Глава 15

СПЕЦИАЛЬНАЯ

ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

§ 1. Принцип относительности

§ 2. Преобразование Лоренца

§ 3. Опыт Майкельсона — Морли

§ 4. Преобразование времени

§ 5. Лоренцево сокращение

§ 6. Одновремен­ность

§ 7. Четырехвекторы

§ 8. Релятивистская динамика

§ 9. Связь массы и энергии

§ 1. Принцип относительности

Свыше двухсот лет считалось, что урав­нения движения, провозглашенные Ньютоном, правильно описывают природу. Потом в них была обнаружена ошибка. Обнаружена и тут же исправлена. И заметил ошибку, и исправил ее в 1905 г. один и тот же человек — Эйн­штейн.





Второй закон Ньютона, выражаемый урав­нением



безмолвно предполагал, что m — величина постоянная. Но теперь мы знаем, что это не так, что масса тела возрастает со скоростью. В формуле, исправленной Эйнштейном, m появилась в таком виде:

Здесь «масса покоя» m₀— это масса неподвиж­ного тела, а c — скорость света (примерно 3·10⁵ км/сек).

Для кого теория нужна лишь для реше­ния задач, тому этой формулы будет вполне достаточно. Больше ничего от теории относи­тельности ему не понадобится; он просто вве­дет в законы Ньютона поправку на изменяе­мость массы. Из самой формулы очевидно, что рост массы в обычных условиях незначителен.

Даже если v — скорость спутника (около 8 км/сек), то и при этих условиях v/c =3/10⁵; под­становка этой величины в формулу показывает, что поправка к массе составит не более одной двухмиллиардной части самой массы, что, пожалуй, заметить невозможно. На самом деле, правильность формулы подтверждена наблюдением движения разнообразных частиц, скорость которых практически вплотную подходила к скорости света. В обычных условиях рост массы незаметен; тем заме­чательней, что он сперва был обнаружен теоретически, а уж после открыт на опыте. Хотя для достаточно больших скоростей рост может быть как угодно велик, открыт он был не таким путем. Закон этот в момент своего открытия означал лишь едва заметное изменение в некоторых цифрах. Тем интереснее разоб­раться, как сочетание физического размышления и физиче­ского эксперимента вызвало его к жизни. Вклад в это дело внесло немалое число людей, но конечным итогом их деятель­ности явилось открытие Эйнштейна.

У Эйнштейна, собственно говоря, есть две теории относи­тельности. Мы будем здесь говорить только о специальной теории относительности, ведущей свое начало с 1905 г. В 1915 г. Эйнштейн выдвинул еще одну теорию, называемую общей теорией относительности. Она обобщает специальную теорию на случай тяготения; мы не будем ее здесь обсуждать.

Принцип относительности впервые высказал Ньютон в одном из следствий из Законов Движения: «Относительные движения друг по отношению к другу тел, заключенных в каком-либо пространстве, одинаковы, покоится ли это про­странство или движется равномерно и прямолинейно без вра­щения». Это означает, к примеру, что при свободном полете межпланетного корабля с постоянной скоростью все опыты, поставленные на этом корабле, все явления, наблюдаемые на нем, будут таковы, как будто он покоится (конечно, при ус­ловии, что наружу из корабля выходить не будут). В этом смысл принципа относительности. Мысль эта — довольно про­ста; вопрос только в том, верно ли, что во всех опытах, произ­водимых внутри движущейся системы, законы физики выглядят такими же, какими они были бы, если бы система стояла на одном месте. Давайте же сначала посмотрим, так ли выглядят законы Ньютона в движущейся системе. Для этого нам снова понадобится помощь наших молодых людей — Мика и Джо.

Пускай Мик отправился вдоль по оси х с постоянной ско­ростью u и измеряет свое положение в какой-то точке, показан­ной на фиг. 15.1. Он обозначает «x-расстояние» точки в своей системе координат как х\'. Джо стоит на месте и измеряет по­ложение той же точки, обозначая ее x-координату в своей системе через х. Связь между координатами в двух системах ясна из рисунка. За время t начало системы Мика сдвинулось на ut, и если обе системы вначале совпадали, то

x\'=x-ut, у\'=у,

z\'=z, t\' =t. (15.2)

Если подставить эти преобразования координат в законы Нью­тона, то законы эти превращаются в такие же законы, но в штрихованной системе; это значит, что законы Ньютона имеют одинаковый вид в движущейся и в неподвижной системах; потому-то, проделав любые опыты по механике, и нельзя ска­зать, движется система или нет.

Принцип относительности применялся в механике уже издавна. Многие, в частности Гюйгенс, пользовались им для вывода законов столкновения биллиардных шаров почти так же, как мы в гл. 10 доказывали сохранение импульса.

В прошлом столетии в результате исследования явлений электричества, магнетизма и света интерес к принципу отно­сительности возрос. Максвелл подытожил в своих уравнениях электромагнитного поля многие тщательные исследования этих явлений. Его уравнения сводят воедино электричество, магнетизм, свет. Однако уравнения Максвелла, по-видимому, не подчиняются принципу относительности: если преобразо­вать их подстановкой (15.2), то их вид не останется прежним. Значит, в движущемся межпланетном корабле оптические и электрические явления не такие, как в неподвижном; их можно использовать для определения его скорости, в частности опре­делить и абсолютную скорость корабля, сделав подходящие электрические или оптические измерения. Одно из следствий уравнений Максвелла заключается в том, что если возмущение поля порождает свет, то эти электромагнитные волны распро­страняются во все стороны одинаково и с одинаковой ско­ростью с=300 000 км/сек. Другое следствие уравнений: если источник возмущения движется, то испускаемый свет все равно мчится сквозь пространство со скоростью с. Так же бывает и со звуком: скорость звуковых волн тоже не зависит от движения источника.

Эта независимость от движения источника света ставит интересный вопрос. Положим, что мы едем в автомашине со скоростью и, а свет от задних фар распространяется со ско­ростью с. Дифференцируя первую строчку в (15.2), получаем









Фиг. 15.1. Две системы коорди­нат, находящиеся в равномерном относительном движении вдоль оси х.

Это означает, что, в согласии с преобразованиями Галилея, видимая скорость света по измерениям, проведенным из авто­машины, будет не с, а с — и. Например, скорость автомашины 100 000 км/сек, а скорость света 300 000 км/сек, тогда свет от фар будет удаляться с быстротой 200 000 км/сек. Во всяком случае, измерив скорость света, испускаемого фарами (если только справедливы преобразования Галилея для света), можно узнать скорость автомашины. На этой идее основыва­лось множество опытов по определению скорости Земли, но ни один из них не удался: никакой скорости обнаружено не было. Вы скоро познакомитесь очень подробно с одним из таких опытов. Вы разберетесь, что в нем случилось и в чем было дело. Что-то неладное творилось в ту пору с уравнениями физики. Но что именно?

§ 2. Преобразование Лоренца

Когда стало ясно, что с уравнениями физики не все ладится, первым долгом подозрение пало на уравнения электродинамики Максвелла. Они только-только были написаны, им было всего 20 лет от роду; казалось почти естественным, что они неверны. Их принялись переписывать, видоизменять и подгонять к тому, чтобы оказался выполненным принцип относительности в галилеевой форме (15.2). При этом в уравнениях электро­динамики появились новые члены; они предсказывали новые электрические явления, но эксперимент никаких таких явлений не обнаружил, и пришлось отказаться от попыток изменить уравнения Максвелла. Постепенно всем становилось ясно, что максвелловы законы электродинамики абсолютно правильны, а загвоздка в чем-то другом.

Между тем Лоренц заметил одно замечательно любопыт­ное явление: когда он делал в уравнениях Максвелла под­становку





то форма уравнений после подстановки не менялась! Урав­нения (15.3) теперь называют преобразованием Лоренца. А Эйн­штейн, следуя мысли, впервые высказанной Пуанкаре, пред­положил, что все физические законы не должны меняться от преобразований Лоренца. Иными словами, надо менять не законы электродинамики, а законы механики. Но как же изменять законы Ньютона, чтобы они при преобразованиях Лоренца не менялись? Когда такая цель поставлена, то остается только переписать уравнения Ньютона так, чтобы выполнялись поставленные условия. Как оказалось, единственное, что нужно от них потребовать,— это, чтоб масса m в уравнениях Ньютона приобрела вид (15.1). Стоит внести это изменение, и наступает полная гармония между уравнениями Ньютона и Максвелла. Если вы теперь, желая согласовать измерения, проведенные Миком и Джо, используете преобразования Лоренца, то вы ни за что не узнаете, кто из них движется, ибо форма всех урав­нений в обеих системах координат будет одной и той же!

Интересно понять, что означает эта замена старых преобра­зований координат и времени на новые. Старые (галилеевы) кажутся очевидными, новые (лоренцевы) выглядят необычно. Как же это может быть, с логической и с экспериментальной точек зрения, что справедливы не старые преобразования, а новые? Чтобы разобраться в этом, мало изучить законы меха­ники, надо (как это и сделал Эйнштейн) проанализировать и наши представления о пространстве и времени, иначе этих преобразований не поймешь. В течение некоторого времени мы будем изучать эти представления и следствия из них. По­камест же стоит отметить, что такой анализ оказывается вполне оправданным — его результаты согласуются с данными опыта.

§ 3. Опыт Майкелъсона— Морли

Мы уже говорили, что в свое время были сделаны попытки определить абсолютную скорость движения Земли сквозь воображаемый «эфир», который, как думали тогда, пропиты­вает собой все пространство. Самый известный из таких опытов проделали в 1887 г. Майкельсон и Морли. Но только через 18 лет отрицательные результаты их опыта объяснил Эйнштейн.





Фиг. 15.2. Схема опыта Майкельсона — Морли.

Для опыта Майкельсона — Морли использовался прибор, схема которого показана на фиг. 15.2. Главные части при­бора: источник света А, посеребренная полупрозрачная стек­лянная пластинка В, два зеркала С и Е. Все это жестко укреп­ляется на тяжелой плите. Зеркала С и Е размещены были на одинаковом расстоянии L от пластинки В. Пластинка В рас­щепляет падающий пучок света на два, перпендикулярных один к другому; они направляются на зеркала и отражаются обратно на пластинку В. Пройдя снова сквозь пластинку В, оба пучка накладываются друг на друга (D и F). Если время прохождения света от В до Е и обратно равно времени про­хождения от В до С и обратно, то возникающие пучки D и F окажутся в фазе и усилятся взаимно; если же эти времена хоть немного отличаются, то в пучках возникает сдвиг по фазе и, как следствие,— интерференция. Если прибор в эфире «покоится», то времена в точности равны, а если он движется направо со скоростью и, то появится разница во времени. Давайте по­смотрим, почему.

Сначала подсчитаем время прохождения света от В к Е и обратно. Пусть время «туда» равно t_1? а время «обратно» равно t₂. Но пока свет движется от В до зеркала, сам прибор уйдет на расстояние ut₁, так что свету придется пройти путь L+-ut₁ со скоростью с. Этот путь можно поэтому обозначить и как ct₁; следовательно,





(этот результат становится очевидным, если учесть, что ско­рость света по отношению к прибору есть с — и; тогда как раз время равно длине L, деленной на с — и). Точно так же можно рассчитать и t₂. За это время пластинка В приблизится на расстояние ut₂, так что свету на обратном пути придется пройти только L-ut_z. Тогда

Общее же время равно









удобнее это записать в виде

А теперь подсчитаем, сколько времени t₃ свет будет идти от пластинки В до зеркала С. Как и прежде, за время t₃ зеркало С сдвинется направо на расстояние ut₃ (до положения С\'), а свет пройдет по гипотенузе ВС\' расстояние ct₃. Из



прямоугольного треугольника следует





или

откуда









При обратной прогулке от точки С\' свету приходится пройти то же расстояние; это видно из симметрии рисунка. Значит, и время возвращения то же (t₃), а общее время равно 2t₃. Мы запишем его в виде

Теперь мы можем сравнить оба времени. Числители в (15.4) и (15.5) одинаковы — это время распространения света в по­коящемся приборе. В знаменателях член u²/с² мал, если только и много меньше c. Знаменатели эти показывают, насколько изме­няется время из-за движения прибора. Заметьте, что эти из­менения неодинаковы — время прохождения света до С и обратно чуть меньше времени прохождения до Е и обратно. Они не совпадают, даже если расстояния от зеркал до В оди­наковы. Остается только точно измерить эту разницу.

Здесь возникает одна техническая тонкость: а что если длины L не точно равны между собой? Ведь точного равенства все равно никогда не добьешься. В этом случае надо просто повернуть прибор на 90°, расположив ВС по движению, a BE — поперек. Различие в длинах тогда перестает играть роль, и остается только наблюдать за сдвигом интерференционных полос при повороте прибора.

Во время опыта Майкельсон и Морли расположили прибор так, что отрезок BE оказался параллельным движению Земли по орбите (в определенный час дня и ночи). Орбитальная ско­рость равна примерно 30 км/сек, и «снос эфира» в определенные часы дня или ночи и в определенное время года должен до­стигать этой величины. Прибор был достаточно чувствителен, чтобы заметить такое явление. Но никакого различия во вре­менах обнаружено не было — скорость движения Земли сквозь эфир оказалось невозможно обнаружить. Результат опыта был нулевой.

Это было загадочно. Это настораживало. Первую плодо­творную идею, как выйти из тупика, выдвинул Лоренц. Он допустил, что все материальные тела при движении сжимаются, но только в направлении движения. Таким образом, если длина покоящегося тела есть L₀, то длина тела, движущегося

со скоростью и (назовем ее L\\\\, где значок \\\\ показывает, что движение происходит вдоль длины тела), дается формулой

Lll=L₀Ц(1-u²/c²). (15.6)





Если эту формулу применить к интерферометру Майкельсона — Морли, то расстояние от В до С останется прежним, а расстояние от В до E укоротится до LЦ(1-u²/с²). Таким об­разом, уравнение (15.5) не изменится, но L в уравнении (15.4) изменится в соответствии с (15.6). В результате мы получим

Сравнивая это с (15.5), мы видим, что теперь t₁+t₂=2t₃. Стало быть, если прибор действительно сокращается так, как мы предположили, то становится понятным, почему опыт Майкельсона — Морли никакого эффекта не дал.

Хотя гипотеза сокращения успешно объясняла отрица­тельный итог опыта, она сама оказалась беззащитной перед обвинением, что ее единственная цель — избавиться от труд­ностей в объяснении опыта. Она была чересчур искусственной. Однако сходные трудности возникали и в других опытах по обнаружению эфирного ветра. В конце концов стало казаться, что природа вступила в «заговор» против человека, что она прибегла к конспирации и то и дело вводит какие-то новые явления, чтобы свести к нулю каждое явление, с помощью которого человек пытается измерить и.

И наконец, было признано (на это указал Пуанкаре), что полная конспирация — это и есть закон природы! Пуанкаре предположил, что в природе есть закон, заключающийся в том, что нельзя обнаружить эфирный ветер никаким способом, т. е. абсолютную скорость обнаружить невозможно.

§ 4. Преобразование времени

При проверке, согласуется ли идея о сокращении расстоя­ний с фактами, обнаруженными в других опытах, оказывается, что все действительно согласуется, если только считать, что время тоже преобразуется и притом так, как это высказано в уравнении (15.3). По этой-то причине время t₃, которое затратит свет на путешествие от В к С и обратно, оказывается неодина­ковым, если его вычисляет человек, делающий этот опыт в движущемся межпланетном корабле, или же неподвижный наблюдатель, который следит со стороны за этим кораблем. Для первого время t₃ равно просто 2L/c, а для второго оно равно 2L/cЦ(1-u²/с²) [уравнение (15.5)]. Иными словами, если вы со стороны наблюдаете, как космонавт закуривает папиросу, вам кажется, что он делает это медленнее, нежели обычно, хотя сам он считает, что все происходит в нормальном темпе. Стало быть, не только длины должны сокращаться, но и приборы для измерения времени («часы») должны замедлить свой ход. Иначе говоря, когда часы на космическом корабле отсчи­тывают, по мнению космонавта, 1 сек, то, по мнению стороннего

! наблюдателя, пройдет 1/Ц(1-u²/с²) сек.

Замедление хода часов в движущейся системе — явление весьма своеобразное, и его стоит пояснить. Чтобы понять его, давайте проследим, что бывает с часовым механизмом, когда часы движутся. Так как это довольно сложно, то лучше часы выбрать попроще. Пусть это будет стержень (метровой длины) с зеркалами на обоих концах. Если пустить световой сигнал между зеркалами, то он будет без конца бегать туда-сюда, а часы будут тикать каждый раз, как только свет достигнет нижнего конца. Конструкция довольно глупая, но в принципе такие часы возможны. И вот мы изготовим двое таких часов со стержнями равной длины и синхронизуем их ход, пустив их одновременно; ясно, что они всегда будут идти одинаково: ведь длина стержней одна и та же, а скорость света с — тоже. Дадим одни часы космонавту; пусть он возьмет их с собой на межпланетный корабль и поставит их поперек направления движения, тогда длина стержня не изменится. Да, но откуда \' мы знаем, что поперечная длина не меняется? Наблюдатель может договориться с космонавтом, что на высоте у в тот мо­мент, когда стержни поравняются, каждый сделает другому на его стержне метку. Из симметрии следует, что отметки придутся на те же самые координаты у и y\', в противном случае одна метка окажется ниже или выше другой и, сравнив их,

можно будет сказать, кто из них двигался на самом деле. Так что же происходит в движущихся часах? Входя на борт корабля, космонавт убедился, что это вполне приличные стан­дартные часы и ничего особенного в их поведении на корабле он не заметил. Если бы он что-то заметил, то сразу понял бы, что он движется; если хоть что-то меняется в результате движения, то ясно, что он движется. Принцип же относи­тельности утверждает, что в равномерно движущейся системе это невозможно; стало быть, в часах никаких изменений не произошло. С другой стороны, когда внешний наблюда­тель взглянет на пролетающие мимо часы, он увидит, что свет, перебегая от зеркала к зеркалу, на самом деле движется зигзагами, потому что стержень все время перемещается боком. Мы уже анализировали такое зигзагообразное дви­жение в связи с опытом Майкельсона — Морли. Когда за заданное время стержень сдвинется на расстояние, пропорциональное u (фиг. 15.3), то расстояние, пройденное за то же время светом, будет пропорционально с, и поэтому расстоя­ние по вертикали пропорционально Ц(с²-и²).





Фиг. 15.3. Опыт со «световыми часами».

а, — «световые часы» покоятся в си­стеме S \'; б—те же часы движутся через систему S; в — диагональ, по которой движется пучок света в движущихся «световых часах».

Значит, свету понадобится больше времени, чтобы пройти движущийся стержень из конца в конец,— больше, чем когда стержень неподвижен. Поэтому кажущийся промежуток вре­мени между тиканьями движущихся часов удлинится в той же пропорции, во сколько гипотенуза треугольника длиннее катета (из-за этого в формуле и появляется корень). Из рисунка также видно, что чем и больше, тем сильнее видимое замедление хода часов. И не только такие часы начнут отставать, но (если только теория относительности правильна!) любые часы, ос­нованные на любом принципе, также должны отстать, причем в том же отношении. За это можно поручиться, не проделывая дальнейшего анализа. Почему?

Чтобы ответить и на этот вопрос, положим, что у нас есть еще двое часов, целиком сходных между собой, скажем, с зубчатками и камнями, или основанных на радиоактивном распаде, или еще каких-нибудь. Опять согласуем их ход с нашими первыми часами. Пусть, пока свет прогуляется до конца и обратно, известив о своем прибытии тиканьем, за это время новая модель завершит свой цикл и тоже воз­вестит об этом какой-нибудь вспышкой, звонком или любым иным сигналом. Захватим с собой на космический корабль новую модель часов. Может быть, эти часы уже не отстанут, а будут идти так же, как их неподвижный двойник. Ах, нет! Если они разойдутся с первой моделью (которая тоже нахо­дится на корабле), то человек сможет использовать этот раз­нобой между показаниями обоих часов, чтобы определить скорость корабля. А ведь считается, что скорость узнать не­мыслимо. Смотрите, как ловко! Нам не нужно ничего знать о механизме работы новых часов, не нужно знать, что именно в них замедляется, мы просто знаем, что, какова бы ни была причина, ход часов будет выглядеть замедленным, и притом в любых часах одинаково.

Что же выходит? Если все движущиеся часы замедляют свой ход, если любой способ измерения времени приводит к замедленному темпу течения времени, нам остается только сказать, что само время, в определенном смысле, кажется на движущемся корабле замедленным. На корабле все: и пульс космонавта, и быстрота его соображения, и время, потребное для зажигания папиросы, и период возмужания и постарения — все это должно замедлиться в одинаковой степени, ибо иначе можно будет узнать, что корабль движется. Биологи и медики иногда говорят, что у них нет уверенности в том, что раковая опухоль будет в космическом корабле развиваться дольше.

Однако с точки зрения современного физика это случится почти наверняка; в противном случае можно было бы по бы­строте развития опухоли судить о скорости корабля!

Очень интересным примером замедления времени при дви­жении снабжают нас мю-мезоны (мюоны) — частицы, которые в среднем через 2,2·10^-6 сек самопроизвольно распадаются. Они приходят на Землю с космическими лучами, но могут быть созданы и искусственно в лаборатории. Часть космических мюонов распадается еще на большой высоте, а остальные — только после того, как остановятся в веществе. Ясно, что при таком кратком времени жизни мюон не может пройти больше 600 м, даже если он будет двигаться со скоростью света. Но хотя мюоны возникают на верхних границах атмосферы, при­мерно на высоте 10 км и выше, их все-таки обнаруживают в земных лабораториях среди космических лучей. Как это может быть? Ответ состоит в том, что разные мюоны летят с различными скоростями, иногда довольно близкими к скорости света. С их собственной точки зрения они живут всего лишь око­ло 2 мксек, с нашей же — их жизненный путь несравненно более долог, достаточно долог, чтобы достигнуть поверхности Земли. Их жизнь удлиняется в 1/Ц(1-u²/c²) раз. Среднее время жизни мюонов разных скоростей было точно измерено, причем полу­ченное значение хорошо согласуется с формулой.

Мы не знаем, почему мезон распадается и каков его внут­ренний механизм, но зато мы знаем, что его поведение удов­летворяет принципу относительности. Тем и полезен этот принцип — он позволяет делать предсказания даже о тех вещах, о которых другим путем мы мало чего узнаем. К при­меру, еще не имея никакого представления о причинах распада мезона, мы все же можем предсказать, что если его скорость со­ставит ⁹/₁₀ скорости света, то кажущаяся продолжительность отведенного ему срока жизни будет равна 2,2 · 10^-6/Ц(1-9²/10²) сек. И это предсказание оправдывается. Правда, неплохо?

§ 5. Лоренцево сокращение

Теперь мы вернемся к преобразованию Лоренца (15.3) и попытаемся лучше понять связь между системами координат (х, у, z, t) и (х\', у\', z\', t\'). Будем называть их системами S и S\', или соответственно системами Джо и Мика. Мы уже отметили, что первое уравнение основывается на предположении Лоренца о том, что по направлению х все тела сжимаются. Как же можно доказать, что такое сокращение действительно бывает? Мы уже понимаем, что в опыте Майкельсона — Морли по принципу относительности поперечное плечо ВС не может сократиться; в то же время нулевой результат опыта требует,



чтобы времена были равны. Чтобы получился такой результат, приходится допустить, что продольное плечо BE кажется сжатым в отношении Ц(1-и²/с²). Что означает это сокращение на языке Джо и Мика? Положим, что Мик, двигаясь с системой S\' в направлении х\', измеряет метровой линейкой координату х\' в некоторой точке. Он прикладывает линейку х\' раз и ду­мает, что расстояние равно х\' метрам. С точки же зрения Джо, (в системе S) линейка у Мика в руках укорочена, а «на самом деле» отмеренное им расстояние равно x\'Ц(1-u²/с²) метров. Поэтому если система S\' удалилась от системы S на расстояние ut, то наблюдатель в системе S должен сказать, что эта точка (в его координатах) удалена от начала на x=x\'Ц(1-u²/c²)+ut, или







Это и есть первое уравнение из преобразований Лоренца.

§ 6. Одновременность





Подобным же образом из-за различия в масштабах времени появляется и знаменатель в уравнении (15.Зг) в преобразо­ваниях Лоренца. Самое интересное в этом уравнении — это новый и неожиданный член в числителе, член ux/с². В чем его смысл? Внимательно вдумавшись в положение вещей, можно понять, что события, происходящие, по мнению Мика (на­блюдателя в системе S\'), в разных местах одновременно, с точки зрения Джо (в системе S), вовсе не одновременны. Когда одно событие случилось в точке x₁ в момент t₀, а другое — в точке х₂ в тот же момент t₀, то соответствующие моменты t₁ и t₂ отличаются на



Это явление можно назвать «нарушением одновременности удаленных событий». Чтобы пояснить его, рассмотрим сле­дующий опыт.

Пусть человек, движущийся в космическом корабле (система S\'), установил в двух концах корабля часы. Он хочет знать, одинаково ли они идут. Как синхронизовать ход часов? Это можно сделать по-разному. Вот один из способов, он почти не требует вычислений. Расположимся как раз где-то посредине между часами. Из этой точки пошлем в обе стороны световые сигналы. Они будут двигаться в обоих направлениях с оди­наковой скоростью и достигнут обоих часов в одно и то же время. Вот этот-то одновременный приход сигналов и можно применить для согласования хода. Положим, что человек в S\' таким способом согласует ход часов. Посмотрим, согласится ли наблюдатель в системе S, что эти часы идут одинаково. Космонавт в системе S\' имеет право верить, что их ход оди­наков; ведь он не знает, что он движется. Но наблюдатель в системе S сразу рассудит, что раз корабль движется, то часы на носу корабля удалились от светового сигнала и свету при­шлось пройти больше половины длины корабля, прежде чем он достиг часов; часы на корме, наоборот, двигались к све­товому сигналу — значит, его путь сократился. Поэтому сигнал сперва дошел до часов на корме, хотя космонавту в системе S\' показалось, что сигналы достигли обоих часов одновременно. Итак, выходит, что когда космонавт считает, что события в двух местах корабля произошли одновременно (при одном и том же значении t\' в его системе координат), то в другой системе координат одинаковым t\' отвечают разные значения t!

§ 7. Четырехвекторы

Что еще можно обнаружить в преобразованиях Лоренца? Любопытно, что в них преобразование х и t по форме похоже на преобразование хну, изученное нами в гл. 11, когда мы говорили о вращении координат. Тогда мы получили







т. е. новое х\' перемешивает старые х и y, а у\' тоже их переме­шивает. Подобным же образом в преобразовании Лоренца новое х\' есть смесь старых х и t, а новое t\' — смесь t и х. Зна­чит, преобразование Лоренца похоже на вращение, но «вра­щение» в пространстве и времени. Это весьма странное поня­тие. Проверить аналогию с вращением можно, вычислив ве­личину

В этом уравнении три первых члена в каждой стороне пред­ставляют собой в трехмерной геометрии квадрат расстояния между точкой и началом координат (сферу). Он не меняется (остается инвариантным), несмотря на вращение осей коор­динат. Аналогично, уравнение (15.9) свидетельствует о том, что существует определенная комбинация координат и вре­мени, которая остается инвариантной при преобразовании Лоренца, Значит, имеется полная аналогия с вращением; аналогия эта такого рода, что векторы, т. е. величины, составленные из «компонент», преобразуемых так же, как и коорди­наты, оказываются полезными и в теории относительности.

Итак, мы расширим понятие вектора. Пока он у нас мог иметь только пространственные компоненты. Теперь включим в это понятие и временную компоненту, т. е. мы ожидаем, что существуют векторы с четырьмя компонентами: три из них похожи на компоненты обычного вектора, а к ним привязана четвертая — аналог времени.

В следующих главах мы проанализируем это понятие. Мы увидим, что если идеи этого параграфа приложить к импульсу, то преобразование даст три пространственные составляющие, подобные обычным компонентам импульса, и четвертую ком­поненту — временную часть (которая есть не что иное, как энергия).

§ 8. Релятивистская динамика

Теперь мы готовы к тому, чтобы с более общей точки зрения исследовать, как преобразования Лоренца изменяют законы механики. [До сих пор мы только объясняли, как изменяются длины и времена, но не объяснили, как получить измененную формулу для т, уравнение (15.1). Это будет сделано в следу­ющей главе.] Изучение следствий формулы Эйнштейна для массы m в механике Ньютона мы начнем с закона силы. Сила есть быстрота изменения импульса, т. е.

F=d(mv)/dt





Импульс по-прежнему равен mv, но теперь

Это законы Ньютона в записи Эйнштейна. При этом видоиз­менении, если действие и противодействие по-прежнему равны (может, не в каждый момент, но по крайней мере после усред­нения по времени), то, как и раньше, импульс должен со­храняться, но сохраняющейся величиной является не старое mv при постоянном m, а выражение (15.10) с переменной мас­сой. С таким изменением в формуле для импульса сохранение импульса по-прежнему будет существовать.

Посмотрим теперь, как импульс зависит от скорости. В нью­тоновой механике он ей пропорционален. В релятивистской механике в большом интервале скоростей (много меньших с) они также примерно пропорциональны [см. (15.10)], потому что корень мало отличается от единицы. Но когда v почти равно с, то корень почти равен нулю и импульс поэтому бес­предельно растет.

Что бывает, когда на тело долгое время воздействует по­стоянная сила? В механике Ньютона скорость тела беспрерывно будет возрастать и может превысить даже скорость света. В релятивистской же механике это невозможно. В теории относительности беспрерывно растет не скорость тела, а его импульс, и рост этот сказывается не на скорости, а на массе тела. Со временем ускорение, т. е. изменения в скорости, прак­тически исчезает, но импульс продолжает расти. Поскольку сила приводит к очень малым изменениям в скорости тела, мы, естественно, считаем, что у тела громадная инерция. Но как раз это самое и утверждает релятивистская формула (15.10) для массы тела; она говорит, что инерция крайне велика, когда v почти равно с. Разберем пример. Чтобы откло­нить быстрые электроны в синхротроне Калифорнийского Технологического института, необходимо магнитное поле, в 2000 раз более сильное, чем следует из законов Ньютона. Иными словами, масса электронов в синхротроне в 2000 раз больше их нормальной массы, достигая массы протона! Если m в 2000 раз больше m₀, то 1-v²/с² равно 1/4 000 000, или v от­личается от с на 1/8 000 000, т.е. скорость электронов вплотную подходит к скорости света. Если электроны и свет одновре­менно отправятся в соседнюю лабораторию (находящуюся, скажем, в 200 м), то кто явится первым? Ясное дело, свет: он всегда движется быстрее. Но насколько быстрее? Трудно сказать, насколько раньше во времени, но зато можно ска­зать, на какое расстояние отстанут электроны: на ¹/₃₀ мм, т. е. на ¹/₃ толщины этого листка бумаги! Масса электронов в этих состязаниях чудовищна, а скорость не выше скорости света.

На чем еще скажется релятивистский рост массы? Рас­смотрим движение молекул газа в баллоне. Если газ нагреть, скорость молекул возрастет, а вместе с нею и их масса. Газ станет тяжелее. Насколько?





Разлагая т₀/Ц(1-v²/c²)=m₀(1-v²/с²)^-1/2 в ряд по формуле бинома Ньютона, можно найти приближенно рост массы при малых скоростях. Получается





Из формулы ясно, что при малых v ряд быстро сходится и первых двух-трех членов здесь вполне достаточно. Значит, можно написать

где второй член и выражает рост массы за счет повышения скорости. Когда растет температура, v² растет в равной мере, значит, увеличение массы пропорционально повышению тем­пературы. Но ¹/₂т₀v² — это кинетическая энергия в старомод­ном, ньютоновом смысле этого слова. Значит, можно сказать, что прирост массы газа равен приросту кинетической энергии, деленной на с², т. е. Dm=D(к.э.)/с².

§ 9. Связь массы и энергии

Это наблюдение навело Эйнштейна на мысль, что массу тела можно выразить проще, чем по формуле (15.1), если сказать, что масса равна полному содержанию энергии в теле, деленному на с². Если (15.11) помножить на с², получается

mc²=m₀с²+¹/₂m₀v²+... . (15.12)

Здесь левая часть дает полную энергию тела, а в последнем члене справа мы узнаем обычную кинетическую энергию. Эйнштейн осмыслил первый член справа (очень большое по­стоянное число т₀с²) как часть полной энергии тела, а именно как его внутреннюю энергию, или «энергию покоя».

К каким следствиям мы придем, если вслед за Эйнштейном предположим, что энергия тела всегда равна тс²? Тогда мы сможем вывести формулу (15.1) зависимости массы от скорости, ту самую, которую до сих пор мы принимали на веру. Пусть тело сперва покоится, обладая энергией т₀с². Затем мы при­кладываем к телу силу, которая сдвигает его с места и постав­ляет ему кинетическую энергию; раз энергия примется воз­растать, то начнет расти и масса (это все заложено в первона­чальном предположении). Пока сила действует, энергия и масса продолжают расти. Мы уже видели (см. гл. 13), что быстрота роста энергии со временем равна произведению силы на скорость

de/dt=F·v. (15.13)





Кроме того, F=d(mv)/dt [см. гл. 9, уравнение (9.1)]. Связав все это с определением Е и подставив в (15.13), получим





Мы хотим решить это уравнение относительно m. Для этого помножим обе части на 2m. Уравнение обратится в





Теперь нам нужно избавиться от производных, т. е. проин­тегрировать обе части равенства. В величине (2m) dm/dt можно узнать производную по времени от m², а в (2mv)·d(mv)/dt— производную по времени от (mv)². Значит, (15.15) совпадает с

Когда производные двух величин равны, то сами величины могут отличаться не больше чем на константу С. Это позво­ляет написать

m²с²=m²v²+C. (15.17)

Определим теперь константу С явно. Так как уравнение (15.17) должно выполняться при любых скоростях, то можно взять v=0 и обозначить в этом случае массу через m₀. Подстановка этих чисел в (15.17) дает

m²₀c²=0+С.

Это значение С теперь можно подставить в уравнение (15.17). Оно принимает вид

m²c²=m2v2+m²₀c². (15.18)

Разделим на с² и перенесем члены с m в левую часть

m²(1-v²/c²)=m²₀,

откуда







А это и есть формула (15.1), т. е. как раз то, что необходимо, чтобы в уравнении (15.12) было соответствие между массой и энергией.

В обычных условиях изменения в энергии приводят к очень малым изменениям в массе: почти никогда не удается из дан­ного количества вещества извлечь много энергии; но в атомной бомбе с энергией взрыва, эквивалентной 20 000 тонн трини­тротолуола, весь пепел, осевший после взрыва, на 1 г легче первоначального количества расщепляющегося материала. Это потому, что выделилась энергия, которая имела массу 1 г, в согласии с формулой DE=D(mc²). Вывод об эквивалент­ности массы и энергии прекрасно подтвердился в опытах по аннигиляции материи — превращению вещества в энергию. Электрон с позитроном могут взаимодействовать в покое, имея каждый массу покоя m₀. При сближении они исчезают, а вместо них излучаются два g-луча, каждый опять с энергией т₀с². Этот опыт прямо сообщает нам о величине энергии, свя­занной с существованием массы покоя у частицы.

* Правда, видимый свет проиграет гонку из-за преломления в воз­духе. А g-излучение ее, несомненно, выиграет.

* Выпуск 1

Глава 16

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭНЕРГИЯ И РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ИМПУЛЬС

§ 1. Относитель­ность и «фило­софы»

§ 2. Парадокс близнецов

§ 3. Преобразование скоростей

§ 4. Релятивистская масса

§ 5. Релятивистская энергия

§ 1. Относительность и «философы»

В этой главе мы продолжим обсуждение принципа относительности Эйнштейна — Пуан­каре, его влияния на наши физические воз­зрения и на весь характер человеческого мыш­ления.

Пуанкаре следующим образом сформулиро­вал принцип относительности: «Согласно прин­ципу относительности, законы физических явле­ний обязаны быть одинаковыми для непод­вижного наблюдателя и для наблюдателя, ко­торый относительно него переносится равно­мерным движением, так что у нас нет и не может быть никаких способов отличить, уно­сит ли нас такое движение или не уносит».

Когда эта мысль обрушилась на человечест­во, среди философов началась суматоха. Осо­бенно среди «философов за чашкой чая», кото­рые говорят: «О, это очень просто: теория Эйн­штейна утверждает, что все относительно!» Поразительное множество таких «философов»— и не только рассуждающих за чашкой чая (впрочем, не желая их обижать, я буду говорить только о «философах за чашкой чая»)—твердят: «Из открытий Эйнштейна следует, что все отно­сительно; это оказало глубокое влияние на нашу мысль». И еще потом добавляют: «В физике было доказано, что явления зависят от системы отсчета». Можно услышать немало подобных ве­щей, но трудно понять их смысл. По-видимому, системы отсчета, о которых идет речь, — это те системы координат, которыми мы пользовались в анализе теории относительности. Итак, тот факт, что «все зависит от системы отсчета», оказывает могучее влияние на современную мысль. Остается только удивляться, почему? Ведь прежде всего сама идея: «все зависит от точки зрения» — настолько проста, что, несомненно, не было нужды обременять себя анализом трудностей физической теории относительности, чтобы открыть ее. Всякий, кто идет по тротуару, знает, что все, что он видит, зависит от его системы отсчета. Сперва он видит лица прохожих, а уж потом — их затылки. И почти во всех философских заключениях, о которых говорят, что они проистекли из теории относительности, нет ничего более глу­бокого, чем утверждения типа: «Пешеход выглядит спереди иначе, нежели сзади». Известный рассказ о нескольких слепых, споривших, на что похож слон, тоже весьма напоминает теорию относительности с точки зрения таких философов.

Но в теории относительности, пожалуй, есть кое-что и поглубже, чем наблюдение, что человек спереди выглядит иначе, чем сзади. Принцип относительности куда глубже этого, ведь с его помощью мы можем делать определенные пред­сказания. Но было бы более чем странно, если бы только это наблюдение позволило нам предсказывать поведение природы.

Есть и другая школа «философов». Эти чувствуют себя очень неуютно из-за теории относительности, которая заявляет, что нельзя определить свою абсолютную скорость, не глядя ни на что снаружи корабля. Они восклицают: «Вполне понятно, что никто не может измерить своей скорости, не выглядывая наружу. Само собой очевидно, что бессмысленно говорить о чьей-то скорости, если не глядеть по сторонам. Глупцы были те физики, которые думали иначе. Их вдруг осенило, вот они и рады; но если бы мы, философы, представляли, какие пробле­мы стояли перед физиками, мы их давно решили бы чисто моз­говым усилием и сразу же поняли бы, что невозможно опре­делить скорость, не выглянув наружу. И мы сделали бы гро­мадный вклад в эту их физику». Эти философы всегда топчутся около нас, они мельтешат на обочинах науки, то и дело поры­ваясь сообщить нам что-то. Но никогда на самом деле они не понимали всей тонкости и глубины наших проблем.

Наша неспособность засечь абсолютное движение — это результат опытов, а не итог плоского философствования. Это легко пояснить. Начать с того, что еще Ньютон считал, что дей­ствительно невозможно узнать свою скорость, если движешься прямолинейно и равномерно. Ведь первым-то провозгласил принцип относительности именно Ньютон (мы цитировали его слова в предыдущей главе). Почему же в те, ньютоновы времена философы не поднимали такого шума о том, что «все относительно» и так далее и тому подобное? А потому, что пока Максвелл не развил свою электродинамику, существо­вали физические законы, позволявшие утверждать, что можно измерить свою скорость, даже и не выглянув наружу; но вскоре после Максвелла экспериментально было установлено, что это невозможно.

А теперь скажите, действительно ли так уж абсолютно и определенно необходимо с философской точки зрения, чтобы невозможно было знать свою скорость, не посмотрев по сто­ронам? Одним из следствий теории относительности явилось развитие философии, которая утверждала: «Определять можно только то, что поддается измерению! Так как ясно, что нельзя измерить скорость, не видя, по отношению к чему она изме­ряется, то естественно, что понятие абсолютной скорости смысла не имеет. Физики обязаны понять, что можно говорить только о том, что поддается измерению». Но в этом-то и весь вопрос: сказать, можем ли мы определить абсолютную скорость,— это все равно, что решить, можно или нельзя выяснить из эксперимента, движется ли корабль, не выглядывая в иллю­минатор. Иными словами, нельзя априори утверждать, что что-то измеримо, а что-то нет; это решает не рассуждение, а эксперимент. Немного найдется философов, которые хладно­кровно объявят очевидным, что если скорость света внутри автомобиля равна 300 000 км/сек, а скорость самого автомо­биля достигает 100 000 км/сек, то свет проносится мимо наблю­дателя на дороге тоже со скоростью 300 000 км/сек. Для них это потрясающий факт; даже те из них, для кого относительность разумеется сама собой, обнаруживают, когда вы предъявляете им конкретный факт, что это совсем не так уж очевидно.

И наконец, есть даже «философы», утверждающие, что вообще мы не в состоянии обнаруживать никакого движения, не вы­глядывая наружу. А уж это просто неверно. Действительно, нельзя заметить равномерного движения по прямой линии, но если бы вся комната вертелась, мы бы определенно об этом знали, потому что все в ней разлеталось бы к стенкам — на­блюдались бы всяческого рода «центробежные» эффекты. Тот факт, что Земля наша вращается вокруг своей оси, можно обнаружить, не глядя на звезды, скажем, с помощью так называемого маятника Фуко. Стало быть, неверно, что «все относительно»; нельзя обнаружить только равномерное движе­ние, не выглядывая наружу. Равномерное вращение вокруг фиксированной оси обнаружить можно. А когда вы это скажете философу, он очень огорчится, что прежде этого не понимал; ему, видите ли, казалось, что просто невозможно установить вращение вокруг оси, не наблюдая внешний мир. Правда, если он достаточно сообразителен, то через некоторое время он может вернуться и заявить: «Понял! На самом деле никакого абсолютного вращения не существует. Видите ли,— скажет он,— на самом деле мы вращаемся относительно звезд. И вслед­ствие какого-то невыясненного влияния, оказываемого на тела звездами, возникает центробежная сила».

Ну что ж! Судя по всему, это верно; в настоящее время у нас нет способа узнать, существовала бы центробежная сила, если бы не было звезд и туманностей. Не в наших силах сделать такой эксперимент — убрать все туманности, а затем измерить наше вращение; значит, тут мы ничего сказать не можем. Мы должны допустить, что философ может оказаться прав. Он тогда расцветает от удовольствия и изрекает: «И вооб­ще совершенно необходимо, чтобы все в мире в конечном счете подчинялось тому же принципу: абсолютное вращение — это бессмысленно, можно говорить только о вращении по отно­шению к туманностям». И тут-то мы ему ответим: «А тогда скажи, друг мой, само собой или не само собой разумеется, что равномерное движение по прямой линии относительно туманностей не должно никак чувствоваться внутри авто­мобиля?» И теперь, когда движение уже больше не абсолютное, когда оно стало движением относительно туманностей, вопрос оказывается темным и на него можно ответить, лишь поставив эксперимент.

Но в чем же в таком случае выразились философские влияния теории относительности? Какие новые идеи и предложения внушил физикам принцип относительности? Если ограничиться только этого рода влияниями, то их можно описать следующим образом. Первое открытие, по существу, состояло в том, что даже те идеи, которые уже очень долго держатся и очень точно проверены, могут быть ошибочными. Каким это было большим потрясением — открыть, что законы Ньютона неверны, и это после того, как все годы они казались точными! Теперь, ко­нечно, ясно, что не опыты были неправильными, а просто все они проделывались в слишком ограниченном интервале ско­ростей — таком узком, что релятивистские эффекты невозможно было заметить. И все же теперь мы взираем на наши законы физики куда более смиренно — ведь любой из них может оказаться ошибочным!

Во-вторых, если возникают некие «странные» идеи, вроде того, что когда идешь, то время тянется медленнее и т. д., то неуместен вопрос: нравится ли это нам? Единственно уместен здесь другой вопрос: согласуются ли эти идеи с тем, что по­казал опыт? Иначе говоря, «странные идеи» должны быть согласны только с экспериментом. Единственный резон, почему мы должны обсуждать поведение часов и т. п., состоит в следу­ющем: мы должны доказать, что, хотя определение растяжения времени и очень странно, с нашим способом измерять время оно вполне согласуется.

И наконец, теория относительности подсказала нам еще кое-что; может быть, это был чисто технический совет, но он оказался чрезвычайно полезным при изучении других физи­ческих законов. Совет состоял в том, что надо обращать внимание на симметрию законов, или, более определенно, искать способы, с помощью которых законы можно преобразовать, сохраняя при этом их форму. Когда мы обсуждали теорию векторов, мы отмечали, что основные законы движения не меняются, когда мы особым образом изменяем пространственные и временные переменные (пользуемся преобразованием Ло­ренца). Идея изучать операции, при которых основные законы не меняются, оказалась и впрямь очень полезной.

§ 2. Парадокс близнецов

Чтобы продолжить наше изучение преобразований Лоренца и релятивистских эффектов, рассмотрим известный «пара­докс» — парадокс близнецов, скажем, Петера и Пауля. Подросши, Пауль улетает на космическом корабле с очень высокой скоростью. Петер остается на Земле. Он видит, что Пауль уносится с огромной скоростью, и ему кажется, что часы Пауля замедляют свой ход, сердце Пауля бьется реже, мысли текут ленивее. С точки зрения Петера, все замирает. Сам же Пауль, конечно, ничего этого не замечает. Но когда после долгих странствий он возвратится на Землю, он окажется моложе Петера! Верно ли это? Да, это одно из тех следствий теории относительности, которые легко продемонстрировать. Мю-мезоны живут дольше, если они движутся; так и Пауль про­живет дольше, если будет двигаться. «Парадоксом» это явление называют лишь те, кто считает, что принцип относительности утверждает относительность всякого движения. Они восклицают: «Хе-хе-хе! А не можем ли мы сказать, что с точки зрения Пауля двигался Петер и что именно Петер должен был медленнее стареть? Из симметрии тогда следует единственный возможный вывод: при встрече возраст обоих братьев должен оказаться одинаковым».

Но ведь чтобы встретиться и помериться годами, Пауль должен либо остановиться в конце путешествия и сравнить часы, либо, еще проще, вернуться. А возвратиться может только тот, кто двигался. И он знает о том, что двигался, потому что ему пришлось повернуть, а при повороте на корабле произошло много необычных вещей: заработали ракеты, пред­меты скатились к одной стенке и т. д. А Петер ничего этого не испытал.

Поэтому можно высказать такое правило: тот, кто почув­ствовал ускорение, кто увидел, как вещи скатывались к стенке, и т. д.,— тот и окажется моложе. Разница между братьями имеет «абсолютный» смысл, и все это вполне правильно. Когда мы обсуждали долгую жизнь движущегося мю-мезона, в ка­честве примера мы пользовались его прямолинейным движением сквозь атмосферу. Но можно породить мю-мезоны и в лаборатории и заставить с помощью магнита их двигаться по кругу. И даже при таком ускоренном движении они проживут дольше, причем столько же, сколько и при прямолинейном движении с этой скоростью. Можно было бы попытаться разрешить парадокс опытным путем: сравнить покоящийся мю-мезон с закрученным по кругу. Несомненно, окажется, что закру­ченный мю-мезон проживет дольше. Такого опыта еще никто не ставил, но он и не нужен, потому что и так все прекрасно согласуется. Конечно, те, кто настаивает на том, что каждый отдельный факт должен быть непосредственно проверен, этим не удовлетворятся. А мы все же уверенно беремся предсказать результат опыта, в котором Пауль кружится по замкнутому кругу.

§ 3. Преобразование скоростей

Главное отличие принципа относительности Эйнштейна от принципа относительности Ньютона заключается в том, что законы преобразований, связывающих координаты и времена в системах, движущихся относительно друг друга, различны.

Правильный закон преобразований (Лоренца) таков:





Эти уравнения отвечают сравнительно простому случаю, когда наблюдатели движутся относительно друг друга вдоль общей оси х. Конечно, мыслимы и другие направления движения, но самое общее преобразование Лоренца выглядит довольно сложно: в нем перемешаны все четыре числа. Мы и впредь будем пользоваться этой простой формулой, так как она содержит в себе все существенные черты теории относительности.

Рассмотрим теперь дальнейшие следствия этого преобра­зования. Прежде всего интересно разрешить эти уравнения относительно х, у, z, t. Это система четырех линейных урав­нений для четырех неизвестных, и их можно решить — вы­разить х, у, z, t через х\', у\', z\', t\'. Результат этот потому ин­тересен, что он говорит нам, как «покоящаяся» система коор­динат выглядит с точки зрения «движущейся». Ясно, что из-за относительности движения и постоянства скорости тот, кто «движется», может, если пожелает, счесть себя неподвижным, другого — движущимся. А поскольку он движется в обратную сторону, то получит то же преобразование, но с противоположным знаком у скорости. Это в точности то, что дает и прямое решение системы, так что все сходится. Вот если бы не сошлось, было бы от чего встревожиться!





Теперь займемся интересным вопросом о сложении скоростей в теории относительности. Напомним, что первоначально загадка состояла в том, что свет проходит 300 000 км/сек во всех системах, даже если они движутся друг относительно друга. Это — частный случай более общей задачи. Приведем пример. Пусть предмет внутри космического корабля движется вперед со скоростью 200 000 км/сек; скорость самого корабля тоже 200 000 км/сек. С какой скоростью перемещается предмет с точки зрения внешнего наблюдателя? Хочется сказать: 400 000 км/сек, но эта цифра уж больно подозрительна: полу­чается скорость большая, чем скорость света! Разве можно себе это представить?

Общая постановка задачи такова. Пусть скорость тела внутри корабля равна v (с точки зрения наблюдателя на корабле), а сам корабль имеет скорость и по отношению к Земле. Мы желаем знать, с какой скоростью v_x это тело движется с точки зрения земного наблюдателя. Впрочем, это тоже не самый общий случай, потому что движение происходит в направ­лении х. Могут быть формулы для преобразования скоростей в направлении у или в любом другом; если они будут нужны, их всегда можно вывести. Внутри корабля скорость тела равна v_x\' . Это значит, что перемещение х\' равно скорости, умноженной на время:

x\'=v_x·_\'t\'. (16.3)





Остается только подсчитать, какие у тела значения х и t с точки зрения внешнего наблюдателя, если х\' и t\' связаны соотношением (16.3). Подставим (16.3) в (16.2) и получим





Но здесь х выражено через t\'. А скорость с точки зрения внеш­него наблюдателя — это «его» расстояние, деленное на «его» время, а не на время другого наблюдателя! Значит, надо и время подсчитать с его позиций





А теперь разделим х на t. Квадратные корни сократятся, останется же

Это и есть искомый закон: суммарная скорость не равна сумме скоростей (это привело бы ко всяким несообразностям), но «подправлена» знаменателем 1+uv/c².

Что же теперь будет получаться? Пусть ваша скорость внут­ри корабля равна половине скорости света, а скорость корабля тоже равна половине скорости света. Значит, и u равно ¹/₂с, и v равно ¹/₂c, но в знаменателе uv равно ¹/₄, так что



Выходит по теории относительности, что ¹/₂ и ¹/₂ дают не 1, a ⁴/₅. Небольшие скорости, конечно, можно складывать, как обычно, потому что, пока скорости по сравнению со скоростью света малы, о знаменателе (1 +uv/с²) можно забыть, но на больших скоростях положение меняется.





Возьмем предельный случай. Положим, что человек на борту корабля наблюдает, как распространяется свет. Тогда v=c. Что обнаружит земной наблюдатель? Ответ будет такой:

Значит, если что-то движется со скоростью света внутри ко­рабля, то, с точки зрения стороннего наблюдателя, скорость не изменится, она по-прежнему будет равна скорости света! Это именно то, ради чего в первую очередь предназначал Эйн­штейн свою теорию относительности.

Конечно, бывает, что движение тела не совпадает по на­правлению с равномерным движением корабля. Например, тело движется «вверх» со скоростью v_y\' по отношению к ко­раблю, а корабль движется «горизонтально». Проделывая такие же манипуляции (только х надо заменить на у), получаем





y=y\'=v_y\'t\', так что при v_x\'=0

Итак, боковая скорость тела уже не v_y\' , a v_y\'Ц(1-u²/с²). Этот результат мы получили, пользуясь формулами преобра­зований. Но он вытекает и прямо из принципа относительности по следующей причине (всегда бывает полезно докопаться до первоначальной причины). Мы уже раньше рассуждали (см. фиг. 15.3) о том, как могут работать движущиеся часы; свет ка­жется распространяющимся наискось со скоростью с в непо­движной системе, в то время как в движущейся системе он просто движется вертикально с той же скоростью. Мы нашли, что верти­кальная, компонента скорости в неподвижной системе меньше скорости света на множитель Ц(1-u²/с²) [см. уравнение (15.3)]. Пусть теперь материальная частица движется в тех же «часах» взад-вперед со скоростью, равной 1/n скорости света (фиг. 16.1).



Фиг. 16.1. Траектории светового луча и частицы внутри движущихся часов.

Пока частица пройдет туда и обратно, свет пройдет этот путь ровно n раз (n — целое число). Значит, каждое тиканье «часов с частицей» совпадет с n-м тиканьем «световых часов». Этот факт должен остаться верным и тогда, когда тело движется, потому что физическое явление совпадения остается совпа­дением в любой системе. Ну а поскольку скорость с_у меньше скорости света, то скорость v_y частицы должна быть меньше соответствующей скорости в том же отношении (с квадратным корнем)! Вот почему в любой вертикальной скорости появ­ляется корень.

§ 4. Релятивистская масса

Из предыдущей главы мы усвоили, что масса тела растет с увеличением его скорости. Но никаких доказательств этого, похожих на те рассуждения с часами, которыми мы обосновали замедление времени, мы не привели. Сейчас, однако, мы можем доказать, что (как следствие принципа относительности и прочих разумных соображений) масса должна изменяться именно таким образом. (Мы должны говорить о «прочих сооб­ражениях» по той причине, что нельзя ничего доказать, нельзя надеяться на осмысленные выводы, не опираясь на какие-то законы, которые предполагаются верными.) Чтобы не изучать

законы преобразования силы, обратимся к столкновениям частиц. Здесь нам не понадобится закон действия силы, а хватит только предположения о сохранении энергии и импульса. Кроме того, мы предположим, что импульс движущейся ча­стицы — это вектор, всегда направленный по ее движению. Но мы не будем считать импульс пропорциональным скорости, как это делал Ньютон. Для нас он будет просто некоторой функцией скорости. Мы будем писать вектор импульса в виде вектора скорости, умноженного на некоторый коэффициент

p=m₀v. (16.8)

Индекс v у коэффициента будет напоминать нам, что это функция скорости v. Будем называть этот коэффициент «мас­сой». Ясно, что при небольших скоростях это как раз та самая масса, которую мы привыкли измерять. Теперь, исходя из того принципа, что законы физики во всех системах координат одинаковы, попробуем показать, что формула для m_v должна иметь вид m₀/Ц(1-v²/c²).





Пусть у нас есть две частицы (к примеру, два протона), которые между собой совершенно одинаковы и движутся на­встречу друг другу с одинаковыми скоростями. Их общий импульс равен нулю. Что с ними случится? После столкновения их направления движения должны все равно остаться противо­положными, потому что если это не так, то их суммарный вектор импульса будет отличен от нуля, т. е. не сохранится. Раз частицы одинаковы, то и скорости их должны быть оди­наковы; более того, они просто должны остаться прежними, иначе энергия при столкновении изменится. Значит, схема такого упругого обратимого столкновения будет выглядеть, как на фиг. 16.2,а: все стрелки одинаковы, все скорости равны. Предположим, что такие столкновения всегда можно подго­товить, что в них допустимы любые углы 0 и что начальные скорости частиц могут быть любыми.

Фиг. 16.2. Упругое столкновение одинаковых тел, движущихся с равными скоростями в противоположных направлениях, при раз­личном выборе систем координат.

Далее, напомним, что одно и то же столкновение выглядит по-разному, смотря по тому, как повернуты оси. Для удобства мы так повернем оси, чтобы горизонталь делила пополам угол между направлениями частиц до и после столкновения (фиг. 16.2,б). Это то же столкновение, что и на фиг. 16.2,а, но с повернутыми осями.



Теперь начинается самое главное: взглянем на это столкно­вение с позиций наблюдателя, движущегося на автомашине со скоростью, совпадающей с горизонтальной компонентой ско­рости одной из частиц. Как оно будет выглядеть? Наблюдателю покажется, что частица 1 поднимается прямо вверх (горизон­тальная компонента у нее пропала), а после столкновения падает прямо вниз по той же причине (фиг. 16.3, а).

Фиг. 16.3. Еще две картины того же столкновения (видимые из дви­жущихся автомашин).

Зато частица 2 движется совсем иначе, она проносится мимо с колоссальной скоростью и под малым углом (но этот угол и до и после столк­новения одинаков). Обозначим горизонтальную компоненту скорости частицы 2 через и, а вертикальную скорость части­цы 1 — через w.

Чему же равна вертикальная скорость utga частицы 2? Зная это, можно получить правильное выражение для импульса, пользуясь сохранением импульса в вертикальном направлении. (Сохранение горизонтальной компоненты импульса и так обеспечено: у обеих частиц до и после столкновения эта ком­понента одинакова, а у частицы 1 она вообще равна нулю. Так что следует требовать только сохранения вертикальной скорости utga.) Но вертикальную скорость можно получить, просто взглянув на это столкновение с другой точки зрения! Посмотрите на столкновение, изображенное на фиг. 16.3, а из автомашины, которая движется теперь налево со скоростью и. Вы увидите то же столкновение, но перевернутое «вверх ногами» (фиг. 16.3, б). Теперь уже частица 2 упадет и подскочит со скоростью w, а горизонтальную скорость и приобретет частица 1. Вы уже, конечно, догадываетесь, чему равна горизонтальная скорость utga; она равна wЦ(1-u²/c²) [см. уравнение (16.7)]. Кроме того, нам известно, что изменение вертикального им­пульса вертикально движущейся частицы равно

Dp=2m_ww

(двойка здесь потому, что движение вверх перешло в движение вниз). У частицы, движущейся косо, скорость равна v, ее компоненты равны u и wЦ(1-u²/c²), а масса ее m_v. Изменение вертикального импульса этой частицы Dр\'=2т_vwЦ(1—u²/с²), так как в соответствии с нашим предположением (16.8) любая компонента импульса равна произведению одноименной ком­поненты скорости на массу, отвечающую этой скорости. Но суммарный импульс равен нулю. Значит, и вертикальные импульсы должны взаимно сократиться, отношение же массы, движущейся со скоростью w, к массе, движущейся со скоростью v, должно оказаться равным

m_w/m_v=Ц(1-u²/c²). (16.9).

Перейдем к предельному случаю, когда w стремится к нулю. При очень малых w величины v и u практически совпадут, m_w®m₀, a m_v®m_u. Окончательный результат таков:





Проделайте теперь такое интересное упражнение: проверьте, будет ли выполнено условие (16.9) при произвольных w, когда масса подчиняется формуле (16.10). При этом скорость v, стоящую в уравнении (16.9), можно найти из прямоугольного треугольника



Вы увидите, что (16.9) выполняется тождественно, хотя выше нам понадобился только предел этого равенства при w—>0. Теперь перейдем к дальнейшим следствиям, считая уже, что, согласно (16.10), масса зависит от скорости. Рассмотрим так называемое неупругое столкновение. Для простоты пред­положим, что из двух одинаковых тел, сталкивающихся с равными скоростями w, образуется новое тело, которое больше не распадается (фиг. 16.4,а).



Фиг. 16.4. Две картины неупругого соударения тел равной массы.

Массы тел до столкновения равны, как мы знаем, m₀/Ц(1- w²/c²). Предположив сохраня­емость импульса и приняв принцип относительности, можно продемонстрировать интересное свойство массы вновь образо­ванного тела. Представим себе бесконечно малую скорость и, поперечную к скоростям w (можно было бы работать и с ко­нечной скоростью и, но с бесконечно малым значением и легче во всем разобраться), и посмотрим на это столкновение, дви­гаясь в лифте со скоростью -u. Перед нами окажется картина, изображенная на фиг. 16.4, а. Составное тело обладает неиз­вестной массой М. У тела 1, как и у тела 2, есть компонента скорости и, направленная вверх, и горизонтальная компонента, практически равная w. После столкновения остается масса М, движущаяся вверх со скоростью u, много меньшей и скорости света и скорости w. Импульс должен остаться прежним; по­смотрим поэтому, каким он был до столкновения и каким стал потом. До столкновения он был равен p~=2m_wu, а потом стал р\'=M_uu. Но M_u из-за малости u, по существу, совпадает с М₀. Благодаря сохранению импульса

М₀=2m_w. (16.11)

Итак, масса тела, образуемого при столкновении двух одина­ковых тел, равна их удвоенной массе. Вы, правда, можете сказать: «Ну и что ж, это просто сохранение массы». Но не торопитесь восклицать: «Ну и что ж!», потому что сами-то массы тел были больше, чем когда тела неподвижны. Они вносят в суммарную массу М не массу покоя, а больше. Не правда ли, поразительно! Оказывается, сохранение импульса в столк­новении двух тел требует, чтобы образуемая ими масса была больше их масс покоя, хотя после столкновения эти тела сами придут в состояние покоя!

§ 5. Релятивистская энергия

Немного выше мы показали, что зависимость массы от скорости и законы Ньютона приводят к тому, что изменения в кинетической энергии тела, появляющиеся в результате работы приложенных к нему сил, оказываются всегда равными



Потом мы продвинулись дальше и обнаружили, что полная энергия тела равна полной его массе, умноженной на с². Про­должим эти рассуждения.

Предположим, что наши два тела с равными массами (те, которые столкнулись) можно «видеть» даже тогда, когда они оказываются внутри тела М. Скажем, протон с нейтроном столкнулись, но все еще продолжают двигаться внутри М. Масса тела М, как мы обнаружили, равна не 2m₀ , a 2m_w. Этой массой 2m_w снабдили тело его составные части, чья масса покоя была 2m₀; значит, избыток массы составного тела равен привнесенной кинетической энергии. Это означает, конечно, что у энергии есть инерция. Ранее мы говорили о нагреве газа и показали, что поскольку молекулы газа движутся, а движущиеся тела становятся массивнее, то при нагревании газа и усилении движения молекул газ становится тяжелее. Но на самом деле такое рассуждение является совершенно общим; наше обсуждение свойств неупругого соударения тоже показывает, что добавочная масса появляется всегда, даже тогда, когда она не является кинетической энергией. Иными словами, если две частицы сближаются и при этом образуется потенциальная или другая форма энергии, если части состав­ного тела замедляются потенциальным барьером, производя работу против внутренних сил, и т. д.,— во всех этих случаях масса тела по-прежнему равна полной привнесенной энергии. Итак, вы видите, что выведенное выше сохранение массы рав­нозначно сохранению энергии, поэтому в теории относитель­ности нельзя говорить о неупругих соударениях, как это было в механике Ньютона. Согласно механике Ньютона, ничего страшного не произошло бы, если бы два тела, столкнувшись, образовали тело с массой 2m₀, не отличающееся от того, какое получилось бы, если их медленно приложить друг к другу. Конечно, из закона сохранения энергии мы знаем, что внутри тела имеется добавочная кинетическая энергия, но по закону Ньютона на массу это никак не влияет. А теперь выясняется, что это невозможно: поскольку до столкновения у тел была кинетическая энергия, то составное тело окажется тяжелее; значит, это будет уже другое тело. Если осторожно приложить два тела друг к другу, то возникает тело с массой 2т₀; когда же вы их с силой столкнете, то появится тело с большей массой. А если масса отличается, то мы можем это заметить. Итак, сохранение импульса в теории относительности с необходи­мостью сопровождается сохранением энергии.

Отсюда вытекают интересные следствия. Пусть имеется тело с измеренной массой М, и предположим, что что-то стряс­лось и оно распалось на две равные части, имеющие скорости w и массы m_w. Предположим теперь, что эти части, двигаясь через вещество, постепенно замедлились и остановились. Теперь их масса m₀. Сколько энергии они отдали веществу? По теореме, доказанной раньше, каждый кусок отдаст энергию (m_w-m₀)с². Она перейдет в разные формы, например в теплоту, в потенциальную энергию и т. д. Так как 2m_w=M, то высво­бодившаяся энергия Е = (М-2m₀)с². Это уравнение было ис­пользовано для оценки количества энергии, которое могло бы выделиться при ядерном расщеплении в атомной бомбе (хотя части бомбы не точно равны, но примерно они равны). Масса атома урана была известна (ее измерили заранее), была известна и масса атомов, на которые она расщеплялась,— иода, ксенона и т. д. (имеются в виду не массы движущихся атомов, а массы покоя). Иными словами, и М и m₀ были известны. Вычтя одно значение массы из другого, можно прикинуть, сколько энергии высвободится, если М распадется «пополам». По этой причине все газеты считали Эйнштейна «отцом» атомной бомбы. На самом же деле под этим подразумевалось только, что он мог бы заранее подсчитать выделившуюся энергию, если бы ему ука­зали, какой процесс произойдет. Энергию, которая должна высвободиться, когда атом урана подвергнется распаду, под­считали лишь за полгода до первого прямого испытания. И как только энергия действительно выделилась, ее непосред­ственно измерили (не будь формулы Эйнштейна, энергию из­мерили бы другим способом), а с момента, когда ее измерили, формула уже была не нужна. Это отнюдь не принижение заслуг Эйнштейна, а скорее критика газетных высказываний и по­пулярных описаний развития физики и техники. Пробле­ма, как добиться того, чтобы процесс выделения энергии прошел эффективно и быстро, ничего общего с формулой не имеет.

Формула имеет значение и в химии. Скажем, если бы мы взвесили молекулу двуокиси углерода и сравнили ее массу с массой углерода и кислорода, мы бы могли определить, сколько энергии высвобождается, когда углерод и кислород образуют углекислоту. Плохо только то, что эта разница масс так мала, что технически опыт очень трудно проделать.

Теперь обратимся к такому вопросу: нужно ли отныне добавлять к кинетической энергии m₀c² и говорить с этих пор, что полная энергия объекта равна mc²? Во-первых, если бы нам были видны составные части с массой покоя m₀ внутри объекта M, то можно было бы говорить, что часть массы M есть механическая масса покоя составных частей, а другая часть — их кинетическая энергия, третья — потенциальная. Хотя в природе и на самом деле открыты различные частицы, с которыми происходят как раз такие реакции (реакции слияния в одну), однако никакими способами невозможно при этом разглядеть внутри M какие-то составные части. Например, распад K-мезона на два пиона происходит по закону (16.11), но бессмысленно считать, что он состоит из 2p, потому что он распадается порой и на Зp!

А поэтому возникает новая идея: нет нужды знать, как тела устроены изнутри; нельзя и не нужно разбираться в том, какую часть энергии внутри частицы можно считать энергией покоя тех частей, на которые она распадется. Неудобно, а порой и невозможно разбивать полную энергию mc² тела на энергию покоя внутренних частей, их кинетическую и потенциальную энергии; вместо этого мы просто говорим о полной энергии частицы. Мы «сдвигаем начало отсчета» энергий, добавляя ко всему константу m₀c², и говорим, что полная энергия частицы равна ее массе движения, умноженной на с², а когда тело ос­тановится, его энергия есть его масса в покое, умноженная на с².