Глава 33

ПОЛЯРИЗАЦИЯ

§ 1. Вектор электрического поля световой волны

§ 2. Поляризация рассеянного света

§ 3. Двойное лучепрелом­ление

§ 4. Поляриза­торы

§ 5. Оптическая активность

§ 6, Интенсив­ность отраженного света

§ 7. Аномальное преломление

§ 1. Вектор электрического поля световой волны

В этой главе мы рассмотрим круг явлений, связанных с векторным характером электриче­ского поля световой волны. В предыдущих главах направление колебаний электрическо­го поля нас не интересовало, правда, мы отметили, что вектор электрического поля лежит в плоскости, перпендикулярной направ­лению распространения света. Но нам не нужно было знать направление вектора более точно. Теперь мы перейдем к изучению явлений, в ко­торых главную роль играет определенное на­правление колебаний электрического вектора.

В идеально монохроматической световой волне электрическое поле колеблется с опре­деленной частотой, а так как x- и y-компоненты поля могут колебаться независимо с одной и той же частотой, то сначала мы рассмотрим сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний. Какое электрическое поле возни­кает при сложении колебаний x- и y-компонент поля с одинаковой частотой? Складывая коле­бание в направлении x и колебание с той же фазой в направлении у, получаем в плоскости xy колебание в новом направлении.

На фиг. 33.1 показано, как происходит сложение колебаний с разными амплитудами в направлении x и y. Но примеры, представлен­ные на этом рисунке, не исчерпывают всех возможностей: до сих пор предполагалось, что колебания вдоль осей x и y находятся в одной фазе, но это совсем не обязательно. Может случиться, что х- и y-колебания происходят с разными фазами.

В этом последнем случае вектор электриче­ского поля описывает эллипс, что можно проиллюстрировать на следующем простом примере.





Фиг. 33.1. Сложение колебаний в направлениях х и у, когда разность фаз между ними равна нулю.

Подвесим на длинной веревке мяч, чтобы он мог свободно колебаться в го­ризонтальной плоскости; колебания будут носить синусои­дальный характер. Представим себе мысленно оси х и у в горизонтальной плоскости колебаний мяча с началом коор­динат в точке покоя мяча. Выбирая соответствующее на­чальное смещение и начальную скорость мяча, можно заста­вить мяч колебаться по оси х, по оси у или по любому дру­гому направлению в плоскости ху с одной и той же частотой, равной частоте маятника. Эти колебания мяча аналогичны коле­баниям электрического вектора, приведенным на фиг. 33.1. В каждом случае колебания в направлениях х ж у достигают максимума одновременно и, следовательно, оба колебания находятся в фазе. Но известно, что самый общий тип движения мяча — движение по эллипсу — возникает, когда колебания в направлениях х и у происходят с разными фазами.

На фиг. 33.2 показано сложение колебаний по осям х и у для разных значений сдвига фаз между ними. Во всех примерах электрический вектор описывает эллипс. Колебание по прямой есть тоже частный случай эллиптического, когда сдвиг фаз равен нулю (или целому кратному я); при равных амплитудах и сдвиге фаз 90° (или нечетном числе л/2) происходит движение по окружности.

На фиг. 33.2 компоненты электрического поля в направле­ниях х и у записаны в виде комплексных чисел, что оказывается очень удобным для явного выделения разности фаз. В этих обо­значениях не следует только путать действительную и мнимую части с х- и y-компонентами поля. Изображенные на фиг. 33.2 компоненты поля по осям х и у есть реальные физические поля, которые можно измерить. Действительная и мнимая части век­тора электрического поля введены только для математического удобства, и физического смысла такое разделение не имеет.

Сделаем несколько замечаний о терминологии. Свет назы­вается линейно поляризованным (иногда плоско поляризован­ным), если электрическое поле колеблется по прямой линии; на фиг. 33.1 показан случай линейной поляризации. Когда вектор электрического поля описывает эллипс, говорят об эллиптической поляризации. Если же электрический вектор описывает окружность, мы имеем круговую поляризацию. Если электрический вектор при своем движении в световой волне крутится как правосторонний винт, говорят о правой круговой поляризации. На фиг. 33.2, ж приведен пример правой круго­вой поляризации, а на фиг. 33.2, в — пример левой круговой поляризации. В обоих случаях свет движется от плоскости страницы к читателю. Наше определение левой и правой круго­вых поляризаций согласуется с подобными определениями для всех других частиц в современной физике, для которых можно ввести понятие поляризации (например, для электронов). Однако в курсах оптики иногда используются прямо противо­положные определения, поэтому читателю следует с осторож­ностью относиться к терминам левая и правая поляризация.

Мы описали линейную, круговую и эллиптическую поляри­зации света и охватили, таким образом, все возможные случаи состояния света, кроме одного,—случая неполяризованного света. Ну, а как же может получиться неполяризованный свет, если известно, что колебания непременно происходят по тому или иному эллипсу?

Возьмем не вполне монохроматический свет, когда сдвиг фаз х- и y-колебаний непостоянен и электрический вектор колеб­лется произвольным образом; тогда поляризация света будет все время меняться. Вспомним, что один атом излучает свет за 10^-8 сек, и, если все атомы будут излучать свет с разной поля­ризацией, поляризация полного пучка света будет меняться через каждые 10^-8 сек.



Фиг. 33.2. Сложение колебаний в направлениях х и у

с разными фагами.

Компоненты Е_х и Е_у записаны и в действительных и в комплексных

обозначениях.

Когда поляризация света изменяется столь быстро, что ее невозможно измерить, говорят о неполяри­зованном свете, потому что все эффекты поляризации усредняются и сводятся к нулю. Ни один из интерференционных эффектов при сложении поляризаций не проявляется для неполяризованного света. В то же время само определение неполя­ризованного света подразумевает, что экспериментально невоз­можно установить, поляризован свет или нет.

§ 2. Поляризация рассеянного света

Первый пример поляризационных явлений, который мы уже ранее обсуждали, есть рассеяние света. Рассмотрим прохо­дящий в воздухе пучок света, например солнечного света. Электрическое поле возбуждает колебания зарядов в воздухе,. и в результате этих колебаний излучается свет, интенсивность которого максимальна в плоскости, перпендикулярной движе­нию зарядов. Пучок солнечного света неполяризован, т. е. направление поляризации постоянно меняется, а следователь­но, изменяется и направление колебаний зарядов в воздухе. Возьмем пучок света, рассеянный под углом 90°; он возникает от излучения только тех частиц воздуха, которые колеблются перпендикулярно линии зрения наблюдателя, и, следовательно, пучок рассеянного света будет поляризован в направлении этих колебаний. Таким образом, рассеяние дает нам пример получения поляризованного света.

§ 3. Двойное лучепреломление

Есть еще один интересный факт из области поляризационных явлений. Встречаются среды, показатель преломления которых различен для света, линейно поляризованного в том или другом направлении. Допустим, например, что имеется некий материал, состоящий из вытянутых несферических молекул, длина которых больше их ширины; предположим, что молекулы в веществе выстроены так, чтобы их большие оси оказались параллельными. Что произойдет, когда на тело подействует осциллирующее электрическое поле? Предположим, что такая структура моле­кул способствует тому, что электроны в материале легче под­даются колебаниям вдоль оси молекулы, чем поперек нее. При таких условиях следует ожидать, что поляризация в одном направлении будет вызывать один эффект, а поляризация, направленная под прямым углом к первой, — совсем другой. Назовем направление осей молекул оптической осью. Показа­тель преломления принимает разные значения в зависимости от того, направлена ли поляризация вдоль оптической оси или перпендикулярно ей. Среда с такими свойствами называется двоякопреломяяющей. Она обладает двумя разными способами преломления, т. е. двумя показателями преломления в зависи­мости от поляризации света в среде. Какие материалы обладают этим свойством? Из разных соображений вытекает, что двояко-преломляющая среда должна иметь некоторое количество ори­ентированных несферических молекул. Ясно, что кубический кристалл, имеющий симметрию куба, не может быть двояко-преломляющим. А вот длинные игловидные кристаллы, без­условно, содержат несимметричные молекулы, и в них легко . наблюдать эффект двойного лучепреломления.

Попробуем сообразить, что получится, если направить поля­ризованный луч на пластинку двоякопреломляющего материа­ла. Если поляризация параллельна оптической оси, свет прой­дет через пластинку с одной скоростью, а если поляризация пер­пендикулярна — с другой скоростью. Интересная ситуация возникает, если луч света поляризован, например, под углом в 45° к направлению оптической оси. Тогда поляризация, как известно, представляется в виде суммы поляризаций в направле­нии х и у с равными амплитудами и фазами, что показано на фиг. 33.2, а. Поскольку лучи с поляризациями вдоль осей х и у движутся в среде с разной скоростью, фазы обеих компонент поля будут расти по-разному.

Таким образом, несмотря на совпадение фаз х- и у-компонент вначале, внутри среды между ними появится разность фаз, пропорциональная глубине проникновения света в среду. Изменение поляризации света в процессе прохождения через среду показано в серии рисунков на фиг. 33.2. Если пластинка имеет такую толщину, что разность фаз на выходе между поля­ризациями по осям х и у равна 90° (фиг. 33.2, в), то свет выйдет из пластинки поляризованным по кругу. Пластинки такой толщины называются пластинками в четверть волны, поскольку они приводят к разности фаз в одну четвертую цикла. Пропус­кая линейно поляризованный свет через две пластинки в чет­верть волны, снова получаем линейно поляризованный свет, но направление поляризации повернется на прямой угол (это легко понять из фиг. 33.2, в).

Явление двойного лучепреломления легко продемонстриро­вать с помощью листка целлофана. Целлофан состоит из длин­ных молекул — волокон, и его структура неизотропна, посколь­ку волокна по большей части вытянуты в одном направлении. Для наблюдения явления двойного лучепреломления необходим пучок линейно поляризованного света, который нетрудно получить, пропуская неполяризованный свет через пластинку поляроида. О поляроиде мы еще будем говорить более подробно, а пока отметим одно его важное свойство: свет, поляризованный вдоль оси поляроида, проходит через него почти свободно, а свет, поляризованный перпендикулярно оси, сильно погло­щается поляроидом. Когда неполяризованный свет пропус­кается через пластинку поляроида, то проходит только та часть света, колебания которой параллельны оси поляроида, поэтому прошедший через пластинку луч окажется линейно поляризо­ванным.







Фиг. 33.3. Схема эксперимента по двойному лучепреломлению в целлофане.

Векторы электрического поля световой волны изображены пунктирными стрел­ками. Направления поляризации, про­пускаемые поляроидами, и оптические оси целлофана изображены сплошными стрелками. Падающий луч света непо­ляризован.

Это свойство поляроида используют также для опре­деления направления поляризации линейно поляризованного света; кроме того, с помощью поляроида можно определить, есть ли у света вообще линейная поляризация или нет. Для этого достаточно пропустить свет через пластинку поляроида и поворачивать ее в плоскости, перпендикулярной лучу. Линейно поляризованный свет не может пройти через поляроид, когда ось поляроида перпендикулярна направлению поляризации луча. Повернув пластинку на 90°, мы увидим прошедший через нее луч лишь чуть-чуть менее ярким, чем падающий пучок света. Если яркость луча, пропущенного поляроидом, не зави­сит от ориентации поляроида, падающий пучок света не имеет линейной поляризации.

Для демонстрации двойного лучепреломления в целлофане возьмем два поляроида и расположим их, как показано на фиг. 33.3. Из первого поляроида выходит линейно поляризован­ный пучок света; мы пропускаем его через целлофан, а затем через другой поляроид, чтобы учесть действие целлофана на линейно поляризованный свет. Сначала расположим оси поля­роидов перпендикулярно друг другу и уберем листок целло­фана. Через второй поляроид свет не проходит совсем. Теперь поставим листок целлофана между поляроидами и будем пово­рачивать его вокруг оси пучка света. При этом, вообще говоря, некоторая часть света будет все время проходить через второй поляроид. Имеются, однако, две ориентации листка целлофана, перпендикулярные друг другу, при которых свет через второй поляроид не проходит. Ясно, что эти ориентации целлофана не влияют на линейную поляризацию проходящего через него света и должны поэтому совпадать с направлением оптической оси целлофана и перпендикулярным к нему направлением.

Здесь мы предполагаем, что скорость света, проходящего через целлофан, различна для указанных двух направлений поляризации, но само направление поляризации при прохож­дении света не меняется. Если выбрать промежуточную ориен­тацию целлофана где-то между двумя главными направлениями, как на фиг. 33.3, то через второй поляроид пройдет яркий аучок света.

Оказывается, толщина обычного целлофана, используемого в магазинах для упаковки, равна почти точно половине длины волны для большинства цветов в спектральном разложении белого света. Целлофан такой толщины поворачивает направле­ние поляризации линейно поляризованного света на 90°, если это направление в падающем пучке образует угол 45° с опти­ческой осью целлофана. Таким образом, выходящий из целло­фана луч обладает как раз такой поляризацией, что может прой­ти второй поляроид.

Если в нашем опыте использовать пучок белого света, то только для одной компоненты его спектрального разложения толщина целлофана совпадет с половиной длины волны, и пу­чок, пропущенный вторым поляроидом, будет иметь цвет именно этой компоненты. Цвет пучка, прошедшего через наше устрой­ство, будет зависеть от толщины листа целлофана, а эффектив­ную толщину целлофана мы можем менять, наклоняя листок под некоторым углом и таким образом заставляя свет прохо­дить больший путь внутри целлофана. При наклоне листка целлофана цвет пропущенного пучка меняется. Используя целлофан разной толщины, можно сконструировать фильтры, пропускающие лучи вполне определенного цвета. Эти фильтры обладают тем замечательным свойством, что они пропускают один цвет, когда оси двух поляроидов перпендикулярны, и дополнительный к нему цвет, когда оси поляроидов параллельны.

Системы ориентированных молекул имеют еще одно, на этот раз вполне практическое применение. Некоторые пластики состоят из очень длинных и сложных молекул, скрученных между собой. При очень тщательном проведении процесса за­твердевания пластика молекулы, скручиваясь, образуют сплош­ную массу и ориентируются равномерно в самых разных направ­лениях, так что пластик обычно не проявляет свойства двойного лучепреломления. Но при затвердевании часто образуются дефекты и напряжения, которые приводят к некоторой неодно­родности материала. Напряжения, возникающие в пластике, как бы вытягивают целую связку молекул, и молекулярные нити ориентируются преимущественно вдоль направления натяжения. Благодаря внутренним напряжениям пластик становится двоякопреломляющим, и эффект двойного лучепре­ломления можно наблюдать, пропуская через него поляризо­ванный свет. Анализируя пропущенный пластиком пучок с по­мощью поляроида, мы заметим темные и светлые полосы (окра­шенные в разные цвета, если берется пучок белого света). Если образец подвергнуть растяжению, вся совокупность полос начинает сдвигаться, а подсчитав полосы и определив место их наибольшего скопления, можно найти внутренние напряже­ния, возникающие в образце. Инженеры обычно используют это явление как способ определения напряжений в деталях, форма которых трудно поддается расчету.

Еще один интересный пример — двойное лучепреломление в жидкостях. Рассмотрим жидкость, состоящую из длинных асимметричных молекул, которые несут вблизи своих концов распределенный положительный или отрицательный заряд, т. е. молекулы являются электрическими диполями. Сталки­ваясь, молекулы в жидкости принимают любую ориентацию, причем какого-либо преимущественного направления ориента­ции не существует. Но если приложить электрическое поле, молекулы начнут выстраиваться вдоль поля и в этот самый момент жидкость становится двоякопреломляющей средой. Взяв два поляроида и прозрачную ячейку с жидкостью такого сорта, можно создать устройство, которое пропускает свет только при включении электрического поля. В результате мы получаем электрический переключатель для света, который называют ячейкой Керра. А сам эффект, когда в жидкости возникает двой­ное лучепреломление под действием электрического поля, назы­вается эффектом Керра.

§ 4. Поляризаторы

До сих пор мы говорили о средах, показатель преломления которых различен для разных направлений поляризации падаю­щего светового пучка. Большое значение для практических применений имеют и другие среды, у которых в зависимости от поляризации света меняется не только показатель преломле­ния, но и коэффициент поглощения. Как и в случае двойного лучепреломления, легко понять, что поглощение может зави­сеть от направления вынужденных колебаний зарядов только в анизотропных средах. Первый, старый, ставший уже знаме­нитым пример — это турмалин, а другой — поляроид. Поля­роид состоит из тонкого слоя маленьких кристаллов герапатита (соль йода и хинина), выстроенных своими осями параллельно друг другу. Эти кристаллы поглощают свет, когда колебания происходят в одном каком-то направлении, и почти не погло­щают света, когда колебания совершаются в другом направ­лении.





Направим на поляроид пучок света, поляризованный под углом q к его оси. Какая интенсивность будет у пучка, прошед­шего через поляроид? Разложим наш пучок света на две компо­ненты: одну с поляризацией, перпендикулярной той, которая проходит без ослабления (она пропорциональна sinq), и вто­рую—продольную компоненту, пропорциональную cosq. Через поляроид пройдет только часть, пропорциональная cosq; компонента, пропорциональная sinq, поглотится. Амплитуда света, прошедшего через поляроид, меньше амплитуды падаю­щего света и получается из нее умножением на cosq.

Фиг. 33.4. Отражение линейно поляризованного света под углом Врюстера.

Направление поляризации дается пунк­тирными стрелками: круглые точки изображают поляризацию, перпендику­лярную плоскости страницы.

Интен­сивность света пропорциональна квадрату cosq. Таким обра­зом, если падающий свет поляризован под углом q к оси по­ляроида, пропускаемая поляризатором доля интенсивности составляет cos²q от полной. Доля интенсивности, поглощаемая в поляроиде, есть, разумеется, sin²q.

Интересный парадокс возникает в следующем опыте. Из­вестно, что два поляроида с осями, расположенными перпен­дикулярно друг другу, не пропускают света. Но если между такими поляроидами поместить третий, ось которого направлена под углом 45° к осям двух других, часть света пройдет через нашу систему. Как мы знаем, поляроид только поглощает свет, создать свет он не может. Тем не менее, поставив третий поля­роид под углом 45°, мы увеличиваем количество прошедшего света. Вы можете сами проанализировать это явление в каче­стве упражнения.

Одно из интереснейших поляризационных явлений, возни­кающее не в сложных кристаллах и всяких специальных мате­риалах, а в простом и очень хорошо знакомом случае,— это отражение от поверхности. Кажется невероятным, но при отра­жении от стекла свет может поляризоваться, и объяснить физи­чески такой факт весьма просто. На опыте Брюстер показал, что отраженный от поверхности свет полностью поляризован, если отраженный и преломленный в среде лучи образуют прямой угол. Этот случай показан на фиг. 33.4.

Если падающий луч поляризован в плоскости падения, отраженного луча не будет совсем. Отраженный луч возникает только при условии, что падающий луч поляризован перпенди­кулярно плоскости падения. Причину этого явления легко понять. В отражающей среде свет поляризован перпендикуляр­но направлению движения луча, а мы знаем, что именно дви­жение зарядов в отражающей среде генерирует исходящий из нее луч, который называют отраженным. Появление этого так называемого отраженного луча объясняется не просто тем, что падающий луч отражается; мы теперь уже знаем, что падаю­щий луч возбуждает движение зарядов в среде, а оно в свою очередь генерирует отраженный луч.

Из фиг. 33.4 ясно, что только колебания, перпендикулярные плоскости страницы, дают излучение в направлении отраженно­го луча, а следовательно, отраженный луч поляризован перпен­дикулярно плоскости падения. Если же падающий луч поляри­зован в плоскости падения, отраженного луча не будет совсем.

Это явление легко продемонстрировать при отражении линейно поляризованного луча от плоской стеклянной пластин­ки. Поворачивая пластинку под разными углами к направлению падающего поляризованного луча, можно заметить резкий спад интенсивности при значении угла, равном углу Брюстера. Это падение интенсивности наблюдается только в том случае, когда плоскость поляризации совпадает с плоскостью падения. Если же плоскость поляризации перпендикулярна плоскости падения, заметного спада интенсивности отраженного света не наблюдается.

§ 5. Оптическая активность

Интереснейший поляризационный эффект был обнаружен в материалах, молекулы которых не обладают зеркальной сим­метрией; это молекулы в виде штопора, перчатки с одной руки или вообще какой-то формы, которая при отражении в зеркале переходит в другую форму, подобно тому как перчатка с левой руки в этом случае принимает вид перчатки с правой. Предпо­ложим, что все вещество состоит из молекул одной формы, т. е. в веществе нет молекул, которые являлись бы зеркальными отражениями других. Тогда в этом веществе возникает заме­чательное явление, называемое оптической активностью,— на­правление поляризации линейно поляризованного света при прохождении через вещество поворачивается вокруг оси пучка.





Чтобы разобраться в явлении оптической активности, надо вывести ряд формул, но суть дела можно понять и качественно, без всяких вычислений. Возьмем асимметричную молекулу в форме спирали, показанную на фиг. 33.5. Оптическая актив­ность появляется не обязательно для молекул именно такой формы, но пример спирали наиболее прост и типичен для слу­чая, когда нет зеркальной симметрии.

Фиг. 33.5. Молекула, форма ко­торой не обладает зеркальной сим­метрией.

На молекулу падает пучок света, ли­нейно поляризованный в направлении оси у.

Пусть на молекулу падает луч света, линейно поляризован­ный вдоль оси у, тогда электрическое поле вызывает движение зарядов вверх и вниз по спирали, так что в направлении у возникает ток и происходит излучение электрического поля Е_у, поляризованного опять-таки вдоль оси у. Если, однако, элект­роны могут двигаться только вдоль спирали, появится состав­ляющая тока вдоль оси х. Когда ток течет вверх по спирали, в точке Z₁ он движется к плоскости рисунка, а в точке Z₁+A — от плоскости (здесь А — диаметр молекулярной спирали). Казалось бы, x-составляющая тока не дает никакого излучения, потому что на противоположных сторонах витка спирали ток течет в прямо противоположном направлении. Однако если взять x-составляющую электрического поля, приходящего в точку z = z₂, мы увидим, что ток в точке z = z1+ А и ток в точке z = z1 создают поля в точке z₂ с интервалом времени А/с и, следовательно, с разностью фаз л+шА1с. Поскольку разность фаз в точности не равна л, поля не могут взаимно погаситься и остается небольшая ж-компонента электрического поля, вызванная движением электронов в молекуле, хотя пер­воначальное падающее поле имело только y-компоненту. Скла­дывая малую компоненту по оси х и большую компоненту по оси y, получаем результирующее поле под небольшим углом к оси у (первоначальному направлению поляризации). При движении луча света через среду направление поляризации поворачивается вокруг оси луча. Нарисовав молекулы в раз­ных положениях и определив токи, индуцированные падающим электрическим полем, можно убедиться, что появление оптиче­ской активности и направление вращения не зависят от ориен­тации молекул.

Примером среды, обладающей оптической активностью, является обычная патока. Для демонстрации явления берут поляроид, дающий на выходе линейно поляризованный луч, прозрачный сосуд с патокой и второй поляроид, служащий для определения вращения плоскости поляризации.

§ 6. Интенсивность отраженного света





Рассмотрим здесь количественную зависимость коэффициен­та отражения от угла падения. На фиг. 33.6, а показан пучок света, падающий на поверхность стеклянной пластинки, от которой он частично отражается, а остальная его часть прелом­ляется и уходит в глубь стекла. Пусть падающий луч имеет единичную амплитуду и линейно поляризован перпендикулярно плоскости рисунка. Обозначим амплитуду отраженной волны буквой b, а амплитуду преломленной —буквой а. Отраженная и преломленная волны будут, разумеется, линейно поляризо­ваны, а направления электрического поля в падающей, отраженной и преломленной волнах параллельны друг другу.

Фиг. 33.6. Падающая волна еди­ничной амплитуды отражается и преломляется на поверхности стекла.

а — падающая волна поляризована по нормали к плоскости страницы; б — падающая волна поляризована в направ­лении, указанном пунктирной стрелкой.

На фиг. 33.6, б показана подобная же ситуация, но в предполо­жении, что падающий луч поляризован в плоскости рисунка. Здесь через В и А обозначены соответственно амплитуды отра­женной и преломленной волн.

Мы хотим вычислить интенсивности отраженного луча в обо­их случаях, приведенных на фиг. 33.6. Как мы уже знаем, в слу­чае, показанном на фиг. 33.6, б, отраженной волны не возникает, если угол между отраженным и преломленным лучами прямой, но нам хотелось бы получить количественный результат — точную формулу для амплитуд В и b как функций угла паде­ния i. Полезно усвоить следующий принцип. Индуцированные в стекле токи генерируют две волны. Прежде всего они создают волну отражения. Далее, если бы в стекле токов не было, падающая волна прошла бы его насквозь, не меняя направле­ния. Вспомним, что все заряды во Вселенной создают некое результирующее поле. Источник, создавший падающий пучок, дает поле единичной амплитуды, которое само по себе должно было бы проходить внутрь стекла по пунктирной линии (см. фиг. 33.6). Но это поле внутри стекла не наблюдается, а, следовательно, токи, возбуждаемые в стекле, должны излучать поле с амплитудой -1 вдоль той же пунктирной линии. Это позволяет вычислить амплитуды преломленных волн а и А.





Из фиг. 33.6, а видно, что поле с амплитудой b создается движением зарядов стекла, а внутри стекла это же движение дает поле с амплитудой а; следовательно, амплитуда b пропор­циональна амплитуде а. Далее, если отвлечься от направления поляризации, можно было бы предположить, что отношение В/А равно отношению b/a, так как обе схемы на фиг. 33.6 можно считать одинаковыми. На самом деле это не совсем правильно, потому что на фиг. 33.6, б в отличие от ситуации, изображенной на фиг. 33.6, а, направления поляризаций не параллельны друг другу. В создании амплитуды В эффективно участвует только компонента А, параллельная В, т. е. Acos(i+r). Правильное соотношение пропорциональности выглядит поэтому так:

(33.1)



Теперь немного схитрим. Как мы знаем, на обоих рисунках фиг. 33.6 электрическое поле в стекле вызывает движение зарядов, которое генерирует поле с амплитудой, равной -1, поля­ризованное точно так же, как и в падающем луче, и распростра­няющееся вдоль пунктирной линии. Но из фиг. 33.6, б видно, что только перпендикулярная пунктирной линии компонента А дает полю необходимую поляризацию, тогда как на фиг. 33.6,а в создании поля на пунктирной линии эффективно участвует вся амплитуда а, поскольку ее поляризация параллельна поля­ризации поля с амплитудой -1. Следовательно, справедливо соотношение

(33.2)

так как обе амплитуды в левой части (33.2) создают волны с амплитудой -1.

Разделив (33.1) на (33.2), получаем



(33.3)

Проверим правильность этого результата на уже известном нам факте. Положив (i+r) =90°, из (33.3) получим B=0, что и было найдено в свое время Брюстером; таким образом, наш результат по крайней мере не содержит очевидной ошибки.

По предположению падающая волна имеет единичную амп­литуду; тогда |B|²/1² есть коэффициент отражения лучей, поля­ризованных в плоскости падения, а |b|²/1² — коэффициент отражения лучей, поляризованных перпендикулярно плоскости падения. Отношение этих двух коэффициентов определяется с помощью формулы (33.3).

А теперь сотворим чудо и вычислим не только отношение, но и каждый коэффициент |В|² и |b|² в отдельности! Из закона сохранения энергии вытекает, что энергия преломленной волны должна быть равна энергии падающей волны минус энергия отраженной волны, т. е. 1-|В|² в одном случае и 1-|b|² —в другом. Более того, энергия света, прошедшего внутрь стекла в случае, показанном на фиг. 33.6, а, и такая же энергия в слу­чае фиг. 33.6, б относятся как квадраты амплитуд преломленных волн: |A|²/|а|². Возникает вопрос, возможно ли вычислить энергию волны в стекле, если кроме энергии электрического поля, вообще говоря, имеется и энергия движения атомов. Однако ясно, что любой вклад в полную энергию должен быть пропорционален квадрату амплитуды электрического поля. Следовательно,



(33.4)

Подставим сюда соотношение (33.2) и исключим A/a в на­писанном выражении, а величину В выразим через b с по­мощью формулы (33.3):



(33.5)

Здесь неизвестной величиной остается только b. Разрешая уравнение относительно |b|², получаем



(33.6)



и, воспользовавшись (33.3), находим

(33.7)

Таким образом, мы нашли коэффициент отражения |b|² для падающей волны, поляризованной перпендикулярно плоскости падения, и коэффициент отражения |B|² для волны, поляризо­ванной в плоскости падения!

Используя подобные приемы доказательства, можно пойти дальше и вывести, что b действительно. Для доказательства рассмотрим случай, когда свет приходит одновременно с обеих сторон поверхности стекла (ситуация, трудно осуществимая на опыте, но забавная в теоретическом отношении). Анализируя этот общий случай, можно убедиться в действительности вели­чины b, откуда следует, что b=±sin(i-r)/sin(i+r). Если взять очень тонкий слой, в котором отражение происходит от обеих поверхностей, и вычислить интенсивность отраженного света, то можно установить даже знак b. Доля света, отражен­ного тонким слоем, нам известна, поскольку мы знаем ток, гене­рируемый в таком слое, и даже получили формулу для поля, создаваемого током. Эти аргументы приводят к соотношениям



(33.8)

Формулы (33.8) для коэффициентов отражения как функций углов падения и преломления называются формулами Френеля. В пределе, когда углы i и r стремятся к нулю, т. е. в случае падения





по нормали, мы получаем В²»b²»(i-r)²/(i+r)² для обеих поляризаций, поскольку и синусы, и тангенсы в этих условиях практически равны углам. Но, как мы уже знаем, sini/sinr=n, а для малых углов i/r»n. Отсюда совсем просто вывести, что коэффициент отражения в случае падения по нормали равен

Интересно вычислить, например, коэффициент отражения для воды. В этом случае n=⁴/₃ и коэффициент отражения равен (¹/₇)²» 2%. При падении лучей по нормали к поверх­ности от воды отражается только 2% всей энергии.

§ 7. Аномальное преломление

Последним рассмотрим поляризационное явление, которое исторически было обнаружено самым первым,— аномальное преломление света. Моряки, побывавшие в Исландии, приво­зили в Европу кристаллы исландского шпата (СаСО₃), которые обладали тем забавным свойством, что рассматриваемые сквозь них предметы как бы двоились, т. е. получалось два изображе­ния предмета. Это явление привлекло внимание Гюйгенса и сыг­рало важную роль в открытии поляризации света. Как часто бывает, найденные раньше других явления оказываются в ко­нечном счете наиболее трудными для объяснения. Обычно лишь после того, как физическая идея становится понятной в мель­чайших подробностях, можно подобрать явления, иллюстри­рующие эту идею наиболее просто и наглядно.

Аномальное преломление представляет собой частный случай уже изученного нами явления двойного лучепреломления. Аномальное преломление возникает тогда, когда Оптическая ось, т.е. большая ось асимметричных молекул, не параллельна поверхности кристалла.

На фиг. 33.7 изображены два двоякопреломляющих крис­талла и показано направление оптической оси. На верхнем рисунке падающий луч линейно поляризован в направлении, перпендикулярном оптической оси кристалла. Когда луч попадает на поверхность кри­сталла, каждая точка поверх­ности служит источником новой волны, распространяю­щейся внутрь кристалла со скоростью v_┴ (скоростью света в кристалле, соляризации которого перпендикулярна направлению оптической оси).





Фиг. 33.7. Путь обыкновенного луча (вверху) и путь необыкновен­ною луча (внизу) в ввоякопреломляющем кристалле.

Оптическая ось лежит в плоскости страницы.

Волновой фронт представляется просто огибающей всех этих маленьких сферических волн, он движется прямо сквозь кри­сталл. Такое поведение света считается обычным, а соответ­ствующий луч называется обыкновенным лучом.

На нижнем рисунке фиг. 33.7 поляризация падающего луча повернута на 90°, так что оптическая ось лежит в плоскости по­ляризации. Рассмотрим теперь маленькие волны, идущие от по­верхности кристалла; они уже не сферические, как в предыду­щем случае. Свет вдоль оптической оси движется со скоростью v_┴, потому что поляризация перпендикулярна оптической оси, а свет, движущийся перпендикулярно оси, распространяется со скоростью v_║ поскольку поляризация и оптическая ось парал­лельны. В двоякопреломляющем материале v_║<v_┴, и на нашем рисунке выбран случай v_║<v_┴. Более подробный анализ показывает, что волны у поверхности кристалла имеют форму эллипсоидов, большая ось которых совпадает с оптиче­ской осью кристалла. Огибающая этих эллиптических волн — волновой фронт — движется через кристалл, как показано на нижнем рисунке фиг. 33.7. У задней поверхности кристалла луч отклоняется на тот же угол, что и у передней, и выходит параллельно падающему лучу, сместившись на некоторое расстояние. Совершенно очевидно, что этот луч не подчиняется закону Снелла и движется довольно необычно. Поэтому его называют необык­новенным лучом.

Если на аномально преломляющий кристалл направить неполяризованный пучок света, он разделится на два луча: обыкновенный, движущийся прямо через кристалл по обычным законам, и необыкновенный, который, пройдя через кристалл, смещается относительно падающего луча. Оба прошедших через кристалл луча линейно поляризованы перпендикулярно друг другу. Этот факт легко установить опытным путем, используя поляроид для определения поляризации вышедших из кристалла лучей света. Можно также подтвердить правильность нашей интерпретации, посылая на кристалл линейно поляризованный луч. Выбирая нужную ориентацию поляризации падающего пучка, мы в одном случае увидим луч, прошедший прямо сквозь кристалл, а в другом — единственный сместившийся луч.





На фиг. 33.1 и 33.2 были представлены самые разные поля­ризации в виде суперпозиции двух основных, а именно поляри­заций по осям х и у с разными амплитудами и фазами. Вместо них можно выбрать и другие пары основных поляризаций. Один из возможных примеров представляют собой поляризации по двум перпендикулярным осям х\' и y\', повернутым относи­тельно х и у (можно также любую поляризацию представить как суперпозицию случаев а и д на фиг. 33.2). Оказывается, эту мысль можно еще продолжить.

Фиг. 33.8. Два вектора одной длины, вращающиеся в противо­положные стороны, дают при сложении вектор, направление ко­торого не меняется, а амплитуда осциллирует.

Например, любую линейную поляризацию можно представить в виде суперпозиции правой и левой круговой поляризации с соответствующими амплитудами и фазами (случаи в и ж на фиг. 33.2), поскольку два равных вектора, вращающихся в разные стороны, при сложении дают вектор, осциллирующий вдоль прямой линии (фиг. 33.8).

Если фазы вращающихся векторов разные, прямая будет наклонена. Таким образом, все графики фиг. 33.1 можно назвать «суперпозициями равного количества право- и левополяризованного света при разных сдвигах фаз». Когда левополяризованный свет отстает по фазе от правополяризованного, направление линейной поляризации меняется. Поэтому оптически активные среды можно в некотором смысле назвать двоякопреломляющими. Свойство оптической активности можно характеризовать и по-другому, говоря, что такие среды имеют разные показатели преломления для света правой и левой круговой поляризации. Суперпозиция право- и левополяризованного света с разными амплитудами дает эллиптически поляризованный свет.

Свет с круговой поляризацией обладает интересным свой­ством — он переносит момент количества движения (взятый относительно направления луча). Чтобы пояснить это утверж­дение, предположим, что поляризованный по кругу свет падает на атом, который представляет собой гармонический осциллятор, способный колебаться в любом направлении в плоскости ху.





Фиг. 33.9. Действие света с кру­говой поляризацией на вращаю­щийся ааряд.



Тогда смещение электрона по оси х отвечает компоненте поля Е_х, а смещение по оси у отвечает компоненте Е_у, равной по вели­чине, но отстающей по фазе на 90°. Это означает, что электрон под действием вращающего электрического поля световой волны (фиг. 33.9) будет двигаться по окружности с угловой ско­ростью w.

Направление вектора смещения электрона а в зависимости от восприимчивости осциллятора к действующей на него силе не обязательно совпадает с направлением силы q_еЕ, но тем не менее оба вектора вращаются одновременно друг с другом. Напряженность поля Е, вообще говоря, имеет компоненту, перпендикулярную смещению электрона а, так что над системой совершается работа, а кроме того на нее действует крутящий момент т.. Работа, которую он совершает в 1 сек, равна tw. За период Т системе передается энергия twТ, причем tТ есть мо­мент количества движения, поглощаемый вместе с энергией излучения. Мы видим, таким образом, что луч света правой круговой поляризации, энергия которого равна о, переносит момент количества движения (вектор которого лежит вдоль направления распространения луча), равный по величине о /w. Действительно, если луч правополяризованного света поглощается веществом, поглотителю передается порция момента количества движения, равная о/w. Левополяризованный свет несет момент противоположного знака, т. е. - о /w.



Глава 34

РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ИЗЛУЧЕНИИ

§ 1, Движущиеся источники

§ 2, Определение „кажущегося\" движения

§ 3. Синхротронное излучение

§ 4. Космическое синхротронное излучение

§ 5. Тормозное излучение

§ 6. Эффект Допплера

§ 7. Четырех» вектор (ω, k)

§ 8. Аберрация

§ 9. Импульс световой волны

§ 1. Движущиеся гюточиики

В этой главе мы расскажем еще о ряде эф­фектов, связанных с излучением, и на этом за­кончим изложение классической теории света. Проведенный нами в предыдущих главах анализ световых явлений был достаточно полным и под­робным. Однако мы не коснулись одного важно­го в приложениях процесса электромагнитного излучения — мы не исследовали поведения ра­диоволн в ящике с отражающими стенками раз­мером порядка длины волны или радиоволн, пропускаемых через длинную трубу. Явления, возникающие в так называемых полых резона­торах и волноводах, мы обсудим позднее, причем прежде мы их проиллюстрируем на другом фи­зическом примере — на примере звука. А в остальном изучение классической теории света заканчивается этой главой.

Для всех эффектов, о которых здесь пойдет речь, характерно то, что они связаны с движе­нием источника. Мы не будем больше предпола­гать, что смещение источника незначительно и его движение происходит с относительно малой скоростью возле фиксированной точки.





Вспомним, что, согласно основным законам электродинамики, электрическое поле на боль­ших расстояниях от движущегося заряда дается формулой

(34.1)



Определяющей величиной здесь является вторая производная единичного вектора е_д\' , направ­ленного к кажущемуся положению заряда. Единичный вектор характеризует положение заряда, конечно, не в тот же момент времени,

Ф и г. 34.1. Траектория движу­щегося заряда.

Истинное положение в момент времени t есть Т, положение при учете запазды­вания есть А.

а то место, где находился бы заряд, если учесть конечную ско­рость передачи информации от заряда к наблюдателю.

Вместе с электрическим полем возникает магнитное поле, направленное всегда перпендикулярно электрическому и кажу­щемуся положению заряда. Оно дается формулой



(34.2)

Мы рассматривали до сих пор случай нерелятивистских ско­ростей, когда движением в направлении источника можно было пренебречь. Обратимся теперь к общему случаю произвольных скоростей и посмотрим, какие эффекты возникают в этих усло­виях. Итак, пусть движение происходит с любой скоростью, но расстояние от детектора до источника по-прежнему велико.





В гл. 28 мы уже говорили, что в производную d²e_{R\' \'}/dt² вхо­дит только изменение направления еR\'. Пусть заряд находится в точке с координатами (х, у, z) и ось z лежит вдоль линии наблю­дения (фиг. 34.1). В данный момент времени т координаты заряда есть x(т), y(т) и z(т)- Расстояние R с большой точностью равно .R(т) = r0 + z(т). Направление вектора еR\' зависит главным образом от х и у и почти совсем не зависит от z. Поперечные ком­поненты единичного вектора равны x/R и y/R; дифференцируя их, мы получаем члены, содержащие R² в знаменателе:





Таким образом, на достаточно больших расстояниях существен­ны только члены с производными х и у. Отсюда

(34.3)

где R₀ примерно равно расстоянию до заряда q; определим его как расстояние ОР до начала координат (х, у, z). Итак, электри­ческое поле равно константе, умноженной на очень простую величину — производную координат х и у по t. (Математически можно назвать их поперечными компонентами вектора положе­ния заряда r, но ясности от этого не прибавится.)

Конечно, нужно всегда помнить, что координаты берутся не в момент наблюдения, а с учетом запаздывания. В данном случае запаздывание зависит и от z (т). Чему равно время за­паздывания? Обозначим время наблюдения через t (это время в точке наблюдения Р), тогда время т, которое в точке А соот­ветствует времени t, не будет совпадать с t, а отстает от него на промежуток времени, необходимый свету, чтобы пройти все рас­стояние от заряда до точки наблюдения. В первом приближении время запаздывания равно R₀/c, т. е. постоянной (что неинте­ресно), а в следующем приближении должно зависеть от z-координаты положения заряда в момент t, потому что для заряда q, сдвинутого немного назад, запаздывание увеличивается. Этим эффектом мы раньше пренебрегали, если теперь учесть его, то мы получим формулу, пригодную для любых скоростей. Нам остается выбрать определенное значение t, вычислить с его помощью т и найти х и у в момент времени t. Запаздываю­щие значения х и у обозначим через х\' и y\', вторые производные от них определяют



поле.



Итак, t определяется из уравнений

(34.4)

Эти уравнения довольно сложны, но их решение легко получить геометрическим путем. Чертеж даст вам возможность качествен­но почувствовать, как возникают соотношения, хотя для вывода точных результатов понадобится преодолеть еще немало мате­матических сложностей.

§ 2. Определение «кажущегося» движения





Написанное выше уравнение можно упростить довольно инте­ресным способом. Опустим неинтересный для нас постоянный член R₀/c (это означает только, что мы изменяем начало отсчета времени t на постоянный отрезок) и запишем

(34.5)

Нам нужно найти х\' и у\' как функции t, а не т, и это достигается следующим образом: как подсказывает уравнение (34.5), нужно взять истинное движение заряда и добавить время т, умножен­ное на константу (скорость света). На фиг. 34.2 показано, что это означает. Возьмем истинную траекторию заряда (показанную слева) и представим себе, что по мере движения заряд удаляется от точки Р со скоростью с (здесь нет каких-либо релятивистских сокращений и подобных вещей; это просто математическое до­бавление ст). Таким путем получится новая траектория, где по оси абсцисс отложено ct, как показано на рисунке справа. (На рисунке изображена траектория довольно сложного движения в плоскости, но движение может происходить не только в плокости.)





Фиг. 34.2. Геометрический способ определения x\'(t) из уравнения (34.5.).

Смысл приведенной процедуры состоит в том, что гори­зонтальное расстояние в правой части фиг. 34.2 в отличие от левой оказывается равным не z, a z+cт, т. е. ct. Мы нашли, таким образом, график изменения х\' (и у\') в зависимости от t\\ Осталось только определить ускорение на кривой, т. е. продиф­ференцировать ее дважды. Отсюда окончательно заключаем: чтобы найти электрическое поле движущегося заряда, нужно взять траекторию движения и заставить двигаться каждую ее точку от точки наблюдения со скоростью с; полученная кривая дает положения х\' и у\' как функцию t. Ускорение на этой кривой определит электрическое поле в зависимости от t. Можно, если угодно, представить себе, что вся эта «твердая» кривая дви­жется вперед со скоростью с сквозь плоскость зрения, так что точка пересечения с плоскостью зрения имеет координаты х\' и у\'. Ускорение этой точки и определит электрическое поле! Полученное решение будет не менее точно, чем формула, из ко­торой мы исходили,— это просто ее геометрическое представ­ление.

Если источник совершает относительно медленное движение, как, например, медленно колеблющийся вверх и вниз осцилля­тор, то при растягивании этого движения со скоростью света получится простая синусоидальная кривая. Отсюда можно получить формулу для поля, создаваемого осциллирующим заря­дом, которую мы видели неоднократно.

Более интересный пример — это электрон, движущийся по окружности со скоростью, близкой к скорости света. Если на­блюдатель находится в плоскости движения электрона, запазды­вающее движение x\'(t) имеет для него вид, изображенный на фиг. 34.3. Что это за кривая? Если мы представим себе радиус-вектор, проведенный из центра окружности к заряду, и если мы продолжим эти радиальные линии чуть-чуть за заряд (совсем капельку, если заряд движется быстро), то мы придем к точке, которая движется со скоростью света с. Поэтому результирую­щее движение есть движение заряда, прикрепленного к ко­лесу, которое катится назад (без скольжения) со скоростью с;





Фиг. 34.3. Кривая зависимости х\' (t) для частицы, вращающейся по окружности с постоянной скоростью v = 0,94c.

это дает нам кривую, очень похожую на циклоиду, называется она гипоциклоидой.

Когда заряд движется по окружности со скоростью, близкой к скорости света, пики на кривой становятся очень острыми, а при скорости, равной скорости света, они были бы бесконечно острыми. «Бесконечно острые» пики! Очень интересно; это зна­чит, что вблизи такого пика вторая производная очень велика. Один раз в течение каждого периода возникает мощный и резкий импульс электрического поля. Ничего похожего в случае нере­лятивистского движения не бывает, там электрическое поле в те­чение всего периода принимает значения примерно одного и того же порядка. Вместо этого в случае больших скоростей там воз­никают резкие импульсы электрического поля с интервалом вре­мени 1/Т₀, где Т₀ — период обращения. Это сильное электриче­ское поле излучается в узком конусе около направления движе­ния заряда. Когда же заряд удаляется от точки наблюдения Р, производная кривой мала и излучение в направлении Р очень слабое.

§ 3 Синхpoтpoннoe излyчeнue

В синхротроне электроны движутся по окружности с боль­шими скоростями, близкими к скорости света, и описанное излучение можно увидеть как настоящий свет! Обсудим это явление более подробно.

Электроны в синхротроне движутся по окружности в одно­родном магнитном поле. Давайте установим прежде всего, почему они движутся по окружности. Согласно уравнению (12.10), сила, действующая на частицу в магнитном поле, равна

F = q·vXB (34.6)

и направлена перпендикулярно полю и скорости. Как обычно, сила равна скорости изменения импульса со временем. Если поле направлено вверх от плоскости страницы, импульс и сила



Фиг. 34.4. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле по окружности (или по спи­рали).



располагаются так, как показано на фиг. 34.4. Поскольку сила перпендикулярна скорости, кинетическая энергия, а значит, и абсолютная величина скорости остаются постоянными. Действие магнитного поля сводится только к изменению направления дви­жения. За малый промежуток времени Dt вектор импульса из­менится на величину Dр = F·Dt, направленную перпендику­лярно импульсу, т. е. вектор импульса р повернется на угол Dq = Dр/р =qvBDt/p, так как |F| = qv·|В|. Но за то же время электрон пройдет расстояние Ds = vDt. Две прямые, АВ и CD, очевидно, пересекутся в точке О, для которой ОА=ОС=R, причем Ds = RDq. Комбинируя написанные фор­мулы, мы получаем RDq/Dt=Rw=v=qvBR/p, откуда









(34.7)

(34.8)

Мы можем повторить это рассуждение в любой последующий промежуток времени и придем, таким образом, к заключению, что частица в магнитном поле должна двигаться по окружности, имеющей радиус R, с угловой скоростью w.

Равенство (34.7), выражающее импульс через произведение заряда, радиуса и магнитного поля, представляет собой очень важный закон, находящий весьма широкое применение. Он имеет большое практическое значение, потому что при наблю­дении движения частиц с одинаковыми зарядами в магнитном поле позволяет измерить радиусы кривизны траекторий; зная, кроме того, величину магнитного поля, можно определить, та­ким образом, импульсы частиц. Умножив обе части (34.7) на с и выразив заряд q через заряд электрона, мы получаем фор­мулу для импульса в единицах электронволът (эв):



(34.9)

Здесь В, R и скорость света определены в системе единиц СИ, скорость света в этой системе равна численно 3·10⁸.

Единица измерения магнитного поля в системе СИ назы­вается вебер на метр квадратный. Часто употребляют более старую единицу — гаусс (гс). Один вебер/м² равен 10⁴ гс. Что­бы дать представление о величине магнитных полей, приведем некоторые цифры. Самое сильное магнитное поле, которое мож­но создать в железе, порядка 1,5·10⁴ гс; при больших полях использовать железо становится невыгодным. В настоящее время электромагниты с обмоткой из сверхпроводящей прово­локи позволяют получать постоянное поле напряженностью свыше 10⁵ гс, т. е. 10 ед. СИ. Напряженность магнитного поля Земли у экватора составляет несколько десятых гаусса.

Обратимся снова к формуле (34.9) и возьмем для примера синхротрон, который разгоняет частицы до миллиарда электрон-вольт, т. е. дает частицы с рс, равным 10⁹ эв (ниже мы определим и энергию частиц). Пусть В = 10⁴ гс, или 1 ед. СИ, т. е. поле достаточно сильное, тогда R оказывается равным 3,3 м. Син­хротрон КАЛТЕХа имеет радиус 3,7 м, поле чуть больше взя­того нами, а энергию 1,5 млрд. эв (или Гэв), т. е. порядок всех величин тот же самый. Теперь становится понятным, почему синхротроны имеют такие размеры.

Выше мы брали импульс частиц; полная же энергия, вклю­чающая энергию покоя, дается формулой W = Ц(р2с² +m²с⁴). Энергия покоя электрона mс² равна 0,511·10⁶ эв, поэтому при импульсе рс — 10⁹ эв можно пренебречь величиной m²с⁴ и для всех практических целей пользоваться формулой W=рс, справедливой в случае релятивистских скоростей. Фактически нет никакой разницы, когда мы говорим, что энергия электро­на равна 1 Гэв или что импульс электрона, умноженный на с, равен 1 Гэв. Когда W=10⁹ эв, то, как легко показать, скорость частицы равна скорости света с точностью до одной восьмимил­лионной!

Теперь вернемся к излучению, испускаемому такой частицей. Двигаясь по окружности с радиусом 3,3 м и длиной 20 м,части­ца делает один оборот примерно за то же время, за которое свет проходит 20 м. Поэтому длина волны испускаемого излучения, казалось бы, равна 20 м, т. е. лежит в области коротких радио­волн. Но, как мы уже говорили, возникают пики излучения (см. фиг. 34.3) и из-за того, что скорость электрона отличается от скорости света с на одну восьмимиллионную, ширина пиков пренебрежимо мала по сравнению с расстоянием между ними. Ускорение, определяемое второй производной по времени, при­водит к появлению «фактора сокращения» 8·10⁶ в квадрате, потому что масштаб времени уменьшается в 8·10⁶ раз в области пика и входит он дважды. Поэтому эффективная длина волны должна быть в 64·10¹² раз меньше 20 м, что соответствует уже области рентгеновских лучей. (На самом деле эффект опреде­ляется значением не в самом пике, а некоторой областью около пика. Это дает вместо квадрата степень ³/₂, но все равно при­водит к длинам волн, несколько меньшим, чем в видимом свете.)



Фиг. 34.5, Падающий на решет­ку импульс света в форме острого пика после отражения дает в раз­ных направлениях лучи различной окраски.

Итак, если даже медленно движущийся электрон излучает радиоволны длиной порядка 20 м, то релятивистские эффекты сокращают длину волны настолько, что мы можем увидеть из­лучение! Очевидно, свет должен быть поляризован перпенди­кулярно однородному магнитному полю.

Предположим далее, что мы направили подобный пучок света (импульсы излучения возникают через большие промежут­ки времени, так что для простоты возьмем один такой импульс) на дифракционную решетку, состоящую из множества рассеи­вающих линий. Какая картина возникнет после прохождения излучения через решетку? (Казалось бы, мы должны увидеть красные, синие полосы света и т. д., если вообще мы будем ви­деть свет.) А что мы увидим на самом деле?

Импульс излучения попадает прямо на решетку, и все ос­цилляторы на линиях решетки начинают одновременно бешено колебаться туда и обратно. При этом они излучают в разных направлениях, как показано на фиг. 34.5. Но точка Р располо­жена ближе к одному концу решетки, и поэтому излучение попа­дает в нее сначала от А, потом от В и т. д., наконец, последним приходит импульс от самой крайней линии. В итоге совокуп­ность всех отраженных волн принимает такой вид, как показано на фиг. 34.6,а. Это электрическое поле, состоящее из целого ряда импульсов, очень походит на синусоидальную волну, при­чем длина волны есть расстояние между соседними импульса­ми, точь-в-точь как у монохроматической волны, падающей на дифракционную решетку! Таким образом, мы действительно увидим свет окрашенным. Но те же аргументы, казалось бы, позволяют думать, что «импульсы» любой формы создадут видимый свет.



Фиг. 34.6. Суммарное электри­ческое поле от совокупности ост­рых импульсов (а) и импульсов гладкой формы (б).





Фиг. 34.7. Крабовидная туманность. Снято без фильтра .

Нет, это не так. Предположим, что пики гораздо более гладкие; давайте снова сложим все рассеянные волны, разделенные небольшими временными интервалами (фиг. 34.6,б). Тогда мы увидим, что поле почти не испытывает колебаний и представляет собой весьма гладкую кривую, потому что каж­дый импульс мало меняется за промежуток времени между при­ходом двух соседних рассеянных волн.

Электромагнитное излучение, испускаемое релятивистской заряженной частицей, которая вращается в магнитном поле, называется синхротронным излучением. Происхождение этого названия очевидно, хотя такое излучение возникает не только в синхротронах и даже не только в условиях Земли. Весьма интересно и увлекательно то, что оно возникает и во Вселенной!

§ 4. Космическое еинхротронное излучение

К 1054 г. нашей эры китайская и японская цивилизации были одними из самых передовых в мире: китайцы и японцы уже тогда следили за явлениями во Вселенной, и в этот самый год они зафиксировали замечательное событие — внезапное появ­ление яркой звезды. (Любопытно, что ни один из европейских монахов, которые написали в средние века столько книг, и не подумал отметить это событие.) Как выглядит родившаяся звезда в настоящее время, показано на фиг. 34.7. Снаружи видно большое количество красных нитей, которые создаются атомами тонкой газовой оболочки, излучающими при своих







Фиг. 34.8. Крабовидная туман­ность.

Снято через синий фильтр и поляроид, а — электрический вектор направлен вертикально; б — электрический век­тор направлен по горизонтали.

собственных частотах; спектр излуче­ния состоит из ярких отдельных линий. Красный цвет обязан своим появле­нием азоту. А вот в центре светится странное размазанное пятно, излучаю­щее в непрерывном спектре частот, т. е. частоты, свойственные разным атомам, никак не выделены. Пятно это — вовсе не облако пыли, отражающее свет от соседних звезд, что могло бы тоже при­вести к непрерывному спектру излучения. Сквозь это образование можно увидеть звезды, значит, оно прозрачное и само излучает свет.

На фиг. 34.8 показан тот же объект, но теперь снятый в лучах участка спектра, где нет ярких линий, т. е. фактически видна только центральная часть. Кроме того, снимки делались через поляризатор, и два представленных снимка соответствуют двум взаимно перпендикулярным ориентациям поляризатора. Легко заметить, что снимки разные! Таким образом, приходящий к нам свет поляризован. Причина этого эффекта предположи­тельно состоит в том, что в туманности имеется местное магнит­ное поле, где крутится множество очень быстрых электронов.

Мы только что объяснили, каким образом электроны движутся в поле по окружности. Если к этому движению добавить любое равномерное движение в направлении поля, излучение поля не изменится, поскольку сила qvXВ не имеет компоненты вдоль поля, а синхротронное излучение (как мы уже отмечали) всегда поляризовано под прямым углом к на­правлению проекции магнитного поля на плоскость зрения.

Сопоставляя оба эти факта, мы видим, что на участке, где один снимок светлый, а другой темный, электрическое поле света должно быть полностью поляризовано в одном направле­нии. Это значит, что перпендикулярно указанному направлению имеется магнитное поле, а в тех участках, где второй снимок имеет светлое пятно, магнитное поле направлено по-другому. При внимательном изучении фиг. 34.8 можно заметить, что вдесь имеется, грубо говоря, ряд «линий», идущих в одном направлении на первом снимке и в перпендикулярном к нему направлении на втором снимке. Изображения имеют как бы волокнистую структуру. Можно думать, что магнитные силовые линии продолжаются довольно далеко в одном и том же направ­лении и поэтому, вероятно, возникают вытянутые участки магнитного поля, где электроны закручиваются в одном направ­лении, а в областях с другим направлением поля электроны закручиваются по-иному.

Почему энергия электронов остается большой столь долгое время? Ведь с момента взрыва прошло уже 900 лет; как же по­лучилось, что электроны крутятся все так же быстро? Причина такой продолжительности всего процесса в целом и сохранения электронами их большой энергии, в частности, до сих пор еще не совсем понятна.

§ 5. Тормозное излучение

Мы кратко расскажем еще об одном интересном эффекте, связанном с излучением быстродвижущейся частицы. По сущест­ву, этот процесс очень похож на только что описанное излуче­ние. Предположим, что имеется материал, содержащий заря­женные частицы и мимо пролетает очень быстрый электрон (фиг. 34.9). Тогда под действием электрического поля ядра электрон будет притягиваться и ускоряться, и на траекто­рии появится изгиб. Чему будет равно излучение электри­ческого поля в направлении С, если скорость электрона близка к скорости света? Вспомним наше правило: мы должны взять истинное движение, перенести его назад со скоростью с, и тогда мы получим кривую, производная которой определяет электрическое поле. Электрон примчался к нам со скоростью v, следовательно, при переносе получается обратное движение и вся траектория сожмется во столько раз, во сколь­ко с—v меньше с. Таким образом, при 1-v/c<<1 кривизна кажущейся траектории в точке В\' очень велика, и, взяв вто­рую производную, мы получаем мощное излучение в направле­нии движения. Следовательно, при прохождении через среду электроны большой энергии излучают вперед. Это явление на­зывается тормозным излучением. На практике синхротроны используются не столько для получения электронов большой



Фиг. 34.9. Быстрый электрон, пролетающий вблизи от ядра, из­лучает в направлении своего дви­жения.

энергии (возможно, если бы их лучше умели выводить из син­хротрона, мы бы этого не стали говорить), сколько для рождения энергичных фотонов, или у~квантов, в процессе прохождения электронов через плотные мишени, где они испускают тормозное излучение.

§ 6. Эффект Допплера





Рассмотрим теперь ряд других эффектов, связанных с движением источника. Пусть источник представляет собой покоящийся атом, колеблющийся со своей обычной частотой ш₀. Частота наблюдаемого света тогда будет равна w₀. Но возьмем другой пример: пусть такой же атом колеблется с частотой w₁ и в то же время весь атом, весь осциллятор как целое движется со скоростью v по направлению к наблюдателю. Тогда истинное движение в пространстве будет таким, как изоб­ражено на фиг. 34.10,а. Используем наш обычный прием и до­бавим ст, т. е. сместим всю кривую назад и получим колебания, представленные на фиг. 34.10,6. За промежуток времени т осциллятор проходит расстояние vт, а на графике с осями х\' и у\' соответствующее расстояние равно (с-v)t. Таким образом, число колебаний с частотой ш1, которое укладывалось в интер­вал Ат, на новом чертеже укладывается теперь уже в интервал Dt = (1-v/c) Dt; осцилляции сжимаются, и, когда новая кривая будет двигаться мимо нас со скоростью с, мы увидим свет более высокой частоты, увеличенной за счет



фактора сокращения (1-v/c). Итак, наблюдаемая частота равна

(34.10)

Можно, конечно, объяснить этот эффект и другими спосо­бами. Пусть, например, тот же атом испускает не синусоидаль­ную волну, а короткие импульсы (пип, пип, пип, пип) с неко­торой частотой ш1. С какой частотой мы будем их воспринимать? Первый импульс к нам придет спустя определенное время, а второй импульс придет уже через более короткое время, потому что атом за это время успел к нам приблизиться. Следова­тельно, промежуток времени между сигналами «пип» сокра­тился за счет движения атома. Анализируя эту картину с геометрической точки зрения, мы придем к выводу, что час­тота импульсов увеличивается в 1/(1-v/c) раз.





Фиг, 34.10. Движение осциллято­ра в плоскости х—z и в плоскости x\'—t.



Будет ли наблюдаться частота w= w₀/(1-v/c), если атом с собственной частотой ш₀ движется со скоростью v к наблюда­телю? Нет. Нам хорошо известно, что собственная частота дви­жущегося атома w₁ и частота покоящегося атома w₀ — не одно и то же из-за релятивистского замедления хода времени. Так что если w₀ — собственная частота покоящегося атома, то час­тота движущегося атома будет равна



(34.11)

Поэтому наблюдаемая частота w окончательно равна



(34.12)

Изменение частоты, возникающее в таком случае, назы­вается эффектом Допплера: если излучающий объект движет­ся на нас, излучаемый им свет кажется более синим, а если он движется от нас, свет становится более красным.

Приведем еще два других вывода этого интересного и важ­ного результата. Пусть теперь покоящийся источник излучает с частотой w₀, а наблюдатель движется со скоростью v к источ­нику. За время t наблюдатель сдвинется на новое расстояние vt от того места, где он был при t = 0. Сколько радиан фазы пройдет перед наблюдателем? Прежде всего, как и мимо любой фиксированной точки, пройдет ю₀t, а также некоторая добавка за счет движения источника, а именно vtk₀ (это есть число ради­ан на метр, умноженное на расстояние).

Отсюда число радиан за единицу времени, или наблюдаемая частота, равно w₁=w₀+k₀v. Весь этот вывод был произведен с точки зрения покоящегося наблюдателя; посмотрим, что уви­дит движущийся наблюдатель. Здесь мы снова должны учесть разницу в течении времени для наблюдателя в покое и движе­нии, а это значит, что мы должны разделить результат на Ц( 1-v2/с²). Итак, пусть k₀ есть волновое число (количество ради­ан на метр в направлении движения), а со₀ — частота; тогда частота, регистрируемая движущимся наблюдателем, равна