Глава 1

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

§1 .Электрические силы

§2. Электрические и магнитные поля

§3. Характеристики векторных полей

§4.Законы электро­магнетизма

§5.Что это такое— «поля»?

§6. Электромагнетизм в науке и технике

Повторить: гл. 12 (вып. 1) «Харак­теристики силы»



§ 1. Электрические силы

Рассмотрим силу, которая, подобно тяготе­нию, меняется обратно квадрату расстояния, но только в миллион биллионов биллионов биллионов раз более сильную. И которая от­личается еще в одном. Пусть существуют два сорта «вещества», которые можно назвать поло­жительным и отрицательным. Пусть одинако­вые сорта отталкиваются, а разные — притя­гиваются в отличие от тяготения, при котором происходит только притяжение. Что же тогда случится?

Все положительное оттолкнется со страш­ной силой и разлетится в разные стороны. Все отрицательное — тоже. Но совсем другое прои­зойдет, если положительное и отрицательное перемешать поровну. Тогда они с огромной силой притянутся друг к другу, и в итоге эти невероятные силы почти нацело сбалансируются, образуя плотные «мелкозернистые» смеси положительного и отрицательного; между двумя грудами таких смесей практически не будет ощущаться ни притяжения, ни отталкивания.

Такая сила существует: это электрическая сила. И все вещество является смесью положи­тельных протонов и отрицательных электронов, притягивающихся и отталкивающихся с неимо­верной силой. Однако баланс между ними столь совершенен, что, когда вы стоите возле кого-нибудь, вы не ощущаете никакого действия этой силы. А если бы баланс нарушился хоть немножко, вы бы это сразу почувствовали. Если бы в вашем теле или в теле вашего соседа (стоящего от вас на расстоянии вытянутой руки) электронов оказалось бы всего на 1% больше, чем протонов, то сила вашего отталкивания была бы невообразимо большой. Насколько большой? Доста­точной, чтобы поднять небоскреб? Больше! Достаточной, чтобы поднять гору Эверест? Больше! Силы отталкивания хватило бы, чтобы поднять «вес», равный весу нашей Земли!

Раз такие огромные силы в этих тонких смесях столь совер­шенно сбалансированы, то нетрудно понять, что вещество, стремясь удержать свои положительные и отрицательные заря­ды в тончайшем равновесии, должно обладать большой жестко­стью и прочностью. Верхушка небоскреба, скажем, отклоняется при порывах ветра лишь на пару метров, потому что электри­ческие силы удерживают каждый электрон и каждый протон более или менее на своих местах. А с другой стороны, если рас­смотреть достаточно малое количество вещества так, чтобы в нем насчитывалось лишь немного атомов, то там необязательно будет равное число положительных и отрицательных зарядов, и могут проявиться большие остаточные электрические силы. Даже если числа тех и других зарядов одинаковы, все равно между соседними областями может действовать значительная электрическая сила. Потому что силы, действующие между отдельными зарядами, изменяются обратно пропорционально квадратам расстояний между ними и может оказаться, что отрицательные заряды одной части вещества ближе к положи­тельным зарядам (другой части), чем к отрицательным. Силы притяжения тогда превзойдут силы отталкивания, и в итоге возникнет притяжение между двумя частями вещества, в кото­рых нет избыточного заряда. Сила, удерживающая атомы, и химические силы, скрепляющие между собой молекулы,— все это силы электрические, действующие там, где число зарядов неодинаково или где промежутки между ними малы.

Вы знаете, конечно, что в атоме имеются положительные протоны в ядре и электроны вне ядра. Вы можете спросить: «Если эти электрические силы так велики, то почему же про­тоны и электроны не налезают друг на друга? Если они стре­мятся образовать тесную компанию, почему бы ей не стать еще теснее?» Ответ связан с квантовыми эффектами. Если попы­таться заключить наши электроны в малый объем, окружающий протон, то, согласно принципу неопределенности, у них должен возникнуть средний квадратичный импульс, тем больший, чем сильнее мы их ограничим. Именно это движение (требуемое законами квантовой механики) мешает электрическому притяжению еще больше сблизить заряды.

Тут возникает другой вопрос: «Что скрепляет ядро?» В ядре имеется несколько протонов, и все они положительно заряжены. Почему же они не разлетаются? Оказывается, что в ядре, помимо электрических сил, еще действуют и неэлектрические силы, называемые ядерными. Эти силы более мощные, чем электриче­ские, и они способны, несмотря на электрическое отталкивание,

удержать протоны вместе. Действие ядерных сил, однако, про­стирается недалеко; оно падает гораздо быстрее, чем 1/r². И это приводит к важному результату. Если в ядре имеется слишком много протонов, то ядро становится чересчур большим и оно уже не может удержаться. Примером может служить уран с его 92 протонами. Ядерные силы действуют в основном между про­тоном (или нейтроном) и его ближайшим соседом, а электриче­ские силы действуют на большие расстояния и вызывают оттал­кивание каждого протона в ядре от всех остальных. Чем больше в ядре протонов, тем сильнее электрическое отталкивание, пока (как у урана) равновесие не станет столь шатким, что ядру почти ничего не стоит разлететься от действия электрического отталкивания. Стоит его чуть-чуть «толкнуть» (например, по­слав внутрь медленный нейтрон) — и оно разваливается надвое, на две положительно заряженные части, разлетающиеся врозь в результате электрического отталкивания. Энергия, которая при этом высвобождается,— это энергия атомной бомбы. Ее обычно именуют «ядерной» энергией, хотя на самом деле это «электрическая» энергия, высвобождаемая, как только электри­ческие силы превзойдут ядерные силы притяжения.

Наконец, можно спросить, чем скрепляется отрицательно заряженный электрон (ведь в нем нет ядерных сил)? Если элек­трон весь состоит из вещества одного сорта, то каждая его часть должна отталкивать остальные. Тогда почему же они не разле­таются в разные стороны? А точно ли существуют у электрона «части»? Может быть, следует считать электрон просто точкой и говорить, что электрические силы действуют только между разными точечными зарядами, так что электрон не действует сам на себя? Возможно. Единственно, что можно сейчас сказать,— что вопрос о том, чем скреплен электрон, вызвал много трудно­стей при попытке создать полную теорию электромагнетизма. И ответа на этот вопрос так и не получили. Мы займемся обсуж­дением его немного позже.

Как мы видели, можно надеяться, что сочетание электриче­ских сил и квантовомеханических эффектов определит структуру больших количеств вещества и, следовательно, их свойства. Одни материалы — твердые, другие — мягкие. Некоторые из них — электрические «проводники», потому что их электроны свободны и могут двигаться; другие — «изоляторы», их элек­троны привязаны каждый к своему атому. Позже мы выясним, откуда появляются такие свойства, но вопрос этот очень сложен, поэтому рассмотрим сначала электрические силы в самых про­стых ситуациях. Начнем с изучения одних только законов эле­ктричества, включив сюда и магнетизм, так как и то и другое в действительности суть явления одной и той же природы.

Мы сказали, что электрические силы, как и силы тяготения, уменьшаются обратно пропорционально квадрату расстояния между зарядами. Это соотношение называется законом Кулона. Однако этот закон перестает выполняться точно, если заряды движутся. Электрические силы зависят также сложным обра­зом и от движения зарядов. Одну из частей силы, действующей между движущимися зарядами, мы называем магнитной силой. На самом же деле это только одно из проявлений электрического действия. Потому мы и говорим об «электромагнетизме».

Существует важный общий принцип, позволяющий относи­тельно просто изучать электромагнитные силы. Мы обнаружи­ваем экспериментально, что сила, действующая, на отдельный заряд (независимо от того, сколько там еще есть зарядов или как они движутся), зависит только от положения этого отдель­ного заряда, от его скорости и величины. Силу F, действую­щую на заряд q,



движущийся со скоростью v, мы можем на­писать в виде:

(1.1)

здесь Е — электрическое поле в точке расположения заряда, а В — магнитное поле. Существенно, что электрические силы, действующие со стороны всех прочих зарядов Вселенной, скла­дываются и дают как раз эти два вектора. Значения их зависят от того, где находится заряд, и могут меняться со временем. Если мы заменим этот заряд другим, то сила, действующая на новый заряд, изменяется точно пропорционально величине заряда, если только все прочие заряды мира не меняют своего движения или положения. (В реальных условиях, конечно, каждый заряд действует на все прочие расположенные по со­седству заряды и может заставить их двигаться, так что иногда при замене одного данного заряда другим поля могут изме­ниться.)





Из материала, изложенного в первом томе, мы знаем, как определить движение частицы, если сила, действующая на нее, известна. Уравнение (1.1) в сочетании с уравнением движения дает

(1.2)

Значит, если Е и В известны, то можно определить движение зарядов. Остается только узнать, как получаются Е и В.

Один из самых важных принципов, упрощающих получение величины полей, состоит в следующем. Пусть некоторое коли­чество движущихся каким-то образом зарядов создает поле E₁ , a другая совокупность зарядов — поле Е₂. Если действуют оба набора зарядов одновременно (сохраняя те же свои положения и движения, какими они обладали, когда рассматривались порознь), то возникающее поле рав­но в точности сумме

Е = Е₁ + Е₂. (1.3)

Этот факт называется принципом на­ложения полей (или принципом су­перпозиции}. Он выполняется и для магнитных полей.

Принцип этот означает, что если нам известен закон для электричес­кого и магнитного полей, образуемых одиночным зарядом, движущимся произвольным образом, то, значит, нам известны все законы электроди­намики. Если мы хотим знать силу, действующую на заряд А, нам нужно только рассчитать величину полей Е и В, созданных каждым из зарядов В, С, D и т. д., и сложить все эти Е и В; тем самым мы найдем поля, а из них — силы, действующие на А. Если бы оказалось, что поле, созда­ваемое одиночным зарядом, отлича­ется простотой, то это стало бы са­мым изящным способом описания законов электродинамики. Но мы уже описывали этот закон (см. вып. 3, гл. 28), и, к сожалению, он довольно сложен.







Оказывается, что форма, в которой законы электродинамики становятся простыми, совсем не такая, какой можно было бы ожидать. Она не проста, если мы захотим иметь формулу для силы, с которой один заряд действует на другой. Правда, когда заряды покоятся, закон силы — закон Кулона — прост, но когда заряды движутся, соотношения усложняются из-за запа­здывания во времени, влияния ускорения и т. п. В итоге лучше не пытаться строить электродинамику с помощью одних лишь законов сил, действующих между зарядами; гораздо более приемлема другая точка зрения, при которой с законами элек­тродинамики легче управляться.

§ 2. Электрические и магнитные поля

Первым делом нужно несколько расширить наши представ­ления об электрическом и магнитном векторах Е и В. Мы опре­делили их через силы, действующие на заряд. Теперь мы наме­реваемся говорить об электрическом и магнитном полях в точке, даже если там нет никакого заряда.





Фиг. 1.1. Векторное поле, пред­ставленное множеством стрелок, длина и направление которых от­мечают величину векторного поля в тех точках, откуда выходят стрелки.

Следовательно, мы утверж­даем, что раз на заряд «действуют» силы, то в том месте, где он стоял, остается «нечто» и тогда, когда заряд оттуда убрали. Если заряд, расположенный в точке (х, у, z), в момент t ощущает действие силы F, согласно уравнению (1.1), то мы связываем векторы Е и В с точкой (х, у, z) в пространстве. Можно считать, что Е (х, y, z, t) и В (х, у, z, t) дают силы, действие которых ощутит в момент t заряд, расположенный в (х, у, z), при условии, что помещение заряда в этой точке не потревожит ни распо­ложения, ни движения всех прочих зарядов, ответственных за поля.

Следуя этому представлению, мы связываем с каждой точкой (х, у, z) пространства два вектора Е и В, способных меняться со временем. Электрические и магнитные поля тогда рассматри­ваются как векторные функции от х, у, z и t. Поскольку вектор определяется своими компонентами, то каждое из полей Е (х, у, 2, t) и В (х, у, z, t) представляет собой три математиче­ские функции от х, у, z и t.

Именно потому, что Е (или В) может быть определено для каждой точки пространства, его и называют «полем». Поле — это любая физическая величина, которая в разных точках про­странства принимает различные значения. Скажем, темпера­тура — это поле (в этом случае скалярное), которое можно записать в виде Т (х, у, z). Кроме того, температура может ме­няться и во времени, тогда мы скажем, что температурное поле зависит от времени, и напишем Т (х, у, z, t). Другим примером поля может служить «поле скоростей» текущей жидкости. Мы записываем скорость жидкости в любой точке пространства в момент t в виде v (х, у, z, t). Поле это векторное.

Вернемся к электромагнитным полям. Хотя формулы, по которым они создаются зарядами, и сложны, у них есть следую­щее важное свойство: связь между значениями полей в некото­рой точке и значениями их в соседней точке очень проста. Нескольких таких соотношений (в форме дифференциальных уравнений) достаточно, чтобы полностью описать поля. Именно в такой форме законы электродинамики и выглядят особенно просто.







Фиг. 1.2. Векторное поле, пред­ставленное линиями, касательны­ми к направлению векторного поля в каждой точке.

Плотность линий указывает величину вектора поля.

Немало изобретательности было потрачено на то, чтобы помочь людям мысленно представить поведение полей. И самая правильная точка зрения — это самая отвлеченная: надо про­сто рассматривать поля как математические функции коорди­нат и времени. Можно также попытаться получить мысленную картину поля, начертив во многих точках пространства по век­тору так, чтобы каждый из них показывал напряженность и направление поля в этой точке. Такое представление приво­дится на фиг. 1.1. Можно пойти и дальше: начертить линии, которые в любой точке будут касательными к этим векторам. Они как бы следуют за стрелками я сохраняют направление поля. Если это сделать, то сведения о длинах векторов будут утеряны, но их можно сохранить, если в тех местах, где напря­женность поля мала, провести линии пореже, а где велика — погуще. Договоримся, что число линий на единицу площади, расположенной поперек линий, будет пропорционально на­пряженности поля. Это, конечно, всего лишь приближение; иногда нам придется добавлять новые линии, чтобы их коли­чество отвечало напряженности поля. Поле, изображенное на фиг. 1.1, представлено линиями поля на фиг. 1.2.

§ 3. Характеристики векторных полей

Векторные поля обладают двумя математически важными свойствами, которыми мы будем пользоваться при описании законов электричества с полевой точки зрения. Представим себе замкнутую поверхность и зададим вопрос, вытекает ли из нее «нечто», т. е. обладает ли поле свойством «истечения»? Скажем, для поля скоростей мы можем поинтересоваться, всегда ли скорость направлена от поверхности, или, в более общем слу­чае, вытекает ли из поверхности больше жидкости (в единицу времени), нежели втекает.







Фиг. 1.3. Поток векторного поля через поверхность, определяе­мый как произведение среднего зна­чения перпендикулярной состав­ляющей вектора на площадь этой поверхности.

Общее количество жидкости, выте­кающее через поверхность, мы назовем «потоком скорости» через поверхность за единицу времени. Поток через элемент поверхности равен составляющей скорости, перпендикулярной к элементу, умноженной на его площадь. Для произвольной замкнутой поверхности суммар­ный поток равен среднему зна­чению нормальной компоненты скорости (отсчитываемой нару­жу), умноженному на площадь поверхности:

Поток = (Средняя нормальная ком­понента)·(Площадь поверхности).

(1.4)

В случае электрического поля можно математически определить понятие, сходное с истоком жидкости; мы тоже







Фиг. 1.4. Поле скоростей в жид­кости (а).

Представьте себе трубку постоянного се­чения, уложенную вдоль произвольной замкнутой кривой (б). Если жидкость внезапно заморозить повсюду, кроме трубки, то жидкость в трубке начнет циркулировать (в).







Фиг. 1.5. Циркуляция векторного поля, равная произведению

средней касательной составляющей вектора (с учетом ее знака

по отношению к направлению обхода) на длину контура.

называем его потоком, но, конечно, это уже не течение какой-то жидкости, потому что электрическое поле нельзя считать ско­ростью чего-то. Оказывается все же, что математическая вели­чина, определяемая как средняя нормальная компонента поля, по-прежнему имеет полезное значение. Тогда мы говорим о потоке электричества, также определяемом уравнением (1.4). Наконец, полезно говорить и о потоке не только сквозь замкну­тую, но и сквозь любую ограниченную поверхность. Как и прежде, поток сквозь такую поверхность определяется как средняя нормальная компонента вектора, умноженная на пло­щадь поверхности. Эти представления иллюстрируются фиг. 1.3. Другое свойство векторных полей касается не столько по­верхностей, сколько линий. Представим опять поле скоростей, описывающее поток жидкости. Можно задать интересный вопрос: циркулирует ли жидкость? Это значит: существует ли вращательное ее движение вдоль некоторого замкнутого кон­тура (петли)? Вообразите себе, что мы мгновенно заморозили жидкость повсюду, за исключением внутренней части замкну­той в виде петли трубки постоянного сечения (фиг. 1.4). Снаружи трубки жидкость остановится, но внутри она может продолжать двигаться, если в ней (в жидкости) сохранился импульс, т. е. если импульс, который гонит ее в одном направлении, больше импульса в обратном. Мы определяем величину, называемую циркуляцией, как скорость жидкости в трубке, умноженную на длину трубки. Опять-таки мы можем расширить наши пред­ставления и определить «циркуляцию» для любого векторного поля (даже если там нет ничего движущегося). У всякого век­торного поля циркуляция по любому воображаемому замкнутому контуру определяется как средняя касательная компонента вектора (с учетом направления обхода), умноженная на про­тяженность контура (фиг. 1.5):

Циркуляция = (Средняя касательная компонента)·(Длина пути обхода). (1.5)

Вы видите, что это определение действительно дает число, про­порциональное циркуляции скорости в трубке, просверленной в быстрозамороженной жидкости.

Пользуясь только этими двумя понятиями — понятием о потоке и понятием о циркуляции,— мы способны описать все законы электричества и магнетизма. Вам, быть может, трудно будет отчетливо понять значение законов, но они дадут вам некоторое представление о том, каким способом в конечном счете может быть описана физика электромагнитных явлений.

§ 4. Законы электромагнетизма

Первый закон электромагнетизма описывает поток электри­ческого поля:







где e₀ — некоторая постоянная (читается эпсилон-нуль). Если внутри поверхности нет зарядов, а вне ее (даже совсем рядом) есть, то все равно средняя нормальная компонента Е равна нулю, так что никакого потока через поверхность нет. Чтобы показать пользу от такого типа утверждений, мы дока­жем, что уравнение (1.6) совпадает с законом Кулона, если только учесть, что поле отдельного заряда обязано быть сфери­чески симметричным. Проведем вокруг точечного заряда сферу. Тогда средняя нормальная компонента в точности равна значе­нию Е в любой точке, потому что поле должно быть направлено по радиусу и иметь одну и ту же величину во всех точках сферы. Тогда наше правило утверждает, что поле на поверхности сферы, умноженное на площадь сферы (т. е. вытекающий из сферы поток), пропорционально заряду внутри нее. Если увеличивать радиус сферы, то ее площадь растет, как квадрат радиуса. Произведение средней нормальной компоненты электрического поля на эту площадь должно по-прежнему быть равно внутрен­нему заряду, значит, поле должно убывать, как квадрат рас­стояния; так получается поле «обратных квадратов».





Если взять в пространстве произвольную кривую и измерить циркуляцию электрического поля вдоль этой кривой, то ока­жется, что она в общем случае не равна нулю (хотя в кулоновом поле это так). Вместо этого для электричества справедлив вто­рой закон, утверждающий, что





И, наконец, формулировка законов электромагнитного поля будет закончена, если написать два соответствующих уравнения для магнитного поля В:

(1.8)



А для поверхности S, ограниченной кривой С:



Появившаяся в уравнении (1.9) постоянная с² — это квадрат скорости света. Ее появление оправдано тем, что магнетизм по существу есть релятивистское проявление электричества. А константа e_о поставлена для того, чтобы возникли привычные единицы силы электрического тока.

Уравнения (1.6) — (1.9), а также уравнение (1.1) — это все законы электродинамики.

Как вы помните, законы Нью­тона написать было очень просто, но из них зато вытекало мно­жество сложных следствий, так что понадобилось немало времени, чтобы изучить их все. Законы электромагнетизма написать несравненно трудней, и мы должны ожидать, что следствия из них будут намного более запутаны, и теперь нам придется очень долго в них разбираться.

Мы можем проиллюстрировать некоторые законы электро­динамики серией несложных опытов, которые смогут нам пока­зать хотя бы качественно взаимоотношения электрического и магнитного полей. С первым членом в уравнении (1.1) вы зна­комитесь, расчесывая себе волосы, так что о нем мы говорить не будем. Второй член в уравнении (1.1) можно продемонстриро­вать, пропустив ток по проволоке, висящей над магнитным бруском, как показано на фиг. 1.6. При включении тока про­волока сдвигается из-за того, что на нее действует сила F=qvXB. Когда по проводу идет ток, заряды внутри него движутся, т. е. имеют скорость v, и на них действует магнит­ное поле магнита, в результате чего провод отходит в сторону.

Когда провод сдвигается влево, можно ожидать, что сам магнит испытает толчок вправо. (Иначе все это устройство можно было бы водрузить на платформу и получить реактивную систему, в которой импульс не сохранялся бы!) Хотя сила чересчур мала, чтобы можно было заметить движение магнитной палочки, однако движение более чувствительного устройства, скажем стрелки компаса, вполне заметно.

Каким же образом ток в проводе толкает магнит? Ток, теку­щий по проводу, создает вокруг него свое собственное магнит­ное поле, которое и действует на магнит. В соответствии с по­следним членом в уравнении (1.9) ток должен приводить к цир­куляции вектора В; в нашем случае линии поля В замкнуты вокруг провода, как показано на фиг. 1.7. Именно это поле В и ответственно за силу, действующую на магнит.





Фиг. 1.6. Магнитная палочка, создающая возле провода поле В.

Когда по проводу идет ток, провод смещается из-за действия силы F = qvXB.

Уравнение (1.9) сообщает нам, что при данной величине тока, текущего по проводу, циркуляция поля В одинакова для любой кривой, окружающей провод. У тех кривых (окружно­стей, например), которые лежат далеко от провода, длина ока­зывается больше, так что касательная компонента В должна убывать. Вы видите, что следует ожидать линейного убывания В с удалением от длинного прямого провода.





Мы сказали, что ток, текущий по проводу, образует вокруг него магнитное поле и что если имеется магнитное поле, то оно действует с некоторой силой на провод, по которому идет ток.



Фиг. 1.7. Магнитное поле тока, текущего по про­воду, действует на магнит с некоторой силой.







Фиг. 1.8. Два провода, по которым течет ток,

тоже действуют друг на друга с определенной силой.

Значит, следует думать, что если магнитное поле будет создано током, текущим в одном проводе, то оно будет действовать с не­которой силой и на другой провод, по которому тоже идет ток. Это можно показать, применив два свободно подвешенных про­вода (фиг. 1.8). Когда направление токов одинаково, провода притягиваются, а когда направления противоположны — от­талкиваются.

Короче говоря, электрические токи, как и магниты, создают магнитные поля. Но тогда что же такое магнит? Раз магнитные поля создаются движущимися зарядами, то не может ли ока­заться, что магнитное поле, созданное куском железа, на самом деле есть результат действия токов? Видимо, так оно и есть. В наших опытах можно заменить магнитную палочку катушкой с навитой проволокой, как показано на фиг. 1.9. Когда ток проходит по катушке (как и по прямому проводу над нею), наблюдается точно такое же движение проводника, как и преж­де, когда вместо катушки стоял магнит. Все выглядит так, как если бы внутри куска железа непрерывно циркулировал ток. Действительно, свойства магнитов можно понять как непре­рывный ток внутри атомов железа. Сила, действующая на маг­нит на фиг. 1.7, объясняется вторым членом в уравнении (1.1).

Откуда же берутся эти токи? Один источник — это движе­ние электронов по атомным орбитам. У железа это не так, но у некоторых материалов происхождение магнетизма именно таково. Кроме вращения вокруг ядра атома, электрон вращается еще вокруг своей собственной оси (что-то похожее на вращение Земли); вот от этого-то вращения и возникает ток, создающий магнитное поле железа. (Мы сказали «что-то похожее на вра­щение Земли», потому что на самом деле в квантовой механике вопрос столь глубок, что не укладывается достаточно хорошо в классические представления.) В большинстве веществ часть электронов вертится в одну сторону, другая — в другую, так что магнетизм исчезает, а в железе (по таинственной причине, о которой мы поговорим позже) многие электроны вращаются так, что их оси смотрят в одну сторону и это служит источником магнетизма.

Поскольку поля магнитов порождаются токами, то в урав­нения (1.8) и (1.9) нет нужды вставлять добавочные члены, учитывающие существование магнитов. В этих уравнениях речь идет обо всех токах, включая круговые токи от вращающихся электронов, и закон оказывается правильным. Надо еще отме­тить, что, согласно уравнению (1.8), магнитных зарядов, по­добных электрическим зарядам, стоящим в правой части урав­нения (1.6), не существует. Они никогда не были обнаружены.

Первый член в правой части уравнения (1.9) был открыт Максвеллом теоретически; он очень важен. Он говорит, что изменение электрических полей вызывает магнитные явления. На самом деле без этого члена уравнение утеряло бы смысл, ведь без него исчезли бы токи в незамкнутых контурах. А на деле такие токи существуют; об этом говорит следующий при­мер. Представьте конденсатор, составленный из двух плоских пластин.





Фиг. 1.9. Магнитная палочка, показанная на фиг. 1.6,

может быть заменена катушкой, по которой течет

ток.

На провод по-прежнему будет действовать сила.







Фиг. 1.10. Циркуляция поля В по кривой С опре­деляется либо током, текущим сквозь поверх­ность S₁ либо быстро­той изменения потока, поля Е сквозь поверх­ность S₂.

Он заряжается током, притекающим к одной из пла­стин и оттекающим от другой, как показано на фиг. 1.10. Про­ведем вокруг одного из проводов кривую С и натянем на нее поверхность (поверхность S₁, которая пересечет провод. В со­ответствии с уравнением (1.9) циркуляция поля В по кривой С дается величиной тока в проводе (умноженной на с²). Но что будет, если мы натянем на кривую другую поверхность S₂ в форме чашки, донышко которой расположено между пласти­нами конденсатора и не касается провода? Через такую поверх­ность никакой ток, конечно, не проходит. Но ведь простое изме­нение положения и формы воображаемой поверхности не должно изменять реального магнитного поля! Циркуляция поля В должна остаться прежней. И действительно, первый член в пра­вой части уравнения (1.9) так комбинируется со вторым членом, что для обеих поверхностей S₁ и S₂ возникает одинаковый эффект. Для S₂ циркуляция вектора В выражается через сте­пень изменения потока вектора Е от одной пластины к другой. И получается, что изменение Е связано с током как раз так, что уравнение (1.9) оказывается выполненным. Максвелл видел необходимость этого и был первым, кто написал полное урав­нение.

С помощью устройства, изображенного на фиг. 1.6, можно продемонстрировать другой закон электромагнетизма. Отсо­единим концы висящей проволочки от батарейки и присоединим их к гальванометру — прибору, регистрирующему прохожде­ние тока по проводу. Стоит лишь в поле магнита качнуть про­волоку, как по ней сразу пойдет ток. Это новое следствие урав­нения (1.1): электроны в проводе почувствуют действие силы F=qvXB. Скорость их сейчас направлена в сторону, потому что они отклоняются вместе с проволочкой. Это v вместе с вер­тикально направленным полем В магнита приводит к силе, действующей на электроны вдоль провода, и электроны отправ­ляются к гальванометру.

Положим, однако, что мы оставили проволочку в покое и принялись перемещать магнит. Мы чувствуем, что никакой разницы быть не должно, ведь относительное движение то же самое, и впрямь ток по гальванометру идет. Но как же магнит­ное поле действует на покоящиеся заряды? В соответствии с уравнением (1.1) должно возникнуть электрическое поле. Движущийся магнит должен создавать электрическое поле. На вопрос — как это происходит, отвечает количественно уравнение (1.7). Это уравнение описывает множество практи­чески очень важных явлений, происходящих в электрических генераторах и трансформаторах.

Наиболее замечательное следствие наших уравнений — это то, что, сочетая уравнения (1.7) и (1.9), можно понять, отчего электромагнитные явления распространяются на дальние рас­стояния. Причина этого, грубо говоря, примерно такова: пред­положим, что где-то имеется магнитное поле, которое возрас­тает по величине, скажем, оттого, что внезапно пустили ток по проводу. Тогда из уравнения (1.7) следует, что должна воз­никнуть циркуляция электрического поля. Когда электриче­ское поле начинает постепенно возрастать для возникновения циркуляции, тогда, согласно уравнению (1.9), должна возни­кать и магнитная циркуляция. Но возрастание этого магнит­ного поля создаст новую циркуляцию электрического поля и т. д. Таким способом поля распространяются сквозь простран­ство, не нуждаясь ни в зарядах, ни в токах нигде, кроме источ­ника полей. Именно таким способом мы видим друг друга! Все это спрятано в уравнениях электромагнитного поля.

§ 5. Что это такое — «поля»?

Сделаем теперь несколько замечаний о принятом нами спо­собе рассмотрения этого вопроса. Вы можете сказать: «Все эти потоки и циркуляции чересчур абстрактны. Пусть в каждой точке пространства есть электрическое поле, кроме того, имеют­ся эти самые „законы\". Но что же там на самом деле происходит? Почему вы не можете объяснять все это, скажем, тем, что что-то, что бы это ни было, протекает между зарядами?» Все зависит от ваших предрассудков. Многие физики часто говорят, что пря­мое действие сквозь пустоту, сквозь ничто, немыслимо. (Как они могут называть идею немыслимой, если она уже вымыш­лена?) Они говорят: «Посмотрите, ведь единственные силы, которые нам известны,— это прямое действие одной части ве­щества на другую. Невозможно, чтобы существовала сила без чего-то, передающего ее». Но что в действительности происхо­дит, когда мы изучаем «прямое действие» одного куска вещества на другой? Мы обнаруживаем, что первый из них вовсе не «упирается» во второй; они слегка отстоят друг от друга, и между ними существуют электрические силы, действующие в малом масштабе. Иначе говоря, мы обнаруживаем, что собрались объяснить так называемое «действие посредством прямого кон­такта» — при помощи картины электрических сил. Конечно, неразумно пытаться стоять на том, что электрическая сила должна выглядеть так же, как старый привычный мышечный тяни-толкай, если все равно оказывается, что все наши по­пытки тянуть или толкать приводят к электрическим силам! Единственно разумная постановка вопроса — спросить, какой путь рассмотрения электрических эффектов наиболее удобен. Одни предпочитают представлять их как взаимодействие заря­дов на расстоянии и пользоваться сложным законом. Другим по душе силовые линии. Они их все время чертят, и им кажется, что писать разные Е и В слишком абстрактно. Но линии поля — это всего лишь грубый способ описания поля, и очень трудно сформулировать строгие, количественные законы не­посредственно в терминах линий поля. К тому же понятие о линиях поля не содержит глубочайшего из принципов элек­тродинамики — принципа суперпозиции. Даже если мы знаем, как выглядят силовые линии одной совокупности зарядов, затем другой совокупности, мы все равно не получим никакого представления о картине силовых линий, когда обе совокуп­ности зарядов действуют вместе. А с математических позиций наложение проделать легко, надо просто сложить два вектора. У силовых линий есть свои достоинства, они дают наглядную картину, но есть у них и свои недостатки. Способ рассуждений, основанный на понятии о непосредственном взаимодействии (близкодействии), тоже обладает большими преимуществами, пока речь идет о покоящихся электрических зарядах, но обла­дает и большими недостатками, если иметь дело с быстрым дви­жением зарядов.

Лучше всего пользоваться абстрактным представлением о поле. Жаль, конечно, что оно абстрактно, но ничего не поде­лаешь. Попытки представить электрическое поле как движение каких-то зубчатых колесиков или с помощью силовых линий или как напряжения в каких-то материалах потребовали от физиков больше усилий, чем понадобилось бы для того, чтобы просто получить правильные ответы на задачи электродина­мики. Интересно, что правильные уравнения поведения света в кристаллах были выведены Мак-Куллохом еще в 1843 г. Но все ему говорили: «Позвольте, ведь нет же ни одного реального материала, механические свойства которого могли бы удовлет­ворить этим уравнениям, а поскольку свет — это колебания, которые должны происходить в чем-то, постольку мы не можем поверить этим абстрактным уравнениям». Если бы у его совре­менников не было этой предвзятости, они бы поверили в пра­вильные уравнения поведения света в кристаллах намного раньше того, чем это на самом деле случилось.

А что касается магнитных полей, то можно высказать следующее замечание. Предположим, что вам, в конце концов, удалось нарисовать картину магнитного поля при помощи каких-то линий или каких-то шестеренок, катящихся сквозь простран­ство. Тогда вы попытаетесь объяснить, что происходит с двумя зарядами, движущимися в пространстве параллельно друг другу и с одинаковыми скоростями. Раз они движутся, то они ведут себя как два тока и обладают связанным с ними магнитным по­лем (как токи в проводах на фиг. 1.8). Но наблюдатель, который мчится вровень с этими двумя зарядами, будет считать их неподвижными и скажет, что никакого магнитного поля там нет. И «шестеренки», и «линии» пропадают, когда вы мчитесь рядом с предметом! Все, чего вы добились,— это изобрели новую проблему. Куда могли деваться эти шестерни?! Если вы чертили силовые линии — у вас появится та же забота. Не только нельзя определить, движутся ли эти линии вместе с за­рядами или не движутся, но и вообще они могут полностью исчезнуть в какой-то системе координат.

Мы бы еще хотели подчеркнуть, что явление магнетизма — это на самом деле чисто релятивистский эффект. В только что рассмотренном случае двух зарядов, движущихся параллельно друг другу, можно было бы ожидать, что понадобится сделать релятивистские поправки к их движению порядка v²/c². Эти поправки должны отвечать магнитной силе. Но как быть с силой взаимодействия двух проводников в нашем опыте (фиг. 1.8)? Ведь там магнитная сила — это вся действующая сила. Она не очень-то смахивает на «релятивистскую поправку». Кроме того, если оценить скорости электронов в проводе (вы сами можете это проделать), то вы получите, что их средняя скорость вдоль провода составляет около 0,01 см/сек. Итак, v²/с² равно при­мерно 10^-25. Вполне пренебрежимая «поправка». Но нет! Хоть в этом случае магнитная сила и составляет 10^-25 от «нормаль­ной» электрической силы, действующей между движущимися электронами, вспомните, что «нормальные» электрические силы исчезли в результате почти идеального баланса из-за того, что количества протонов и электронов в проводах одинаковы. Этот баланс намного более точен, чем 1/10²⁵, и тот малый реля­тивистский член, который мы называем магнитной силой,— это единственный остающийся член. Он становится преобладаю­щим.

Почти полное взаимное уничтожение электрических эффек­тов и позволило физикам изучить релятивистские эффекты (т. е. магнетизм) и открыть правильные уравнения (с точно­стью до v²/с²), даже не зная, что в них происходит. И по этой-то причине после открытия принципа относительности законы электромагнетизма не пришлось менять. В отличие от механи­ки они уже были правильны с точностью до v²/с².

§ 6. Электромагнетизм в науке и технике

В заключение мне хочется закончить эту главу следующим рассказом. Среди многих явлений, изучавшихся древними грека­ми, были два очень странных. Первое: натертый кусочек янта­ря мог поднять маленькие клочки папируса, и второе: близ го­рода Магнезия были удивительные камни, которые притягивали железо. Странно думать, что это были единственные известные грекам явления, в которых проявлялись электричество и магне­тизм. А почему только это и было им известно, объясняется прежде всего сказочной точностью, с которой сбалансированы в телах заряды (о чем мы уже упоминали). Ученые, жившие в позднейшие времена, раскрыли одно за другим новые явления, в которых выражались некоторые стороны тех же эффектов, связанных с янтарем и с магнитным камнем. Сейчас нам ясно, что и явления химического взаимодействия и, в конечном счете, саму жизнь нужно объяснять с помощью понятий элек­тромагнетизма.

И по мере того как развивалось понимание предмета элек­тромагнетизма, появлялись такие технические возможности, о которых древние не могли даже мечтать: стало возможным посылать сигналы по телеграфу на большие расстояния, бесе­довать с человеком, который находится за много километров от вас, без помощи какой-либо линии связи, включать огромные энергетические системы — большие водяные турбины, соеди­ненные многосоткилометровыми линиями проводов с другой машиной, которую пускает в ход один рабочий простым поворо­том колеса; многие тысячи разветвляющихся проводов и десятки тысяч машин в тысячах мест приводят в движение различные механизмы на фабриках и в квартирах. Все это вращается, двигается, работает благодаря нашему знанию законов электро­магнетизма.

Сегодня мы используем и еще более тонкие эффекты. Гигант­ские электрические силы можно сделать очень точными, их можно контролировать и использовать на всякий лад. Наши приборы так чувствительны, что мы способны узнать, что сей­час делает человек только по тому, как он воздействует на электроны, заключенные в тонком металлическом прутике за сотни километров от него. Для этого только нужно приспосо­бить этот прутик в качестве телевизионной антенны!

В истории человечества (если посмотреть на нее, скажем, через десять тысяч лет) самым значительным событием XIX столетия, несомненно, будет открытие Максвеллом законов электроди­намики. На фоне этого важного научного открытия граждан­ская война в Америке в том же десятилетии будет выглядеть мелким провинциальным происшествием.

* Нужно только договориться о выборе знака циркуляции.



Глава 2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ

§1, Понимание физики

§2.Скалярные и векторные поля — Т и h

§3. Производные нолей —градиент

§4.0ператор ▽

§5.Оверации с ▽

§6. Дифференциальное уравнение потока тепла

§7.Вторые производные векторных полей

§8.Подвохи

Повторить гл.1 (вып. 1) «Векторы»

§ 1. Понимание физики

Физик должен обладать умением подходить к задаче с разных точек зрения. Точный анализ реальных физических проблем обычно крайне сложен, и любое конкретное физическое явле­ние может оказаться слишком запутанным и не поддающимся анализу путем решения дифферен­циальных уравнений. Но можно все же полу­чить хорошее представление о поведении си­стемы, выработав в себе особую способность чувствовать характер решения в различных обстоятельствах. Этой цели хорошо служат представления о линиях поля, о емкостном, индуктивном и активном сопротивлениях. Мы потратим достаточно много времени на их изу­чение. Это поможет нам приобрести способ­ность ощущать, что происходит в тех или иных электромагнитных явлениях. С другой сторо­ны, ни одна из вспомогательных, эвристиче­ских моделей (например, картина силовых линий) на самом деле не может вместить в себя адекватно и точно все события. Имеется лишь один точный способ представления законов — способ дифференциальных уравнений. Урав­нения обладают тем преимуществом, что, во-первых, они фундаментальны, а

во-вторых (насколько нам известно), точны. Если вы их выучили, вы всегда можете к ним вернуться. В них нет ничего, что следовало бы потом за­быть.

Чтобы начать понимать, что должно про­изойти в тех или иных условиях, вам понадо­бится какое-то время. Вам придется порешать уравнения, и всякий раз, когда вы решите их, вы тем самым узнаете что-то новое о характере решений. Чтобы запомнить эти решения, полезно также сформулировать их смысл на языке линий поля и иных подобных понятий. Таков путь, на котором приходит истинное «понимание» уравнений. В этом и заключается раз­ница между физикой и математикой. Математики или люди с математическим складом ума часто при «изучении» физики теряют физику из виду и впадают в заблуждение. Они говорят: «Послушайте, эти дифференциальные уравнения — уравнения Максвелла — ведь это все, что есть в электродинамике; ведь сами физики признают, что нет ничего, что бы не содержалось в этих уравнениях. Уравнения эти сложны; ладно, но это всего лишь математические уравнения, и если я разберусь в них ма­тематически, я разберусь и в физике». Но ничего из этого не выходит. Математики, которые подходят к физике с этой точки зрения (а таких очень много), обычно не делают большого вкла­да в физику, да, кстати, и в математику. Их постигает неудача оттого, что настоящие физические ситуации реального мира так запутаны, что нужно обладать гораздо более широким понима­нием уравнений.

Дирак объяснил, что значит действительно понять уравне­ние — понять, не ограничиваясь его строгим математическим смыслом. Он сказал: «Я считаю, что понял смысл уравнения, если в состоянии представить себе общий вид его решения, не решая его непосредственно». Значит, если у нас есть способ узнать, что случится в данных условиях, не решая уравнения непосредственно, мы «понимаем» уравнения в применении к этим условиям. Физическое понимание — это нечто неточное, неопределенное и абсолютно нематематическое, но для физика оно совершенно необходимо.

Обычно курс физики подобного рода строится так, что физи­ческие представления развиваются постепенно: начиная с са­мых простейших явлений, переходят ко все более и более слож­ным. Кое-что из изученного при этом неминуемо забывается (то, что верно лишь в определенных условиях, а не всегда). К примеру, «закон» обратных квадратов для электрической силы верен не всегда. Нам больше по душе обратный подход. Луч­ше начать с полных, самых общих законов, а затем повер­нуть вспять и применять их к простым задачам, развивая фи­зические представления по мере продвижения вперед. Так мы и собираемся сделать.





Наш подход совершенно противоположен подходу истори­ческому, когда изложение слепо следует за экспериментами, в которых впервые была получена нужная информация. Но ведь физику развивают множество очень умных людей уже свыше 200 лет, а у нас времени мало и нам нужно овладеть зна­ниями побыстрее. Поэтому мы не можем охватить все, что они сделали. Так что в этих лекциях мы будем вынуждены прене­бречь историей предмета и не будем рассказывать об опытах. Мы надеемся, что вы восполните пропущенное на лабораторных занятиях; и, конечно, очень полезно почитать статьи и книги по истории физики.



§ 2. Скалярные и векторные поля — Т и h

Мы начинаем сейчас рассмотрение абстрактного, математи­ческого подхода к теории электричества и магнетизма. Наша цель — объяснить смысл законов, написанных в гл. 1. Но для этого надо сперва объяснить новые особенные обозначения, которые мы хотим использовать. Давайте поэтому на время позабудем электромагнетизм и разберемся в математике век­торных полей. Она очень важна не только в электромагнетизме, но и во многих физических обстоятельствах, подобно тому как обычное дифференциальное и интегральное исчисление важно во всех областях физики. Мы переходим к дифференциальному исчислению векторов.

Ниже перечислены некоторые сведения из алгебры векторов. Считается, что вы с ними уже знакомы









Мы будем также пользоваться следующими двумя равенствами:





Фиг. 2.1. Температура Т — пример скалярного поля. С каждой точкой (х, у, z) в прост­ранстве связывается число Т(х, у, z). Все точки на поверхности с помет­кой Т=20° (изображенной в виде кривой при z=0) имеют одну и ту же температуру. Стрелки — это примеры вектора потока тепла h.

Уравнение (2.7) справедливо, конечно, только при Dx; Dy и Dz®0.

Простейшее из физических полей — скалярное. Полем, как вы помните, называется величина, зависящая от положения в пространстве. Скалярное поле — это просто такое поле, кото­рое в каждой точке характеризуется одним-единственным чис­лом — скаляром. Это число, конечно, может меняться во вре­мени, но пока мы на это не будем обращать внимания. (Речь будет идти о том, как поле выглядит в данное мгновение.) В ка­честве примера скалярного поля рассмотрим брусок из какого-то материала. В одних местах брусок нагрет, в других — осту­жен, так что его температура меняется ют точки к точке каким-то сложным образом. Температура тогда будет функцией х, у и z — положения в пространстве, измеренного в прямоугольной си­стеме координат. Температура — это скалярное поле.

Один способ представить себе скалярное поле — это вообра­зить «контуры»,

т. е. мысленные поверхности, проведенные через точки с одинаковыми значениями поля, подобно гори­зонталям на картах, соединяющим точки на одной высоте над уровнем моря. Для температурного поля контуры носят назва­ние «изотермические поверхности», или изотермы. На фиг. 2.1 показано температурное поле и зависимость Т от х и у при z=0. Проведено несколько изотерм.





Поля бывают также векторными. Идея их очень проста. В каждой точке пространства задается вектор. Он меняется от точки к точке. Рассмотрим в виде примера вращающееся тело. Скорость материала тела во всякой точке — это вектор, кото­рый является функцией ее положения (фиг. 2.2). Другой при­мер — поток тепла в бруске из некоторого материала. Если в одной части бруска температура выше, а в другой — ниже, то от горячей части к холодной будет идти поток тепла. Тепло в разных частях бруска будет растекаться в различных направ­лениях. Поток тепла — это величина, имеющая направление;

Фиг. 2.2. Скорости атомов во вращающемся теле — пример век­торного поля.

обозначим ее h; длина этого вектора пусть измеряет количество протекающего тепла. Векторы потока тепла также изображены на фиг. 2.1.





Определим теперь h более точно. Длина вектора потока тепла в данной точке — это количество тепловой энергии, про­ходящее за единицу времени и в пересчете на единицу площади сквозь бесконечно малый элемент поверхности, перпендикуляр­ный к направлению потока. Вектор указывает направление потока (фиг. 2.3). В буквенных обозначениях: если DJ — теп­ловая энергия, протекающая за единицу времени сквозь эле­мент поверхности Dа, то

(2.9)



где е_f — единичный вектор направления потока Вектор h можно определить и иначе — через его компонен­ты. Зададим себе вопрос, сколько тепла протекает через малую поверхность под произвольным углом к направлению потока. На фиг. 2.4 мы изобразили малую поверхность Аa₂ под некото­рым углом к поверхности Da_t, которая перпендикулярна к по­току. Единичный вектор n перпендикулярен к поверхности

Фиг. 2.3. Тепловой поток — векторное поле. Вектор h указывает направление потока. Абсолютная величина его выражает энергию, переносимую за единицу времени через элемент по­верхности, ориентированный попе­рек потока, деленную на площадь элемента поверхности.







Фиг. 2.4. Тепловые потоки сквозь Aа₂ и сквозь Aa₁ одинаковы.





Aа₂. Угол q между n и h равен углу между поверхностями (так как h — нормаль к Da₁). Чему теперь равен поток тепла че­рез Dа₂ на единицу площади? Потоки сквозь Dа₂ и Dа₁ равны между собой, отличаются только площади. Действительно, Dа₁ = Dа₂cosq. Поток тепла через Dа₂ равен

(2.10)

Поясним это уравнение: поток тепла (в единицу времени и на единицу площади) через произвольный элемент поверхности с единичной нормалью n равен h·n. Можно еще сказать так: компонента потока тепла, перпендикулярная к элементу по­верхности Dа₂, равна h·n. Можно, если мы хотим, считать эти утверждения определением h. Сходные идеи мы применим и к другим векторным полям.

§ 3. Производные полей — градиент

Когда поля меняются со временем, то их изменение можно описать, задав их производные по t. Мы хотим также описать и их изменение в пространстве, потому что мы интересуемся связью, скажем, между температурой в некоторой точке и в точке с ней рядом. Как же задать производную температуры по координате? Дифференцировать температуру по х? Или по у, или по z?

Осмысленные физические законы не зависят от ориентации системы координат. Поэтому их нужно писать так, чтобы по обе стороны знака равенства стояли скаляры или векторы. Что же такое производная скалярного поля, скажем, дТ/дх? Скаляр ли это, или вектор, или еще что? Это, как легко понять, ни то ни другое, потому что если взять другую ось х, то дТ/дх изменится. Но заметьте: у нас есть три возможных производ­ных: дТ/дх, дТ/ду и dT/dz. Три сорта производных, а ведь мы знаем, что нужно как раз три числа, чтобы образовать вектор.





Может быть, эти три производные и представляют собой ком­поненты вектора:

(2.11)

Ясно, конечно, что, вообще говоря, не из любых трех чисел можно составить вектор. О векторе можно говорить только тогда, когда при повороте системы координат компоненты пре­образуются по правильному закону. Так что следует просле­дить, как меняются эти производные при повороте системы координат. Мы покажем, что (2.11) — действительно вектор. Производные действительно преобразуются при вращении си­стемы координат так, как полагается.





В этом можно убедиться по-разному. Можно, например, задать себе вопрос, ответ на который не должен зависеть от системы координат, и попытаться выразить ответ в «инвариант­ной» форме. К примеру, если S=A·B и если А и В — векторы, то мы знаем (это доказано в вып. 1, гл. 11), что S — скаляр. Мы знаем, что S — скаляр, не проверяя, меняется ли он при изменении системы координат. Ему ничего иного не остается, раз он является скалярным произведением двух векторов. По­добным же образом, если мы знаем, что А — вектор, и у нас есть три числа B₁, B₂, В₃, и мы обнаруживаем, что

(2.12)

(где S в любой системе координат одно и то же), то три числа b₁, B₂, В₃ обязаны быть компонентами В_х, В_у, В_z некоторого вектора В.

Рассмотрим теперь температурное поле. Возьмем две точки P₁ и Р₂, разделенные маленьким расстоянием DR. Температура в Р₁ есть T₁, а в Р₂ она равна T₂ , и их разница DТ=Т₂-Т_{1 .}Температура в этих реальных физических точках, конечно, не зависит от того, какие оси мы выбрали для измерения коорди­нат. В частности, DT — тоже число, не зависящее от системы координат. Это скаляр.

Выбрав удобную систему координат, мы можем написать

Т₁ = Т(х, у, z) и Т₂=Т(х + Dх, у + Dу, z + Dz),

где Dx:, Dy, Dz — компоненты вектора DR (фиг. 2.5). Вспомнив (2.7), напишем





(2.13)

Слева в (2.13) стоит скаляр, а справа — сумма трех произведе­ний каких-то чисел на Dx;, Dy, Dz, которые являются компонен­тами вектора. Значит,

три числа — тоже х-, у- и z-компоненты вектора.











Фиг. 2.5. Вектор DR с компо­нентами Dх, Dу, Dz.

Мы напишем этот новый вектор при помощи символа СТ. Символ С (называемый набла) — это D вверх ногами; он напоминает нам о дифференцировании. Читают С T по-разному:

«набла T», или «градиент T», или «gradT»:







(2.14)

С этим обозначением (2.13) переписывается в более компакт­ной форме





(2.15)

Или, выражая словами: разница температур в двух близких точках есть скалярное произведение градиента Т на вектор смещения второй точки относительно первой. Форма (2.15) так­же служит иллюстрацией к нашему утверждению, что ДТ — действительно вектор.

Быть может, вы еще не убеждены? Тогда докажем иначе. (Хотя, вглядевшись внимательно, вы увидите, что это на самом деле то же самое доказательство, только подлиннее!) Мы по­кажем, что компоненты ДТ преобразуются абсолютно так же, как я компоненты R, а значит, ДТ — тоже вектор в соответствии с первоначальным определением вектора в вып. 1, гл. 11. Мы выберем новую систему координат х\', у\', z\' и в ней вычис­лим дТ/дх\', дТ/ду\'_: дТ/dz\'. Для простоты положим z=z\', так что о третьей координате мы можем позабыть. (Можете сами заняться проверкой более общего случая.)













Фиг. 2.6. Переход к повернутой системе координат (а) и частный

случай интервала DR, параллель­ного к оси х (б).

Выберем систему х\', у\', повернутую относительно х, y-системы на угол 9 (фиг. 2.6, а). Координаты точки (х, у) в штрихованной системе имеют вид:





(2.16)



(2.17)

или, решая относительно x и y,



(2.18)





(2.19)

Если всякая пара чисел преобразуется так же, как x и y, то она является компонентами вектора.





Рассмотрим теперь разницу в температурах двух сосед­них точек Р₁ и Р₂ (фиг. 2.6, б). В координатах х, у запишем

(2.20)