Мы не можем приготовить систему, в которой положение час­тицы по вертикали было бы известно, и в то же время предска­зывать с определенностью, превышающей h/Dy, насколько ее движение отклонится от вертикали. Неопределенность в вер­тикальном импульсе всегда больше h/Dy, если Dy — неопре­деленность, с какой мы знаем положение частицы.

Некоторые люди утверждают, что в квантовой механике все неправильно. Когда, говорят они, частица приближалась сле­ва, ее вертикальный импульс был равен нулю. А когда она прошла через щель, стало известно ее положение. И то, и дру­гое может быть определено с любой точностью.

Совершенно верно. Мы можем зарегистрировать частицу и определить, каково ее положение и каким должен был быть ее импульс, чтобы она попала туда, куда она попала. Это все верно. Но соотношение неопределенностей (38.3) ничего общего с этим не имеет. Уравнение (38.3) относится к возмож­ности предсказания, а не к замечаниям о том, что произошло в прошлом. Какая польза в том, что мы скажем: «Я знал, каков был импульс до прохода частицы сквозь щель, а теперь узнал к тому же и координату»? Ведь теперь-то знание об импульсе частицы уже утеряно. Раз она прошла сквозь щель, то мы уже не можем больше предсказывать ее вертикальный импульс. Речь идет о теории, способной к предсказаниям, а не об изме­рениях после того, как все завершилось. Мы и обсуждаем воп­рос о том, что можно предвидеть.

Попробуем теперь по-иному подойти к этим вещам. Приведем другой пример того же явления, на этот раз с более подробными количественными оценками. Прежде мы измеряли импульс классическим способом: мы рассматривали направление, скорость, углы, и тому подобное; в этом заключался способ получения импульса путем классического анализа. Но раз импульс связан с волновым числом, то в природе существует и другой, совершенно иной путь измерения импульса частиц (все равно, фотона или любой другой), не имеющий классиче­ского аналога. В нем используется уравнение (38.2) и просто измеряется длина волны. Давайте попробуем таким способом измерить импульс.

Пусть имеется решетка со множеством линий (фиг. 38.3), на которую направлен пучок частиц. Мы неоднократно рассматривали эту задачу: когда у частиц есть определенный импульс, то вследствие интерференции в некотором направле­нии возникает очень резкий максимум. Мы также говорили о том, насколько точно можно определить этот импульс, т. е. какова разрешающая сила решетки. Мы не будем заново это все выводить, а сошлемся на гл. 30; там мы выяснили, что относительная неопределенность в длине волны, связанная с данной решеткой, равна 1/Nm, где N — количество линий решетки, а т — порядок дифракционного максимума. Иначе говоря,



(38.4)





Перепишем эту формулу в виде

(38.5)

где расстояние L показано на фиг. 38.3. Это — разность двух расстояний: расстояния, которое должна пройти волна (или частица), отразившись от нижней части решетки, и расстояния, которое нужно пройти, отразившись от верха решетки.

Другими словами, волны, образующие дифракционный мак­симум,— это волны, приходящие от разных частей решетки. Первыми прибывают волны, вышедшие снизу — это начало цуга волн, а потом следуют дальнейшие части цуга, от средних частей решетки, пока не придут волны от верха: точка цуга, уда­ленная от его начала на расстояние L. Значит, чтобы получить в спектре резкую линию, отвечающую определенному импуль­су [с неопределенностью, даваемой формулой (38.4)], для это­го нужен цуг волн длиной L. Если цуг чересчур короток (ко­роче L), то не вся решетка будет действовать. Волны, образую­щие спектр, будут отражаться при этом только от небольшого куска решетки, и решетка не будет хорошо работать — полу­чится сильное размытие по углу. Чтобы его сузить, надо исполь­зовать всю ширину решетки так, чтобы хотя бы на одно мгнове­ние весь цуг волн улегся одновременно на решетке и рассеялся ото всех ее частей. Потому-то длина цуга должна быть равна L; тогда только неопределенность в длине волны окажется меньше, чем указано формулой (38.5). Заметим, что



(38.6)

поэтому



(38.7)

где L — длина цуга волн.

Это означает, что когда цуг волн короче L, то неопределен­ность в волновом числе превосходит 2p/L. Иначе говоря, не­определенность в волновом числе, умноженная на длину вол­нового цуга (назовем ее на минутку Dx), больше 2p. Мы назвали ее Dx потому, что это как раз неопределенность в по­ложении частицы. Если цуг волн тянется только на конечном промежутке, то лишь там мы и можем обнаружить частицу с неопределенностью Dx;. Это свойство волн (тот факт, что про­изведение длины цуга волн на неопределенность в волновом числе, связанном с этим цугом, не меньше 2p) опять-таки хо­рошо знакомо всем, кто занимался волнами. И никакого отно­шения к волновой механике оно не имеет. Просто нельзя очень точно подсчитать число волн в конечной их веренице.

Объяснить это можно и по-другому. Пусть длина цуга волн L. Так как на концах цуга волны спадают (как на фиг. 38.1), то количество волн на длине L известно с точностью порядка ± 1. Но число волн на длине L равно kL/2p. Значит, неопределенность в k равна 2p/L . Опять получилась формула (38.7) как простое свойство всяких волн. Это остается верным всегда: и для волн в пространстве, когда k есть количество радиан на 1 см, a L — длина цуга, и для волн во времени, когда w есть число колебаний в 1 сек, а Т — «длина» во времени того же цуга. Иначе говоря, если цуг волн длится только конечное вре­мя Т, то неопределенность в частоте дается формулой



(38.8)

Мы все время старались подчеркнуть, что это свойство самих волн, что все это хорошо известно, например в теории звука. А квантовомеханические применения этих свойств опи­раются на толкование волнового числа как меры импульса час­тицы по правилу р=hk, так что (38.7) уже утверждает, что Dр»h/Dx. Это устанавливает предел классическому представ­лению об импульсе. (Естественно, оно и должно быть как-то подвергнуто ограничению, если мы собираемся изображать частицы как волны!) И очень хорошо, что мы нашли правило, которое каким-то образом берется указать, где нарушаются классические представления.

§ 3. Дифракция на кристалле

Теперь рассмотрим отражение волн вещества от кристалла. Кристалл — это твердое тело, состоящее из множества одина­ковых атомов, расположенных стройными рядами. Как можно расположить этот строй атомов, чтобы, отражая в данном на­правлении данный пучок света (рентгеновских лучей), электро­нов, нейтронов, чего угодно, получить сильный максимум? Чтобы испытать сильное отражение, лучи, рассеянные от всех атомов, должны быть в фазе друг с другом. Не может быть так, чтобы точно половина волн была в фазе, а половина — в противофазе, тогда все волны исчезнут. Нужно, стало быть, найти поверхности постоянной фазы; это, как мы уже объясняли раньше, плоскости, образующие равный угол с начальным и конечным направлениями (фиг. 38.4).

Если мы рассмотрим две параллельные плоскости, как по­казано на фиг. 38.4, то волны, рассеянные на них, окажутся в фазе только тогда, когда разность расстояний, пройденных фронтом волны, будет равна целому числу длин волн. Эта раз­ность, как легко видеть, равна 2dsinq, где d — расстояние между плоскостями. Итак, условие когерентного отражения имеет вид



(n=1, 2, ...). (38.9)

Если, скажем, кристалл таков, что атомы в нем укладывают­ся на плоскостях, удовлетворяющих условию (38.9) с n=1, то будет наблюдаться сильное отражение. Если, с другой сто­роны, существуют другие атомы той же природы (и располо­женные с той же плотностью) как раз посередине между слоя­ми, то на этих промежуточных плоскостях произойдет рассея­ние равной силы; оно интерферирует с первым и погасит его. Поэтому d в выражении (38.9) должно означать расстояние между примыкающими плоскостями; нельзя взять две плоскости, разделенные пятью слоями, и применить к ним эту формулу!



Фиг. 38.4. Рассеяние волн плоскостями кристалла.



Фиг. 38.5. Дифракция рентге­новских лучей на кристаллах каменной соли.



Интересно, что настоящие кристаллы обычно не столь прос­ты,— это не одинаковые атомы, повторяющиеся по определен­ному закону. Они скорее похожи, если прибегнуть к двумер­ной аналогии, на обои, на которых повторяется один и тот же сложный узор. Для атомов «узор» — это некоторая их расста­новка, куда может входить довольно большое число атомов; скажем, для углекислого кальция — атомов кальция, углеро­да и трех атомов кислорода. Важно не то, каков рисунок, а то, что он повторяется.

Этот основной рисунок называется ячейкой, а способ пов­торения определяет тип решетки; тип решетки можно сразу определить, взглянув на отражения и рассмотрев их симметрию. Другими словами, от типа решетки зависит, где не будет отра­жения (лучей от кристалла), но чтобы узнать, что стоит в каж­дой ячейке, надо учесть и интенсивность рассеяния по тем или иным направлениям. Направления рассеяния зависят от типа ре­шетки, а сила рассеяния определяется тем, что находится внутри каждой ячейки; этим способом и было изучено строение крис­таллов.

Две фотографии дифракции рентгеновских лучей даны на фиг. 38.5 и 38.6.

Занятная вещь получается с рассеянием, когда промежутки между ближайшими плоскостями меньше l/2. В этом случае уравнение (38.9) вообще не имеет решений ни для одного п. Выходит, когда l больше двойного промежутка между примы­кающими плоскостями, то никаких боковых дифракционных пятнышек нет и свет (и не только свет, а все, что хотите) прямо проходит через вещество.





Фиг. 38.6. Дифракция рентгеновских лучей на миоглобине.





Фиг. 38.7. Диффузия нейтронов из котла сквозь графитовый блок



Проходит, не отражаясь, не рассеи­ваясь, не теряясь. В частности, свет (у него l много больше этих промежутков) проходит, не давая никакой картины отра­жений от кристаллических плоскостей.

Интересные следствия этого явления наблюдаются в урано­вых реакторах — источниках нейтронов (нейтроны — это, уж бесспорно, частицы, спросите у кого угодно!). Если пустить эти самые частицы-нейтроны через длинный блок графита, то они начнут рассеиваться и с трудом будут протискиваться в глубь блока (фиг. 38.7). Рассеиваются они из-за того, что отскакивают от атомов. Но строго говоря, согласно волновой теории, все обстоит как раз наоборот — они отскакивают от ато­мов из-за дифракции от кристаллических плоскостей. Оказывает­ся, что если взять длинный стержень графита, то у всех нейт­ронов, выходящих из его дальнего конца, окажется большая длина волны! Если нанести на график интенсивность нейтро­нов как функцию длины волны, то на нем изобразятся только длины волн выше некоторого минимума (фиг. 38.8). Значит, таким путем можно получить очень медленные нейтроны. Про­никают сквозь графит только самые медленные нейтроны, они не дифрагируют, не рассеиваются на кристаллических плоскос­тях графита, а спокойно проходят, как свет через стекло. И нет никакого рассеяния по сторонам. Существует и множество других доказательств реальности нейтронных волн и волн других частиц.





Фиг. 38.8. Интенсивность нейтро­нов, выходящих us стержня гра­фита, как функция длины волны.

§ 4. Размер атома

Рассмотрим еще одно применение принципа неопределен­ности (38.3), но только, пожалуйста, не воспринимайте этот расчет чересчур буквально; общая мысль правильна, но ана­лиз проделан не очень аккуратно. Мысль эта касается опре­деления размера атомов; ведь по классическим воззрениям электроны должны были бы излучать свет и, крутясь по спирали, упасть на поверхность ядра. Но, согласно кван­товой механике, это невозможно, потому что в противном случае мы бы знали, где очутился электрон и насколько быстро он вертится.

Допустим, имеется атом водорода и мы измеряем положение электрона; мы не должны быть в состоянии предвидеть точно, где он окажется, иначе расплывание импульса станет беско­нечным. Всякий раз, как мы смотрим на электрон, он где-ни­будь оказывается; у него есть амплитуда вероятности оказаться в различных местах, так что есть вероятность найти его где угодно. Однако не все эти места должны быть возле самого ядра; положим, что существует разброс в расстояниях поряд­ка а, т. е. расстояние от ядра до электрона примерно в сред­нем равно а. Определим а, потребовав, чтобы полная энергия атома оказалась минимальной.

Разброс в импульсах, в согласии с соотношением неопре­деленностей, должен быть равен примерно h/а; поэтому, стре­мясь измерить как-нибудь импульс электрона (например, рас­сеивая на нем фотоны и наблюдая эффект Допплера от движу­щегося рассеивателя), мы не будем получать все время нуль (электрон не стоит на месте), а будем получать импульсы поряд­ка р»h/а. Кинетическая энергия электронов примерно будет равна ¹/₂mv² = Р²/2m = h²/2ma². (To, что мы сейчас делаем, в каком-то смысле есть анализ размерностей: мы прикидываем, как кинетическая энергия может зависеть от постоянной План­ка h, массы т и размера атома а. Ответ получается с точностью до численных множителей типа 2, p и т. д. Мы даже не опреде­лили как следует а.) Далее, потенциальная энергия равна част­ному от деления минус е² на расстоянии от центра, скажем, — е²/а (как мы помним, е² — это квадрат заряда электрона, деленный на 4pe₀). Теперь смотрите: когда а уменьшается, то потенциальная энергия тоже уменьшается, но чем меньше а, тем больше требуемый принципом неопределенности импульс и тем больше кинетическая энергия. Полная энергия равна



(38.10)

Мы не знаем, чему равно а, но зато мы знаем, что атом, обеспечивая свое существование, вынужден идти на компромисс, с тем чтобы полная энергия его была как можно меньше. Чтобы найти минимум Е, продифференцируем его по а, по­требуем равенства производной нулю и найдем а. Производ­ная Е равна



(38.11)



Уравнение dE/da=0 дает для а величину

(38.12)

Это расстояние называется воровским радиусом, и мы видим, что размеры атома — порядка ангстрема. Получилась пра­вильная цифра. Это очень хорошо, это даже удивительно хорошо, ведь до сих пор никаких теоретических соображений о размере атома у нас не было. С классической точки зрения атомы попросту невозможны: электроны должны упасть на ядра. Подставив формулу (38.12) для а₀ в (38.10), мы найдем энер­гию. Она оказывается равной



(38.13)

Что означает отрицательная энергия? А то, что, когда электрон находится в атоме, у него энергии меньше, чем когда он свобо­ден. Иначе говоря, в атоме он связан. И нужна энергия, чтобы вырвать его из атома; для ионизации атома водорода требуется энергия 13,6 эв. Не исключено, конечно, что потребуется вдвое или втрое больше энергии, или в p раз меньше, так как расчет наш был очень неряшлив. Однако мы схитрили и выб­рали все константы так, чтобы итог получился абсолютно пра­вильным! Эта величина -13,6 эв — называется ридбергом энергии; это энергия ионизации водорода.

Только теперь становится понятным, отчего мы не провали­ваемся сквозь пол. При ходьбе вся масса атомов наших боти­нок отталкивается от пола, от всей массы его атомов. Атомы сминаются, электроны вынуждены тесниться в меньшем объе­ме, и по принципу неопределенности их импульсы в среднем увеличиваются, а увеличение импульсов означает рост энер­гии. Сопротивление атомов сжатию — это не классический, а квантовомехаиический эффект. По классическим понятиям следовало ожидать, что при сближении электронов с прото­нами энергия уменьшится; наивыгоднейшее расположение по­ложительных и отрицательных зарядов в классической физи­ке — это когда они сидят верхом друг на друге. Классической физике это было хорошо известно и представляло загадку: ато­мы-то все же существовали! Конечно, ученые и тогда придумы­вали разные способы выхода из тупика, но правильный (будем надеяться!) способ стал известен только нам!

Кстати, когда вокруг ядра бывает много электронов, то они тоже стараются держаться подальше друг от друга. При­чина этого пока вам непонятна, но это факт, что если какой-то электрон занял какое-то место, то другой этого места уже не займет. Точнее, из-за существования двух направлений спи­на, эти электроны могут усесться друг на друга и вертеться: один — в одну сторону, другой — в другую. Но уже никакого третьего на это место вам не поместить. Вы должны их поме­щать на новые места, и в этом-то истинная причина того, что вещество обладает упругостью. Если бы можно было помещать все электроны в одно место, вещество было бы даже плотней, чем обычно. И именно благодаря тому, что электроны не могут сидеть друг на друге, существуют и столы, и другие твердые предметы.

Естественно поэтому, что, желая понять свойства вещества, нужно пользоваться квантовой механикой; классической для этого явно недостаточно.

§ 5. Уровни энергии

Мы говорили уже об атоме в наинизшем возможном энерге­тическом состоянии. Но оказывается, что электрон способен и на многое другое. Он может вращаться и колебаться гораздо энергичней, возможности его движений в атоме довольно мно­гообразны. Согласно квантовой механике, при установивших­ся условиях движения атом может обладать только вполне опре­деленными энергиями. На диаграмме фиг. 38.9 мы будем от­кладывать энергии по вертикали, а горизонтальными линиями отмечать разрешенные значения энергии. Когда электрон сво­боден, т. е. когда его энергия положительна, она может быть любой; скорость электрона тоже может быть какой угодно. Но энергии связанных состояний не произвольны. Атом мо­жет иметь только ту или иную энергию из дозволенной сово­купности значений, скажем, таких, как на фиг. 38.9.





Обозначим эти разрешенные значения через Е₀ , E₁ , E₂ , Е₃ . Если первоначально атом находится в одном из этих «возбуж­денных» состояний E₁, E₂ и т. д., он не останется в нем навсег­да. Раньше или позже он упадет в низшее состояние и излучит при этом энергию в виде света. Частота испущенного света определяется требованием сохранения энергии плюс квантовомеханическим пониманием того, что частота света связана с энергией света условием (38.1).

Фиг. 38.9. Схема энергий атома. Показано несколько возможных переходов.

Поэтому, например, частота света, освобожденного в переходе от энергии Е₃ к энергии E_{1 ,} равна



(38.14)

Эта частота характерна для данного сорта атомов и определяет линию в спектре испускания. Возможен и другой переход — от E₃ к Е₀ . У него своя частота:



(38.15)

Еще одна возможность заключается в том, что если атом воз­бужден до состояния E₁, то он может упасть в основное состоя­ние е₀, излучая фотон с частотой



(38.16)



Мы привели здесь эти три перехода для того, чтобы подчеркнуть интересную связь между ними. Из трех формул (38.14), (38.15), (38.16) легко получить

(38.17)

Вообще, обнаружив две линии в спектре, можно ожидать, что найдется и линия с частотой, равной сумме (или разности) частот. Все линии можно объяснить, отыскав серию уровней, таких, что каждая линия соответствует разности энергий меж­ду какими-то двумя уровнями. Это замечательное совпадение между частотами линий в спектре было замечено еще до откры­тия квантовой механики. Его называют комбинационным прин­ципом Ритца. С точки зрения классической механики он опять выглядит таинственно. Впрочем, не будем больше напоминать о том, что классическая механика обанкротилась в мире ато­мов; мне кажется, мы это уже хорошо показали.

Мы говорили уже о том, что в квантовой механике все собы­тия представляются в виде амплитуд, которые ведут себя как волны, имеют определенную частоту и волновое число. Посмот­рим теперь, как при помощи амплитуд объяснить, что у атома бывают только определенные энергетические состояния. Из всего, что было сказано до сих пор, это вывести и понять невоз­можно. Но зато мы все знаем, что волны в ограниченном объеме обладают определенными частотами. Скажем, если звуковая волна ограничена пределами органной трубы или как-либо иначе, то звуковые колебания могут быть разными, но их ча­стоты не могут быть любыми. И так всегда: у тела, внутри которого держатся волны, всегда бывают определенные резонанс­ные частоты. Волны, заключенные в ограниченный объем, всег­да обладают лишь определенным набором частот. (В дальней­шем мы еще будем изучать это явление и выпишем все нужные формулы.) Ну, а поскольку существует общее соотношение между частотой колебаний амплитуды и энергией, то нет ниче­го удивительного в том, что электроны, связанные в атомах, обладают только вполне определенными энергиями.

§ 6. Немного философии

Поговорим еще немного о философии квантовой механики. Как и всегда, здесь есть две стороны: философское содержание физики и его экстраполяция на другие области знаний. Когда философские идеи, связанные с наукой, переносятся на другие области, они обычно при этом искажаются до неузнаваемости. Поэтому мы ограничим свои замечания, насколько это возмож­но, только физикой.

Прежде всего начнем с самого интересного предмета — с идеи принципа неопределенности: наблюдение воздействует на явле­ние. Хоть и всегда было известно, что, наблюдая явление, мы воздействуем на него, но здесь суть-то в том, что этим воздейст­вием нельзя пренебречь, нельзя его свести до нуля, нельзя переделкой прибора произвольно уменьшить это влияние. Наблюдая явление, нельзя хотя бы слегка не нарушить его ход, и без учета этого нарушения теория не может стать после­довательной. И в доквантовой физике наблюдатель иногда был важен, но лишь в довольно тривиальном смысле. Рассматривал­ся, скажем, такой вопрос: дерево падает в лесу, в котором нет никого, кто мог бы услышать это; вызовет ли падение шум? И следовал ответ: настоящее дерево, падая в настоящем лесу, бесспорно, шум вызовет, даже если никого поблизости нет. Пусть никто падения слышать не мог, все равно останутся другие следы — кое-где осыплются листья, а на некоторых листочках останутся едва заметные царапинки от колючек, которые можно будет объяснить лишь тем, что листва дро­жала. Так что следует допустить, что в некотором смысле звук и впрямь существовал. «Но было ли ощущение зву­ка?» — можем мы спросить. Нет, для ощущения, видимо, нуж­но и сознание. А есть ли сознание у муравьев, да и водятся ли они в этом лесу и сознают ли что-либо деревья — вопрос темный. Поэтому бросим эту задачу.

С тех пор как родилась квантовая механика, стали подчер­кивать и другое положение: не надо говорить о вещах, которые невозможно измерить. (Кстати, и теория относительности го­ворила об этом же.) Пока не определено, как измерять величи­ну, ей нет места в теории. А поскольку точное значение импульса локализованной (находящейся в каком-то месте) частицы не может быть определено при помощи измерения, значит, импуль­су нечего делать в теории.

Так вот, если вы думаете, что классическая теория потому и погибла, вы ошибаетесь. Было бы легкомысленно сделать такой вывод. Невозможность точного измерения координаты и одновременно импульса не означает априори, что нельзя о них говорить, а означает только, что говорить о них нет необ­ходимости. На самом деле в науках бывает иначе: идея или понятие, которые невозможно прямо связать с опытом или замерить, могут быть полезными, а могут быть бесполезными. О них можно только сказать что они не обязаны присутствовать в теории. Пусть, например, мы сравниваем классическую тео­рию мира с квантовой теорией, а из эксперимента следует, что координата и импульс могут измеряться лишь неточно. Мы спрашиваем себя, имеет ли смысл понятие точного положения частицы или точного ее импульса. Классическая теория отве­чает «да», а квантовая — «нет». Но это само по себе не означает, что классическая физика ошибается.

Когда была открыта новая, квантовая, механика, привер­женцы классической теории, т. е. все физики, кроме Гейзенберга, Шредингера и Борна, говорили: «Что же хорошего в ней, в вашей теории, раз она не может ответить на простейшие вопросы: каково точное положение частицы? Через какую щель она проскочит? и другие». Ответ Гейзенберга гласил: «Я не обя­зан отвечать на такие вопросы, ибо вы не можете их задать эк­спериментально». Иначе говоря, отвечать — означало бы делать то, что делать необязательно. Рассмотрим две теории, (А) и (Б). Теория (А) содержит в себе идею, которую нельзя прове­рить непосредственно, но которая используется в анализе; теория (Б) этой идеи не содержит. Если их предсказания рас­ходятся, то нельзя утверждать, что теория (Б) ошибочна на том основании, что она не может объяснить идею из теории (А); ведь эта идея как раз из тех вещей, которые нельзя непосред­ственно проверить.

Ну что ж! Хорошо, конечно, знать, какие из идей экспери­ментальной проверке не поддаются, но нет необходимости от­брасывать их все. Неверно же, что науку можно создавать толь­ко из тех понятий, которые прямо связаны с опытом. Ведь в самой квантовой механике есть и амплитуда волновой функции, и потенциал, и многие другие умственные построения, не под­дающиеся прямому измерению. Основа науки — в ее способ­ности предвидеть. Предвидеть — это значит сообщать, что слу­чится в опыте, который никогда прежде не ставился. Как этого можно добиться? Предполагая, что мы независимо от экспери­мента знаем, что произойдет, мы экстраполируем опыт, выво­дим его в область, в которой он не ставился. Мы расширяем свои представления до пределов, в которых они никогда не проверялись. Если этого не сделано — никакого предсказания нет. Поэтому вполне разумно было когда-то физику-классику в счастливом неведении предполагать, что понятие положения, бесспорно имеющее смысл в футболе, имеет какой-то смысл и для электрона. Это была не глупость. Это была разумная про­цедура. А теперь мы, например, говорим, что закон относитель­ности верен при любых энергиях, а ведь в один прекрасный день явится кто-нибудь и объяснит, насколько мы глупы. Мы не догадаемся, в каком месте мы совершаем «глупость», покуда не «вырастем над собой»; вся проблема сводится к тому, как и когда нам это удастся. Единственный же способ обнаружить, в чем мы ошибаемся, это понять, в чем состоят наши предсказания. Так что без умственных построений не обойтись.

Мы уже делали ряд замечаний о недетерминированности квантовой механики, т. е. о том, что она не способна предсказы­вать, что произойдет в данных физических условиях, как бы аккуратно они ни были на опыте осуществлены. Если атом находится в возбужденном состоянии, собираясь излучить фо­тон, мы не можем сказать, когда это случится; существует ко­нечная амплитуда вероятности испустить фотон в любой момент, и только эту вероятность мы и можем предвидеть. Мы не можем точно предсказывать будущее. На этой основе и высказываются разного рода глупости о неопределенности всех явлений в мире, возникают вопросы о свободе воли частиц и т. д.

Следует, конечно, подчеркнуть, что и классическая физика была в каком-то смысле недетерминированной. Обычно думают, что недетерминированность, невозможность предсказать бу­дущее — это особенность квантовой механики, и именно с ней связывают возникновение представлений о свободе воли и т. д. Но если бы даже наш мир был классическим, т. е. если бы законы механики были классическими, все равно из этого не следует, что те же или какие-то аналогичные представления не возникли бы. Да, конечно, с точки зрения классики, узнав местоположе­ние и скорость всех частиц в мире (или в сосуде с газом), можно точно предсказать, что будет дальше. В этом смысле классичес­кий мир детерминирован. Но представьте теперь, что наша точ­ность ограничена и что мы не знаем точно положение только одного из атомов; знаем, скажем, его с ошибкой в одну миллиар­дную. Тогда если он столкнется с другим атомом, неопреде­ленность в знании его координат после столкновения возрастет. А следующее столкновение еще сильней увеличит ошибку. Так что если сначала ошибка и была еле заметной, то все равно вскоре она вырастет до огромнейшей неопределенности. Вот вам пример: вода, падая с плотины, брызжет во все стороны. Подойдите поближе, и на ваш нос тоже упадет нес­колько брызг. Это кажется совершеннейшей случайностью, хотя поведение воды может быть предсказано на основе чисто классических законов. Точное положение всех капель зависит от мельчайших колебаний потока воды перед плотиной. Но как оно зависит? Еле заметные нерегулярности в падении воды усиливаются и приводят к полной случайности движений. Ясно, что мы не можем по-настоящему предвидеть положение капель, если не знаем движения воды абсолютно точно.

Правильнее будет сказать, что для данной точности (сколь угодно большой, но конечной) можно всегда указать такой боль­шой промежуток времени, что для него становится невозмож­ным сделать предсказания. И этот промежуток (в этом вся соль) не так уж велик. Он не равен миллиону лет при точности в одну миллиардную! Время с уменьшением ошибки растет толь­ко логарифмически, и оказывается, что за очень и очень малое время вся наша информация теряется. Если точность равна даже одной миллиард-миллиард-миллиардной (ставьте сколько угодно миллиардов, но только когда-нибудь остановитесь!), все равно можно указать промежуток времени, меньший чем время, нужное для того, чтобы произвести измерения с такой огромной точностью, после которого уже невозможно будет предугадывать, что случится! Поэтому нечестно говорить, что уже в видимой свободе и недетерминированности человеческого мышления мы видим доказательства невозможности его изуче­ния в рамках классической «детерминистской» физики и приветствовать квантовую механику как избавительницу нашего духа от «абсолютно механистической» Вселенной. С практиче­ской точки зрения «детерминизм» отсутствовал и в классиче­ской механике.