(7.17)



Что касается ионов, то предположим, что они не сдвинулись заметно с места (инерция-то у них куда больше), так что плот­ность их осталась прежней, n₀. Заряд каждого электрона -q_e , и средняя плотность заряда в любой точке равна

или





(7.18)

(здесь Ds/Dx записано через дифференциалы).

Далее, уравнения Максвелла связывают с плотностью заря­дов электрическое поле. В частности,



(7.19)

Если задача действительно одномерна (и никаких полей, кроме вызываемых смещением электронов, нет), то у электрического поля Е есть одна-единственная составляющая Е_х. Уравнение (7.19) вместе с (7.18) приведет к





(7.20)



Интегрируя (7.20), получаем

(7.21)

Постоянная интегрирования К равна нулю, потому что Е_х=0 при s=0.





Сила, действующая на смещенный электрон, равна

(7.22)

т. е. возвращающая сила пропорциональна смещению s элект­рона. Это приведет к гармоническим колебаниям электронов. Уравнение движения смещенного электрона имеет вид





(7.23)

Отсюда следует, что s меняется по гармоническому закону. Во времени s меняется как cos wt или, если использовать экспоненту (см. вып. 3), как







(7.24)

Частота колебаний w_р определяется из (7.23):





(7.25)

Это число, характеризующее плазму, называют собственной частотой колебаний плазмы, или плазменной частотой.

Оперируя с электронами, многие предпочитают получать ответы в единицах e², определяемых как





(7.26)

При этом условии (7.25) превращается в





(7.27)

В таком виде эту формулу можно встретить во многих книгах.

Итак, мы обнаружили, что возмущения плазмы приводят к свободным колебаниям электронов вблизи положения равновесия с собственной частотой w_р, пропорциональной корню квад­ратному из плотности электронов. Плазменные электроны ве­дут себя как резонансная система, подобная описанным в вып. 2, гл. 23.

Этот собственный резонанс плазмы приводит к интересным эффектам. Например, при прохождении радиоволн сквозь ионо­сферу обнаруживается, что они могут пройти только в том слу­чае, если их частота выше плазменной частоты. А иначе они от­ражаются обратно. Для связи с искусственным спутником мы используем высокие частоты. Если же мы хотим связаться с ра­диостанцией, расположенной где-то за горизонтом, то необхо­димы частоты меньшие, чем плазменная частота, иначе сигнал не отразится обратно к Земле.

Другой интересный пример колебаний плазмы наблюдается в металлах. В них содержится плазма из положительных ионов и свободных электронов. Плотность n₀ там очень высока, зна­чит, велика и w_р. Но колебания электронов все же можно обна­ружить. Ведь, согласно квантовой механике, гармонический осциллятор с собственной частотой w_р обладает уровнями энер­гии, отличающимися друг от друга на величину hw_р. Значит, если, скажем, обстреливать электронами алюминиевую фольгу и очень точно измерять их энергию по ту сторону фольги, то можно ожидать, что временами электроны будут из-за колеба­ний плазмы терять как раз энергию hw_p. Так это и происходит. Впервые это явление наблюдалось экспериментально в 1936 г. Электроны с энергиями от нескольких сот до несколь­ких тысяч электронвольт, рассеиваясь от тонкой металлической фольги или проходя сквозь нее, теряли энергию порциями. Эффект оставался непонятым до 1953 г., пока Бом и Пайнс не показали, что все это можно объяснить квантовым возбужде­нием плазмы в металле.

§ 4. Коллоидные частицы в электролите

Обратимся к другому явлению, когда местоположение заря­дов определяется потенциалом, создаваемым в какой-то степени самими зарядами. Такой эффект существен для поведения коллоидов. Коллоид — это взвесь маленьких заряженных час­тичек в воде. Хотя эти частички и микроскопические, но по сравнению с атомом они все же очень велики. Если бы коллоид­ные частицы не были заряжены, они бы стремились коагулиро­вать (слиться) в большие комки; но, будучи заряженными, они отталкиваются друг от друга и остаются во взвешенном состоя­нии. Если в воде растворена еще соль, то она диссоциирует (расползается) на положительные и отрицательные ионы. (Та­кой раствор ионов называется электролитом.) Отрицательные ионы притягиваются к коллоидным частицам (будем считать, что их заряды положительны), а положительные — отталки­ваются. Нам нужно узнать, как ионы, окружающие каждую частицу коллоида, распределены в пространстве.

Чтобы мысль была яснее, рассмотрим только одномерный случай. Представим себе коллоидную частицу в виде очень боль­шого (по сравнению с атомом!) шара; тогда мы можем малую часть ее поверхности считать плоскостью. (Вообще, пытаясь понять новое явление, лучше разобраться в нем на чрезвычайно упрощенной модели; и только потом, поняв суть проблемы, стоит браться за более точные расчеты.)

Предположим, что распределение ионов создает плотность за­рядов р(х) и электрический потенциал j, связанные электро­статическим законом С²j =-r/e₀, или в одномерном случае законом



(7.28)

Как бы распределились ионы в таком поле, если бы потен­циал подчинялся этому уравнению? Узнать это можно при помощи принципов статистической механики. Вопрос в том, как определить j, чтобы вытекающая из статистической меха­ники плотность заряда тоже удовлетворяла бы условию (7.28)?

Согласно статистической механике (см. вып. 4, гл. 40), час­тицы, пребывая в тепловом равновесии в поле сил, распределя­ются так, что плотность n частиц с координатой x дается фор­мулой





(7.29)

где U(x) — потенциальная энергия, k — постоянная Больцмана, а Т — абсолютная температура.





Предположим, что у всех ионов один и тот же электрический заряд, положительный или отрицательный. На расстоянии х от поверхности коллоидной частицы положительный ион будет обладать потенциальной энергией

Плотность положительных ионов тогда равна









а плотность отрицательных





Суммарная плотность заряда





или



(7.30)

Подставляя в (7.28), увидим, что потенциал j должен удов­летворять уравнению





(7.31)

Это уравнение решается в общем виде [помножьте обе его части на 2(dj/dx) и проинтегрируйте по х], но, продолжая упрощать задачу, мы ограничимся здесь только предельным случаем малых потенциалов или высоких температур Т. Малость j отвечает разбавленному раствору. Показатель экспоненты тогда мал, и можно взять





(7.32)



Уравнение (7.31) дает

(7.33)

Заметьте, что теперь в правой части стоит знак плюс (ре­шение не колебательное, а экспоненциальное).



Фиг. 7.7. Изменение по­тенциала у поверхности коллоидной частицы. D — дебаевская длина.

Общее решение (7.33) имеет вид







(7.34)

где





(7.35)

Постоянные А и В определяются из добавочных условий. В на­шем случае В должно быть нулем, иначе потенциал для боль­ших х обратится в бесконечность. Итак,



(7.36)

где А — потенциал при x=0 на поверхности коллоидной час­тицы.

Потенциал убывает в e раз при удалении на D (фиг. 7.7). Число D называется дебаевской длиной; это мера толщины ион­ной оболочки, окружающей в электролите каждую большую за­ряженную частицу. Уравнение (7.36) утверждает, что оболочка становится тоньше по мере увеличения концентрации ионов (n₀) или уменьшения температуры.





Постоянную А в (7.36) легко получить, если известен поверх­ностный заряд а на поверхности заряженной частицы. Мы знаем, что

(7.37)



Но Е это также градиент j

(7.38)

откуда получается





(7.39)



Подставив этот результат в (7.36), мы получим (положив х=0), что потенциал коллоидной частицы равен

(7.40)

Заметьте, что этот потенциал совпадает с разностью потенциалов в конденсаторе с промежутком D и поверхностной плотностью заряда s .

Мы сказали, что коллоидные частицы не слипаются вслед­ствие электрического отталкивания. Но теперь мы видим, что невдалеке от поверхности частицы из-за возникающей вокруг нее ионной оболочки поле спадает. Если бы оболочка стала до­статочно тонкой, у частиц появился бы шанс столкнуться друг с другом. Тогда они бы слиплись, коллоид бы осадился и выпал из жидкости. Из нашего анализа ясно, что после добавления в коллоид подходящего количества соли начнется выпадение осадка. Этот процесс называется «высаливанием коллоида».

Другой интересный пример — это влияние растворения соли На осаждение белка. Молекула белка — это длинная, слож­ная и гибкая цепь аминокислот. На ней там и сям имеются за­ряды, и временами заряд какого-то одного знака, скажем отри­цательного, распределяется вдоль всей цепи. В результате вза­имного отталкивания отрицательных зарядов белковая цепь распрямляется. Если в растворе имеются еще другие такие же молекулы-цепочки, то они не слипаются между собой вследст­вие того же отталкивания. Так возникает в жидкости взвесь молекул-цепочек. Но стоит добавить туда соли, как свойства взвеси изменятся. Уменьшится дебаевская длина, молекулы начнут сближаться и свертываться в спирали. А если соли мно­го, то молекулы белка начнут выпадать в осадок. Существует множество других химических явлений, которые можно понять на основе анализа электрических сил.

§ 5. Электростатическое поле сетки

Напоследок мы хотим изложить еще одно интересное свой­ство электрических полей. Оно используется в электрических приборах, электронных лампах и для других целей. Речь идет о поведении электрического поля близ сетки, составленной из заряженных проволочек. Чтоб упростить задачу, возьмем плос­кую систему параллельных проволочек бесконечной длины, про­межутки между которыми одинаковы.

Если мы посмотрим на поле где-то высоко над плоскостью проволочек, перед нами предстанет однородное электрическое поле, такое, словно заряд распределен на плоскости равномер­но. По мере приближения к сетке начнутся отклонения от преж­ней однородности. Мы хотим оценить, насколько близко от сетки появятся заметные изменения в потенциале.







Фиг. 7.8. Эквипотен­циальные поверхности над однородной сеткой из заряженных прово­лочек.

На фиг. 7.8 показа­но примерное расположение эквипотенциальных поверхностей на разных расстояниях от сетки. Чем ближе к сетке, тем сильнее колебания. Двигаясь параллельно сетке, мы заметим, что поле изменяется периодически.

Мы уже знаем (см. вып. 4, гл. 50), что любая периодическая величина может быть представлена в виде суммы синусных волн (теорема Фурье). Посмотрим, нельзя ли найти подходящую коле­бательную функцию, которая удовлетворяет нашим уравнениям поля.

Если проволочки лежат в плоскости ху параллельно оси y, то можно попробовать испытать члены вида

(7.41)



где а — расстояние между нитями, а n — число колебаний. (Мы предположили, что нити эти очень длинные, так что ника­ких изменений по у не заметно.) Полное решение должно со­стоять из суммы таких членов при n=1, 2, 3... Чтоб получился правильный потенциал, оно должно в области над сеткой (где зарядов нет) подчиняться уравнению Лапласа, т. е.

Испытывая этим уравнением функцию j из (7.41), мы получаем



(7.42)

т.е. F_n(z) должно удовлетворять условию







(7.43)





Итак, должно быть

(7.44)



(7.45)

Мы обнаружили, что если имеется компонента Фурье n-й гар­моники поля, то эта компонента должна убывать по экспоненте с высотой, причем характерным расстоянием является z₀=a/2pn. Амплитуда у первой гармоники (n=1) уменьшается в е^2p раз (очень резкое падение) каждый раз, когда мы удаляемся от сетки на величину одного промежутка а. Другие гармоники убы­вают еще быстрее. Мы видим, что уже на расстоянии в несколько а сетка кажется почти однородной, т. е. колебания поля очень малы. Конечно, всегда остается «нулевая гармоника» поля

j₀=-E₀z.

которая и дает однородное поле при больших z. Для полного решения нужно добавить этот член к сумме членов вида (7.41) с F_n из (7.44) , причем каждый член надо взять с коэффициентом А_n . Эти коэффициенты выбираются так, чтобы после дифферен­цирования получилось поле, согласующееся с плотностью заря­дов К на проволочках сетки.

Развитым нами методом можно объяснить, почему электро­статическая защита с помощью сетки ничуть не хуже сплошных листов металла. Поле за сеткой равно нулю всюду, за исключе­нием промежутка у самой сетки, не превышающего по размерам нескольких ее ячеек. Мы видим, что медная сетка, которая на­много легче и дешевле сплошной медной обшивки, вполне при­годна для защиты чувствительного электрического оборудова­ния от возмущающих внешних полей.

* О новых работах по этому вопросу и библиографию см. в статье С. J.Powell, J.B. Swann, Phys. Rev., 115, 869 (1959).



Глава 8

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

§1 .Электростатиче­ская энергия зарядов. Однородный шар

§2.Энергия конденсатора. Силы, действующие на заряженные проводники

§З.Электростатическая энергия ионного кристалла

§4.Электростатиче­ская энергия ядра

§5,Энергия в электро­статическом поле

§6.Энергия точечного заряда

Повторить: гл. 4 (вып. 1) «Сохранение энергии»; гл. 13 и 14 (вып. 1) «Работа и потенциальная энергия»

§ 1. Электростатическая энергия зарядов. Однородный шар

Одно из самых интересных и полезных от­крытий в механике —это закон сохранения энер­гии. Зная формулы для кинетической и потен­циальной энергий механической системы, мы способны обнаруживать связь между состоя­ниями системы в два разных момента времени, не вникая в подробности того, что происходит между этими моментами. Мы хотим определить теперь энергию электростатических систем. В электричестве сохранение энергии окажется столь же полезным для обнаружения многих любопытных фактов.

Закон, по которому меняется энергия при электростатическом взаимодействии, очень прост; на самом деле мы его уже обсуждали. Пусть имеются заряды q₁ и q₂, разделенные про­межутком r₁₂. У этой системы есть какая-то энергия, потому что понадобилась какая-то работа, чтобы сблизить заряды. Мы подсчиты­вали работу, производимую при сближении двух зарядов с большого расстояния; она равна



(8.1)

Мы знаем из принципа наложения, что если зарядов много, то общая сила, действующая на любой из зарядов, равна сумме сил, дей­ствующих со стороны всех прочих зарядов. От­сюда следует, что полная энергия системы не­скольких зарядов есть сумма членов, выражаю­щих взаимодействие каждой пары зарядов по отдельности. Если q_i и q_j- — какие-то два из зарядов, а расстояние между ними r_ij (фиг. 8.1),





Фиг. 8.1. Электростатическая анергия системы частиц есть сумма электростатических энер­гий каждой пары.

то энергия именно этой пары равна



(8.2)





Полная электростатическая энергия U есть сумма энергий все­возможных пар зарядов:

(8.3)

Если распределение задается плотностью заряда r, то сумму в (8.3) нужно, конечно, заменить интегралом.

Мы расскажем здесь об энергии с двух точек зрения. Пер­вая — применение понятия энергии к электростатическим зада­чам; вторая — разные способы оценки величины энергии. По­рой легче бывает подсчитать выполненную в каком-то случае работу, чем оценить величину суммы в (8.3) или величину со­ответствующего интеграла. Для образца подсчитаем энергию, необходимую для того, чтобы собрать из зарядов однородно за­ряженный шар. Энергия здесь есть не что иное, как работа, которая затрачивается на собирание зарядов из бесконечности.

Представьте, что мы сооружаем шар, наслаивая последова­тельно друг на друга сферические слои бесконечно малой тол­щины. На каждой стадии процесса мы собираем небольшое ко­личество электричества и размещаем его тонким слоем от r до r+dr. Мы продолжаем процесс этот до тех пор, пока не добе­ремся до заданного радиуса а (фиг. 8.2). Если Q_r -— это заряд шара в тот момент, когда шар доведен до радиуса r, то работа, требуемая для доставки на шар заряда dQ, равна





(8.4)







Фиг. 8.2. Энергию однород­но заряженного шара можно рассчитать, вообразив, что его слепили, последовательно наслаивая друг на друга сферические слои.





Если плотность заряда внутри шара есть r, то заряд Q_r равен



Уравнение (8.4) превращается в







(8.5)

Полная энергия, требуемая на то, чтобы накопить полный шар зарядов, равна интегралу по dU от r=0 до r=а, т.е.





(8.6)

а если мы желаем выразить результат через полный заряд Q шара, то







(8.7)

Энергия пропорциональна квадрату полного заряда и об­ратно пропорциональна радиусу. Можно представить (8.7) и так: среднее значение (1/r_ij) по всем парам точек внутри шара равно ⁶/₅а.

§ 2. Энергия конденсатора. Силы, действующие на заряженные проводники

Рассмотрим теперь энергию, требуемую на то, чтоб зарядить конденсатор. Если заряд Q был снят с одной обкладки конден­сатора и перенесен на другую, то между обкладками возникает разность потенциалов, равная





(8.8)

где С — емкость конденсатора. Сколько работы затрачено на зарядку конденсатора? Поступая точно так же, как мы посту­пали с шаром, вообразим, что конденсатор уже заряжен перено­сом заряда с одной обкладки на другую маленькими порциями dQ. Работа, требуемая для переноса заряда dQ, равна





Взяв V из (8.8), напишем







Или, интегрируя от Q=0 до конечного заряда Q, получаем







(8.9)

Эту энергию можно также записать в виде







(8.10)

Вспоминая, что емкость проводящей сферы (по отношению к бесконечности) равна









мы немедленно получим из уравнения (8.9) энергию заряженной сферы



(8.11)

Это выражение, конечно, относится также и к энергии тонкого сферического слоя с полным зарядом Q; получается ⁵/₆ энер­гии однородно заряженного шара [уравнение (8.7)].

Посмотрим, как применяется понятие электростатической энергии. Рассмотрим два вопроса. Какова сила, действующая между обкладками конденсатора? Какой вращательный (крутя­щий) момент вокруг некоторой оси испытывает заряженный про­водник в присутствии другого проводника с противоположным зарядом? На такие вопросы легко ответить, пользуясь нашим выражением (8.9) для электростатической энергии конденсатора и принципом виртуальной работы (см. вып. 1, гл. 4, 13 и 14).





Применим этот метод для определения силы, действующей между двумя обкладками плоского конденсатора. Если мы пред­ставим, что промежуток между пластинами расширился на не­большую величину Dz, то тогда механическая работа, произво­димая извне для того, чтобы раздвинуть обкладки, была бы равна

(8.12)

где F — сила, действующая между обкладками. Эта работа обя­зана быть равной изменению электростатической энергии кон­денсатора, если только заряд конденсатора не изменился.

Согласно уравнению (8.9), энергия конденсатора первона­чально была равна



Изменение в энергии (если мы не допускаем изменения величи­ны заряда) тогда равно







(8.13)

Приравнивая (8.12) и (8.13), получаем







(8.14)





что может также быть записано в виде



(8.15)

Ясно, эта сила здесь возникает от притяжения зарядов на обкладках; мы видим, однако, что заботиться о том, как там они рас­пределены, нам нечего; единственное, что нам нужно, — это учесть емкость С.

Легко понять, как обобщить эту идею на проводники произ­вольной формы и на прочие составляющие силы. Заменим в урав­нении (8.14) F той составляющей, которая нас интересует, а Dz — малым смещением в соответствующем направлении. Или если у нас есть электрод, насаженный на какую-то ось, и мы хо­тим знать вращательный момент t, то запишем виртуальную ра­боту в виде

DW = tDq,





где Dq — небольшой угловой поворот. Конечно, теперь D(1/C) должно быть изменением 1/С, отвечающим повороту на Dq.