перейти ни во что другое, а только в механизм, который генерирует поле. Детали, которые по­могли бы вам разглядеть, как именно энергией молекулы питаются колебания полости, не так уж просты; однако нам и не нужно все эти детали изучать, потому что имеется принцип сохранения энергии. (Мы могли бы, если бы это было нужно, изучить их, но тогда нам пришлось бы иметь дело с квантовой механикой поля в полости наряду с квантовой механикой атома.)

Подытожим. Молекула входит в полость, поле полости, колеблющееся с как раз нужной частотой, индуцирует перехо­ды с верхнего состояния на нижнее, и высвобождаемой энергией питается осциллирующее поле. В работающий мазер молекулы доставляют достаточно энергии для того, чтобы поддержива­лись колебания полости, ее хватает не только на то, чтобы воз­местить потери в полости, но и на то, чтобы небольшие избытки энергии извлекались из полости. Итак, молекулярная энергия превращается в энергию внешнего электромагнитного поля.

Вспомним, что перед входом в полость нам приходилось пользоваться фильтром, который разделял пучок так, что в полость входило только верхнее состояние. Легко показать, что, если бы мы начали с молекул в нижнем состоянии, процесс пошел бы в другую сторону и энергия от полости отбиралась бы. Если пустить в полость нефильтрованный пучок, то сколько молекул будет отбирать энергию от полости, столько же из них будет отдавать ей свою энергию, и в итоге ничего не случится. В настоящем мазере, конечно, не обязательно делать (mx₀T/h) точно равным p/2. И при других значениях (кроме точных кратных p) существует какая-то вероятность переходов из состояния |I> в состояние |II>. Но при этих других значе­ниях прибор уже не имеет к. п. д., равного 100%; многие из молекул, покидающие полость, могли бы снабдить ее энергией, но не сделали этого.

На самом деле и скорости молекул неодинаковы; они рас­пределены по Максвеллу. Это означает, что идеальные периоды времени для разных молекул окажутся различными, и невоз­можно получить к. п. д., равный 100%, сразу для всех моле­кул. Вдобавок имеется еще одно усложнение, которое, правда, легко принять во внимание, но на этой стадии мы не будем им за­ниматься. Вы помните, что электрическое поле обычно меня­ется в полости от места к месту. Когда молекулы дрейфуют вдоль полости, электрическое поле близ молекул меняется как-то очень сложно, сложнее, чем предположенное нами обыч­ное синусоидальное колебание. Ясно, что для точного решения задачи следовало бы воспользоваться более сложными интег­рированиями, но общая идея остается прежней.

Можно мазеры устраивать и иначе. Не отделять прибором Штерна — Герлаха атомы в состоянии |I> от атомов в состоя­нии |II>, а собрать атомы в какой-то полости (в газообразном или твердом виде) и как-то переселить их из состояния |II> в состояние |I>. Один такой способ применяется в так назы­ваемом трехуровневом мазере. Для него используются атомные системы с тремя уровнями энергии (фиг. 7.6) и со следующими специальными свойствами.



Фиг. 7.6. Уровни энергии «трехуровневого» мазера.

Система поглощает излучение (ска­жем, свет) с энергией hw₁ и переходит от низшего уровня энер­гии Е_II к какому-то более высокому уровню Е\', а затем быстро испускает фотоны с энергией hw₂ и переходит в состояние |/> с энергией Е_I. У состояния |I> большое время жизни, так что его населенность может возрасти; создаются условия, благо­приятствующие работе мазера между состояниями |I> и |II>. Хотя такой прибор называют «трехуровневым» мазером, но сама мазерная процедура на самом деле происходит так же, как и у описанной нами двухуровневой системы.

Лазер — это всего-навсего мазер, действующий на свето­вых частотах. «Полость» лазера обычно состоит попросту из двух зеркал, между которыми генерируются стоячие волны.

§ 5. Переходы вне резонанса

Наконец, хотелось бы выяснить, как изменяются состояния в условиях, когда частота полости, хотя и близка к w₀, но не совпадает с ней. Эту задачу можно было бы решить точно, но мы не будем пытаться это делать, а обратимся к важному слу­чаю малого электрического поля и малого промежутка време­ни Т, так что mx₀T/h много меньше единицы. Тогда даже в слу­чае уже изученного нами идеального - резонанса вероятность перехода очень мала. Будем исходить опять из того, что g_I=1 и g_II=0. Тогда мы вправе ожидать, что в течение всего времени Т наша величина g_I останется близкой к единице, а g_II будет малой по сравнению с единицей, и задача облегчается. Из вто­рого уравнения (7.45) мы можем подсчитать g_II, принимая g_I равной единице и интегрируя от t=0 до t=T. Получается



Это та величина g_II, которая стоит в (7.40), и она дает амплитуду того, что переход из состояния |I> в состояние |II> произой­дет за время Т. Вероятность Р (I®II) такого перехода равна

|g_II|², или



Интересно начертить эту вероятность при фиксированном времени T как функцию частоты полости, чтобы посмотреть, насколько чувствительна она к частотам близ резонансной ча­стоты w₀. Кривая Р (I®II) показана на фиг. 7.7.



Фиг. 7.7. Вероятность перехода для молекулы аммиака как функция частоты.

(Вертикаль­ная шкала была подогнана так, чтобы в пике была единица, для этого разделили на величину вероятности при w=w₀.) С подобными кривыми мы встречались в теории дифракции, так что они должны быть вам знакомы. Кривая довольно резко падает до нуля при

(w-w₀)=2p/T и никогда при больших отклонениях частоты снова не достигает заметной величины. Почти вся площадь под кривой лежит в пределах ±p/T. Можно показать [с помощью формулы



что площадь под кривой равна 2p/T и совпадает с площадью выделен­ного штрихованной линией прямоугольника.

Посмотрим, что это дает для реального мазера. Возьмем разумное время пребывания молекулы аммиака в полости, ска­жем 1 мсек. Тогда для f₀=24000 Мгц можно подсчитать, что вероятность падает до нуля при отклонениях (f-f₀)/f₀=1/f₀T, т. е. порядка 5·10^-8. Очевидно, что для заметных вероятностей перехода частоты должны очень точно совпадать с w₀. Этот эффект является основой той большой точности, которой можно достичь в «атомных» часах, работающих на принципе мазера.

§ 6. Поглощение света

Наше изложение применимо и к более общему случаю, чем аммиачный мазер. Мы ведь изучали поведение молекулы под влиянием электрического поля независимо от того, заклю­чено оно в полость или нет. Просто можно было направить пучок «света» — микроволновой частоты — на молекулу и искать вероятность испускания или поглощения. Наши урав­нения ничуть не хуже применимы и к этому случаю, но только лучше переписать их на языке интенсивности излучения, а не электрического поля. Если определить интенсивность как средний поток энергии через единицу площади в секунду, то из гл. 27 (вып. 6) следует



(Максимум x равен 2x₀.) Вероятность перехода принимает вид



Обычно свет, освещающий подобную систему, не точно монохроматичен. Поэтому интересно решить еще одну задачу— подсчитать вероятность перехода, когда интенсивность света на единицу интервала частот равна и покрывает собой широкую полосу, включающую w₀. Тогда вероятность перехо­да от |I> к |II> обратится в интеграл



Как правило, меняется с w медленнее, чем острый резо­нансный фактор. Эти две функции могут выглядеть так, как по­казано на фиг. 7.8.



Фиг. 7.8. Спектральная интенсивность может быть представлена своим значением при w₀.

В таких случаях можно заменить ее значением в центре острой резонансной кривой и вы­нести из-под интеграла. Оставшийся интеграл — это просто площадь под кривой на фиг. 7.7, которая, как известно, равна 2p/Т. Мы приходим к результату



Это очень важный результат; перед нами общая теория поглощения света любой молекулярной или атомной системой. Хотя мы вначале считали, что состояние |I> обладает более высокой энергией, чем состояние |II>, но никакие наши рас­суждения от этого не зависели. Уравнение (7.55) соблюдается и тогда, когда энергия состояния |I> ниже энергии состояния |II>; тогда Р (I®II) представляет собой вероятность перехода с поглощением энергии от падающей электромагнитной волны. Поглощение атомной системой света всегда предполагает, что имеется амплитуда для перехода в колеблющемся электриче­ском поле между состояниями, отличающимися на энергию E=hw₀. В каждом отдельном случае она рассчитывается так же, как мы это проделали, и дает выражения наподобие (7.55). Поэтому мы подчеркнем следующие свойства этой формулы. Во-первых, вероятность пропорциональна Т. Иными словами, существует неизменная вероятность на единицу времени, что переход произойдет. Во-вторых, эта вероятность пропорцио­нальна интенсивности света, падающего на систему. В-третьих, вероятность перехода пропорциональна m², где, как вы помните, mx определяет энергетический сдвиг, вызываемый электриче­ским полем x. По этой именно причине mx появлялось и в урав­нениях (7.38) и (7.39) в качестве коэффициента связи, ответствен­ного за переход между стационарными состояниями |I> и |II>. Иными словами, для рассматривавшихся нами малых x член mx есть так называемое «возмущение» в матричном элементе гамильтониана, связывающем состояния |/> и |//>. В общем случае mx заменилось бы матричным элементом <II|H|I> (см. гл. 3, § 6).

В гл. 42, § 5 (вып. 4) мы говорили о связи между поглоще­нием света, вынужденным испусканием и самопроизвольным испусканием в терминах введенных Эйнштейном коэффициентов А и В. Здесь наконец-то в наших руках появляется квантовомеханическая процедура для подсчета этих коэффициентов. То, что мы обозначили Р (I®II) для нашей аммиачной двухуровневой молекулы, в точности соответствует коэффициенту поглощения B_nm в эйнштейновской теории излучения. Из-за сложности молекулы аммиака — слишком трудной для рас­чета — нам пришлось взять матричный элемент <II|H|I> в виде mx и говорить, что m извлекается из опыта. Для более про­стых атомных систем величину m_mn, отвечающую к произвольному переходу, можно подсчитать, исходя из определения



где Н_mn — это матричный элемент гамильтониана, учитываю­щего влияние слабого электрического поля. Величина m_mn, вычисленная таким способом, называется электрическим дипольным матричным элементом, Квантовомеханическая тео­рия поглощения и испускания света сводится тем самым к расчету этих матричных элементов для тех или иных атомных систем.

Итак, изучение простых систем с двумя состояниями (двух­уровневых) привело нас к пониманию общей проблемы поглощения и испускания света.

* Теперь мы опять будем писать | I> и | II> вместо |y_I> и |y_II>. Вы должны вспомнить, что настоящие состояния |y_I> и |y_II> суть энергетические базисные состояния, умноженные на соответствующий экспоненциальный множитель.

* Например, как легко убедиться, одно из допустимых решений имеет вид





* Очень жаль, но нам придется ввести новое обозначение. Раз бук­вы р и Е заняты у нас импульсом и энергией, то мы поостережемся опять обозначать ими дипольный момент и электрическое поле. Напомним, что в этом параграфе m означает электрический дипольный момент.

* В дальнейшем полезно (и читая, и произнося вслух) отличать арабские 1 и 2 и римские I и II. Мы считаем, что удобно для арабских, цифр резервировать названия «один» и «два», а I и II читать как «первый», «второй».



 

 

Глава 8

ДРУГИЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ состояниями

§ 1. Молекулярный ион водорода

§ 2. Ядерные силы

§ 3. Молекула водорода

§ 4.Молекула бензола

§ 5. Красители

§ 6.Гамильтониан частицы со спи­ном 1/2 в магнит­ном поле

§ 7.Вращающийся электрон в магнитном поле

§ 1. Молекулярный ион водорода

В предыдущей главе мы обсудили некото­рые свойства молекулы аммиака в предположении, что это система о двух состояниях (или двухуровневая система). На самом деле, конечно, это не так — у нее есть множество состояний: вращения, колебания, перемещения и т. д., но в каждом из этих состояний движе­ния следует говорить о паре внутренних со­стояний из-за того, что атом азота может быть переброшен с одной стороны плоскости трех атомов водорода на другую. Сейчас мы рас­смотрим другие примеры систем, которые в том или ином приближении можно будет считать системами с двумя состояниями. Многое здесь будет приближенным, потому что всегда име­ется множество других состояний, и в более точном анализе их следовало бы учитывать. Но в каждом из этих примеров мы окажемся в силах очень многое понять, рассуждая толь­ко о двух состояниях.

Раз мы будем иметь дело только с двух­уровневыми системами, то нужный нам га­мильтониан будет выглядеть так же, как и в предыдущей главе. Когда гамильтониан не зависит от времени, то известно, что имеются два стационарных состояния с определенными (и обычно разными) энергиями. В общем слу­чае, однако, мы будем начинать наш анализ с выбора базисных состояний (не обязательно этих стационарных состояний), таких, которые, скажем, имеют другой простой физический смысл. Тогда стационарные состояния систе­мы будут представлены линейной комбинацией этих базисных состояний.

Для удобства подытожим важнейшие уравнения, выведенные в гл. 7, Пусть первоначально в качестве базисных состояний были приняты |1> и |2>. Тогда любое состояние |y> пред­ставляется их линейной комбинацией:



Амплитуды С_i (под этим подразумеваются как C₁ так и С₂) удовлетворяют двум линейным дифференциальным уравнениям



где и i, и j принимают значения 1 и 2.