Глава 46

ХРАПОВИК И СОБАЧКА

§ 1. Как действует храповик

§ 2. Храповик как машина

§ 3. Обратимость в механике

§ 4. Необрати­мость

§ 5. Порядок и энтропия

§ 1. Как действует храповик

В этой главе мы поговорим о храповике и собачке — очень простом устройстве, позволяю­щем оси вращаться только в одном направлении. Возможность получать одностороннее вращение заслуживает глубокого и тщательного анализа, из него проистекут интересные заключения.

Вопросы, которые мы будем обсуждать, воз­никают при попытке найти с молекулярной или кинетической точки зрения простое объяснение тому, что существует предел работы, которая мо­жет быть получена от тепловой машины. Правда, мы уже знаем сущность доказательства Карно, но было бы приятно найти и элементарное его объяснение — такое, которое показало бы, что так физически на самом деле происходит. Суще­ствуют, конечно, сложные, покоящиеся на зако­нах Ньютона математические доказательства ограниченности количества работы, которое можно получить, когда тепло перетекает с од­ного места в другое; но очень непросто сделать эти доказательства элементарными. Короче говоря, мы не понимаем их, хотя можем просле­дить выкладки.

В доказательстве Карно то обстоятельство, что при переходе от одной температуры к дру­гой нельзя извлечь неограниченное количество тепла, следует из другой аксиомы: если все происходит при одной температуре, то тепло не может быть превращено в работу посредством циклического процесса. Поэтому первым делом попытаемся понять, хотя бы на одном элементар­ном примере, почему верно это более простое утверждение.

Попробуем придумать такое устройство, что­бы второй закон термодинамики нарушался, т. е. чтобы работу из теплового резервуара получали, а перепада температур не было. Пусть в сосуде находится газ при некоторой тем­пературе, а внутри имеется вертушка (фиг. 46.1), причем будем считать, что T₁=T₂=T.



Фиг. 46.1. Машина, состоящая из храповика и собачки.

От ударов молекул газа вертушка будет покачиваться. Нам остается лишь пристроить к другому концу оси колесико, которое может вертеться только в одну сторону,— храповичок с собачкой. Собачка пресечет попытки вертушки поворачиваться в одну сторону, а повороты в другую—разрешит. Колесико будет медленно поворачиваться; может быть, удастся даже подвесить на ниточку блошку, привязать нить к барабану, насаженному на ось, и поднять эту блошку!

Возможно ли это? По гипотезе Карно — нет. Но по первому впечатлению — очень даже возможно (если только мы верно рас­судили). Видно, надо посмотреть повнимательнее. И действи­тельно, если вдумаешься в работу храповика с собачкой, все оказывается не так просто.

Во-первых, хотя наш идеализированный храповик и пре­дельно прост, но есть еще собачка, а при ней положено быть пружинке. Проскочив очередной зубец, собачка должна воз­вратиться в прежнее положение, так что без пружинки не обой­тись.

Весьма существенно и другое свойство храповика и собачки (на рисунке его нельзя показать). Предположим, что части наше­го устройства идеально упруги. Когда собачка пройдет через ко­нец зубца и сработает пружинка, собачка ударится о колесико и начнет подпрыгивать. Если в это время произойдет очередная флуктуация, вертушка может повернуться и в другую сторону, так как зубец может проскользнуть под собачкой, когда та приподнята! Значит, для необратимости вертушки важно, чтобы было устройство, способное гасить прыжки собачки. Но при этом гашении энергия собачки перейдет к храповику и примет вид тепловой энергии. Выходит, что по мере вращения храповик будет все сильнее нагреваться. Для простоты пусть газ вокруг храповика уносит часть тепла. Во всяком случае, вместе с хра­повиком начнет нагреваться и сам газ. И что же, так будет про­должаться вечно? Нет! Собачка и храповик, сами обладая неко­торой температурой Т, подвержены также и броуновскому дви­жению. Это значит, что время от времени собачка случайно поднимается и проходит мимо зубца как раз в тот момент, когда броуновское движение вертушки пытается повернуть ее назад. И чем горячее предмет, тем чаще это бывает.

Вот отчего наш механизм не будет находиться в вечном дви­жении. Иногда от щелчков по крыльям вертушки собачка под­нимается и вертушка поворачивается. Но иногда, когда вертуш­ка стремится повернуть назад, собачка оказывается уже при­поднятой (из-за флуктуации движений этого конца оси) и храповик действительно поворачивает обратно. В итоге—чистый нуль. И совсем нетрудно показать, что, когда температура в обоих сосудах одинакова, в среднем вращения не будет. Будет, конечно, множество поворотов в ту или иную сторону, но чего мы хотим — одностороннего вращения,— тому не бывать.

Рассмотрим причину этого. Чтобы поднять собачку до верха зубца, надо проделать работу против натяжения пружинки. Назовем эту работу e; пусть q — угол между зубцами. Шанс, что система накопит достаточно энергии e, чтобы поднять собач­ку до края зубца, есть ехр(-e/kT). Но вероятность того, что собачка поднимется случайно, тоже есть ехр(-e/kT). Значит, сколько раз собачка случайно поднимется, давая храповику свободно повернуться назад, столько же раз окажется достаточ­но энергии, чтобы при прижатой собачке вертушка повернулась вперед. Выйдет равновесие, а не вращение.

§ 2. Храповик как машина

Пойдем дальше. Рассмотрим другой пример: температура вертушки T₁, а температура храповика Т₂; T₂ меньше Т_{1. Т}ак как храповик холодный и флуктуации собачки сравнитель­но редки, ей теперь очень трудно раздобыть энергию e. Но из-за того, что вертушка горячая, она часто получает энергию e, и наше устройство начнет, как и задумано, вертеться в одну сторону.

Посмотрим-ка, удастся ли нам теперь поднимать грузы. Привяжем к барабану нить и привесим к ней грузик вроде нашей блошки. Пусть L будет момент, создаваемый грузом. Если мо­мент L не очень велик, наша машина груз поднимет, так как из-за броуновских флуктуации повороты в одну сторону веро­ятнее, чем в другую. Определим, какой вес мы сможем поднять, как быстро он будет подниматься и т. д.

Сперва рассмотрим движение вперед, для которого храповик и предназначен. Сколько энергии нужно занять у вертушки, чтобы продвинуться на шаг? Чтобы поднять собачку, нужна энер­гия e. Чтобы повернуть храповик на угол q против момента L, нужна энергия Lq. Всего нужно занять энергию e+Lq. Вероят­ность заполучить ее равна ехр[-(e+Lq)/kT₁. В действитель­ности дело не только в самой этой энергии, но и в том, сколько, раз в секунду она окажется в нашем распоряжении. Вероят­ность в секунду только пропорциональна ехр[-(e+Lq)/kT₁]; обозначим коэффициент пропорциональности 1/t (он в конце выкладок выпадет). После каждого шага вперед совершенная над грузом работа есть Lq. Энергия, взятая у вертушки, равна e+Lq. Энергией e наматывается нить, затем следует: щелк, щелк, клингенкланггеклунген..., и энергия переходит в тепло, Вся одолженная энергия идет на то, чтобы поднять блошку и собачку, которая потом падает и отдает тепло другой стороне (храповику).

Рассмотрим теперь случай обратного вращения. Что проис­ходит здесь? Чтобы храповик повернулся назад, надо лишь снабдить собачку такой энергией, чтоб ей хватило сил подняться и пропустить храповик. Эта энергия по-прежнему равна e. Вероятность (в пересчете на секунду) того, что собачка подни­мется на нужную высоту, теперь равна (1/t)ехр(-e/kT₂). (Множитель пропорциональности тот же, но в показателе стоит kT₂ из-за того, что температура иная.) Когда это случается, т. е. зубчатка проскальзывает назад, работа уже высвобождается (высвободился один зубец, а вместе с ним и работа Lq). Энергия, взятая у системы храповик — собачка, есть e, а энергия, пере­данная газу на другом конце оси при температуре T₁, есть Lq+e. Это тоже легко понять. Положим, что собачка поднялась сама собой за счет флуктуации. Когда она упадет и пружинка ударит ее по зубцу, возникнет сила, стремящаяся повернуть зубчатку, ведь плоскость-то, о которую ударилась собачка, наклонная. Эта сила производит работу; то же можно сказать о весе грузика. Обе силы суммируются, и вся медленно высво­бождаемая энергия появляется в виде тепла на той стороне, где вертушка. (Конечно, так и должно быть по закону сохра­нения энергии, но мы обязаны осторожно продумать все на­сквозь!)

Мы замечаем, что все эти энергии в точности те же, что и раньше, только переставлены. Итак, смотря по тому, какое из отношений больше, грузик либо медленно поднимается, либо медленно опускается. Конечно, на самом деле он непрерывно ходит туда-сюда, покачивается, но мы говорим об усредненном поведении.

Положим, что при определенном весе вероятности окажутся равными. Тогда привесим к нити бесконечно легкий грузик. Весь груз медленно пойдет вниз, и машина будет совершать работу, энергия будет откачиваться от храповика и пересылаться вертушке. Если же убрать часть груза, неравновесность переки­нется на другую сторону. Груз поднимается, тепло отбирается от вертушки и поставляется шестерне. Мы попадаем в условия обратимого цикла Карно благодаря тому, что груз выбран как раз так, чтобы обе вероятности были равны. Это условие таково: (e+Lq)/T₁=e/T₂. Пусть машина медленно тянет груз вверх.

Таблица 46.1 · ОПЕРАТИВНАЯ СВОДКА ДЕЙСТВИЙ ХРАПОВИКА И СОБАЧКИ







Энергия Q_l отбирается от лопастей, а энергия Q₂ доставляется шестерне, и эти энергии находятся в отношении (e+Lq)/e. Когда мы опускаем груз, то опять Q₁/Q₂=(e+Lq)/e. Итак (табл. 46.1), мы имеем

Q₁/Q₂=T₁/T₂. Далее, полученная работа относится к энергии, взятой у вер­тушки, как Lq к Lq+e, т. е. как (T₁-Т₂)/Т₁. Мы видим, что наше устройство, работая обратимо, ни за что не сможет высо­сать работы больше, чем позволяет это отношение. Это тот вывод, которого мы и ожидали на основе доказательства Карно, а од­новременно и главный результат этой лекции.

Однако мы можем использовать наше устройство, чтобы по­нять еще кое-какие явления, даже неравновесные, лежащие вне области применимости термодинамики.





Давайте подсчитаем теперь, как быстро наш односторонний механизм будет вращаться, если все его части одинаково нагре­ты, а к барабану подвешен грузик. Если мы потянем чересчур сильно, могут произойти любые неприятности. Собачка соскользнет вдоль храповика, пружинка лопнет или еще что-нибудь случится. Но предположим, мы тянем так осторожно, что все работает гладко. В этих условиях верен вышеприведен­ный анализ вероятностей поворота храповика вперед или назад, и нужно только учесть равенство температур. С каждым скач­ком валик поворачивается на угол 9, так что угловая скорость равна величине 9, помноженной на вероятность одного из этих скачков в секунду. Ось поворачивается вперед с вероятностью (1/t)ехр[-e+Lq)/kT], а назад она поворачивается с вероят­ностью (1/t)ехр(-e/kT). Угловая скорость равна

График зависимости w от L показан на фиг. 46.2.







Фиг. 46.2. Угловая скорость храповика как функция враща­тельного момента.

Мы видим, что, когда L положительно, результат один, когда отрицательно — совсем другой. Если L растет, будучи положительным, что бывает, когда мы хотим повернуть храповик назад, скорость вра­щения назад близка к постоянной величине. А когда L стано­вится отрицательным, w поистине «рвется вперед», так как у e показатель степени огромен! Таким образом, угловая скорость, вызываемая действием разных сил, весьма несимметрична. Пойти в одну сторону легко: мы получаем большую угловую скорость от маленькой силы. Идя в обратную сторону, мы можем прило­жить много усилий, а вал все же будет двигаться еле-еле.

Такое же положение возникает в электрическом, выпрямите­ле. Вместо силы там имеется электрическое поле, а взамен угловой скорости — сила тока. Для выпрямителя напряжение тоже не пропорционально сопротивлению, наблюдается та же несимметричность. Анализ, проделанный нами для механиче­ского выпрямителя, годится и для электрического. Вид полу­ченной выше формулы типичен для зависимости пропускной способности выпрямителя от напряжения.

Уберем теперь все грузики и обратимся к первоначальному механизму. Если бы Т₂ было меньше Т₁, храповик вертелся бы вперед. Этому поверит любой. Но вот во что трудно поверить сразу, так это в обратное. Если T₂ больше T₁, храповик вращает­ся назад! Динамический храповик с избытком теплоты внутри вертится назад, потому что собачка храповика отскакивает. Если собачка в какой-то момент находится на наклонной пло­скости, она толкает эту плоскость в сторону подъема. Но это происходит все время, ведь если случится, что собачка подни­мется достаточно высоко, чтобы проскочить край зубца, она окажется на новой наклонной плоскости. Словом, горячие храповик с собачкой идеально приспособлены для вращения в сторону, обратную той, в какую им первоначально предназна­чено было вертеться!

Как бы хитроумно мы ни сконструировали «однобокий» ме­ханизм, при равенстве температур он не захочет вертеться в одну сторону чаще, чем в другую. Когда мы смотрим на него, он может поворачиваться либо туда, либо сюда, но при продол­жительной работе ему никуда не уйти. Тот факт, что он не уйдет никуда, на самом деле фундаментальный, глубокий принцип; все в термодинамике покоится на нем.

§ 3. Обратимость в механике

Что же это за глубокий механический принцип, который утверждает, что при постоянстве температуры и достаточно про­должительной работе наше устройство не уйдет ни назад, ни вперед? Очевидно, мы получили фундаментальное утверждение о том, что нельзя придумать машину, которая, будучи пре­доставлена самой себе в течение долгого времени, охотней по­вернулась бы в какую-то одну определенную сторону. Попро­буем выяснить, как это вытекает из законов механики.

Законы механики действуют примерно так: сила есть масса на ускорение; сила, действующая на частицу, есть сложная функция положений всех прочих частиц. Бывает, что силы за­висят и от скорости, например в магнетизме, но не о них сейчас речь. Возьмем простой случай, скажем тяготение, когда силы определяются только расположением частиц. Положим, что мы решили нашу систему уравнений и получили для каждой части­цы определенную траекторию x(t). Для достаточно сложных систем и решения очень сложны; с течением времени возможно появление самых невероятных конфигураций. Если мы приду­маем любое, какое только нам придет в голову, расположение частиц и терпеливо подождем, то это расположение непременно наступит! Следя за решением в течение долгого времени, мы увидим, что оно как бы перепробует все, что возможно. В про­стейших устройствах это не обязательно, но в более или менее сложных системах с большим числом атомов такая вещь про­исходит.

Но решения способны и на большее. Решая уравнения дви­жения, мы можем получить некоторую функцию, скажем t+t²+t³. Мы утверждаем, что другим решением будет - t+t²-t³. Иными словами, если всюду в решение подставить -t вместо t, то мы получим еще одно решение того же уравнения. Это произойдет оттого, что при замене t на -t в первоначальном дифференциальном уравнении ничего не изменится: в нем при­сутствуют лишь вторые производные по времени. Значит, если наблюдается некоторое движение, то возможно и точно проти­воположное движение. К нашему замешательству, может ока­заться, когда мы следим за движением достаточно долго, что оно временами совершается в одну сторону, а временами — в обрат­ную. Одно направление ничем не привлекательней другого. Поэтому невозможно сконструировать машину, для которой после длительной работы одно направление окажется более вероятным, чем другое, если только машина достаточно сложна.

Можно, правда, изобрести машину, для которой это утверж­дение явным образом неверно. Взять, например, колесо, закру­тить его в пустом пространстве, и оно навсегда пойдет вертеться в одну сторону. Имеются поэтому некоторые условия, вроде сохранения момента вращения, из-за которых наши рассужде­ния нарушаются. Но это только означает, что наши доказатель­ства надо проделать поаккуратней. Надо, например, учесть, что вращательный момент забирают себе стенки или еще что-то, так что специальные законы сохранения перестают действовать. Тогда опять, если система достаточно сложна, наше доказатель­ство годится. Оно основано на обратимости законов механики.

Отдавая должное истории, мы хотели бы отметить устрой­ство, изобретенное Максвеллом, впервые разработавшим дина­мическую теорию газов. Он нарисовал такую картину: пусть имеются два сосуда с газом при одной и той же температуре. Между сосудами имеется маленькое отверстие. Возле него сидит небольшой чертик (конечно, это может быть и прибор!). В от­верстии есть дверца, чертик может ее открывать и закрывать. Он следит за молекулами, подлетающими слева. Как только он замечает быструю молекулу, он отворяет дверцу. Увидит мед­ленную — и дверцу на замок! Можно сделать его чертиком высшей квалификации, пристроив на затылок ему еще пару глаз, чтобы с молекулами в другом сосуде он поступал наобо­рот: пропускал налево медленные, а быстрые не выпускал. Вскоре левый сосуд остынет, а правый нагреется. Спраши­вается, будут ли нарушены идеи термодинамики существова­нием этакого чертика?

Оказывается, что если чертик конечного размера, то сам он вскоре так нагреется, что ничего не увидит. Простейшим чертиком явится, скажем, откидная дверца с пружинкой. Бы­строй молекуле хватает сил открыть дверцу и проскочить, а медленной не хватит, и она отлетит прочь. Но это опять-таки знакомая нам система храповик — собачка, только в другом виде; в конце концов механизм просто нагреется. Чертик не может не нагреться, если его теплоемкость не бесконечна. В нем, во всяком случае, имеется конечное число шестеренок и коле­сиков, так что он не сможет отделаться от излишка тепла, кото­рое приобретет, наблюдая молекулы. Вскоре он так начнет дрожать от броуновского движения, что не сможет сказать, что это там за молекулы, приближаются ли они, удаляются ли, словом, не сможет работать.

§ 4. Необратимость

Все ли законы физики обратимы? Конечно, нет! Попробуйте-ка, например, из яичницы слепить обратно яйцо! Или пустите фильм в обратную сторону — публика в зале тотчас же начнет смеяться. Необратимость — самая яркая черта всех событий.

Откуда же она появляется? Ведь ее нет в законах Ньютона. Если мы считаем, что любое явление может быть в конечном счете объяснено законами физики, и если также оказывается, что все уравнения обладают фантастическим свойством давать при t®-t другое решение, то ведь тогда обратимо любое явление. Но как же тогда получается, что в природе, в явлениях большого масштаба, все необратимо? Видимо, значит, есть какие-то законы, какие-то неизвестные нам, но важные уравне­ния, быть может, в электричестве, а может, в нейтринной фи­зике, для которых уже существенно, куда идет время.

Рассмотрим теперь этот вопрос. Один закон такого рода мы уже знаем — он утверждает, что энтропия только растет. Когда одно тело теплое, а другое холодное, тепло переходит от теплого к холодному. Это утверждение нам подошло бы. Но хорошо бы и этот закон понять с точки зрения механики. Нам уже удалось получить при помощи чисто механических соображений все следствия из постулата о том, что тепло не может течь в обрат­ную сторону; это помогло нам понять второй закон. Значит, не­обратимость из обратимых уравнений получать мы способны. Но использовали ли мы при этом только законы механики? Раз­беремся в этом глубже.

Так как речь зашла об энтропии, то нам придется найти ее микроскопическое описание. Когда мы говорим, что в чем-то (например, в газе) содержится определенное количество энер­гии, то мы можем обратиться к микроскопической картине этого явления и сказать, что каждый атом имеет определенную энергию. Полная энергия есть сумма энергий атомов. Равным образом, у каждого атома есть своя определенная энтропия. Суммируя, получим полную энтропию. На самом деле здесь все обстоит не так уж гладко, но все же давайте посмотрим, что получится.

В виде примера подсчитаем разницу энтропии газа при одной температуре, но в разных объемах. В гл. 44 для изменения энт­ропии мы получили

DS=∫dQ/T.

В нашем случае энергия газа до и после расширения одна и та же, потому что температура не менялась. Значит, чтобы вос­полнить работу, проделанную газом, нужно придать ему какое-то количество тепла. Для малых изменений объема





dQ=PdV. Подставив это в dQ, получим, как в гл. 44,



Например, при удвоении объема энтропия меняется на Nkln2.

Рассмотрим теперь другой интересный пример. Пусть име­ется цилиндр с перегородкой посредине. По одну ее сторону — неон («черные» молекулы), а по другую — аргон («белые» мо­лекулы). Уберем перегородку и позволим газам перемешаться. Как изменится энтропия? Можно представить себе, что вместо перегородки между газами стоит поршень с отверстиями, в ко­торые проходят белые молекулы и не проходят черные, и дру­гой поршень с обратными свойствами. Сдвигая поршень к осно­ванию цилиндра, легко понять, что для каждого газа задача сводится к только что решенной. Энтропия, таким образом, меняется на Nkln2; это значит, что энтропия на одну молекулу возрастает на kln2. Цифра 2 появилась оттого, что вдвое уве­личился объем, приходящийся на одну молекулу. Странное об­стоятельство! В нем проявилось свойство не самой молекулы, а свободного места вокруг нее. Выходит, что энтропия увели­чивается, когда температура и энергия не меняются, а измени­лось только распределение молекул!

Мы знаем, что стоит убрать перегородку, и газы через неко­торое время перемешаются из-за столкновений, колебаний, уда­ров молекул и т. д. Стоит убрать перегородку, и какая-то белая молекула начнет приближаться к черной, а черная — к белой, они проскочат мимо друг друга и т. д. Постепенно какие-то из белых молекул проникнут случайно в объем, занятый чер­ными, а черные — в область белых. Через какое-то время полу­чится смесь. В общем это необратимый процесс реального мира, он должен привести к росту энтропии.

Перед нами простой пример необратимого процесса, пол­ностью состоящего из обратимых событий. Каждый раз, когда происходит столкновение двух молекул, они разлетаются в оп­ределенных направлениях. Если запустить киноленту, на кото­рой засняты столкновения, в обратную сторону, то ничего непра­вильного на экране не появится. Ведь один вид столкновений столь же вероятен, как и другой. Поэтому перемешивание пол­ностью обратимо, и тем не менее оно необратимо. Каждому известно, что, взяв отдельно белое и отдельно черное и перемешав их, мы через несколько минут получим смесь. Подождем еще сколько-то там минут — они не отделятся, смесь останется смесью. Значит, бывает необратимость, основанная на обрати­мых ситуациях. Но теперь нам ясна и причина. Мы начали с расположения, которое в каком-то смысле упорядочено. В хаосе столкновений оно стало неупорядоченным. Переход от упоря­доченного расположения к беспорядочному является источником необратимости.

Конечно, если бы мы сняли на киноленту это движение и пустили бы потом пленку назад, то увидели бы, как постепенно устанавливается порядок. Кто-нибудь мог бы возразить: «Но это — против всех законов физики!» Тогда мы бы прокрутили фильм еще раз и просмотрели бы каждое столкновение. Все они были бы безупречны, каждое подчинялось бы законам фи­зики. Все дело, конечно, в том, что скорости каждой молекулы были бы выдержаны в точности, так что, если проследить их пути вспять, мы возвратимся к начальным условиям. Но такая ситуация крайне маловероятна. Если иметь дело не со специаль­но приготовленным газом, а просто с белыми и черными моле­кулами, их никогда не удалось бы вернуть назад.

§ 5. Порядок и энтропия

Итак, мы должны теперь потолковать о том, что понимать под беспорядком и что — под порядком. Дело не в том, что по­рядок приятен, а беспорядок неприятен. Наши смешанные и несмешанные газы отличаются следующим. Пусть мы разделили пространство на маленькие элементы объема. Сколькими спо­собами можно разместить белые и черные молекулы в элементах объема так, чтобы белые оказались на одной стороне, а черные на противоположной? И сколькими способами можно их разме­стить без этого ограничения? Ясно, во втором случае способов гораздо больше. Мы измеряем «беспорядок» в чем-то по числу способов, каким может быть переставлено его содержимое, лишь бы внешне все выглядело без изменения. Логарифм числа способов — это энтропия. В цилиндре с разделенными газами число способов меньше и энтропия меньше, т. е. меньше «бес­порядок».

Пользуясь этим техническим определением «беспорядка», можно понять наше утверждение. Во-первых, энтропия изме­ряет «беспорядок». Во-вторых, Вселенная всегда переходит от «порядка» к «беспорядку», поэтому энтропия всегда растет. Порядок не есть порядок в том смысле, что именно эта расста­новка молекул нам нравится; смысл в том, что число разных способов расставить молекулы (лишь бы со стороны расстановки выглядели одинаково) относительно ограничено. Когда мы кру­тили назад наш фильм о перемешивании газов, было не так уж много беспорядка. Каждый отдельный атом имел в точности необходимые скорость и направление, чтобы выйти куда поло­жено! Энтропия была в общем невысока, хотя это и не было за­метно.

А что можно сказать о необратимости других физических законов? Когда мы рассматривали электрическое поле ускоряе­мого заряда, было сказано, что мы должны брать запаздывающее поле. В момент t на расстоянии r от заряда надо брать поле, созданное ускорением в момент t-r/c, а не в момент t+r/c. Поэтому законы электричества на первый взгляд необратимы. Вместе с тем очень странно, что эти законы следуют из уравне­ний Максвелла, которые в действительности обратимы. Однако можно привести довод, что если бы мы пользовались только опережающим полем, полем, отвечающим положению дел в мо­мент t+r/c, и сделали это совершенно последовательно в пол­ностью замкнутом пространстве, то все происходило бы в точ­ности так же, как при употреблении запаздывающих полей! Эта кажущаяся необратимость в теории электричества, та­ким образом (по крайней мере в замкнутой полости), вовсе не является необратимостью. Вы это должны уже слегка сами чув­ствовать; вы знаете уже, что когда колеблющийся заряд создает поле, отражающееся от стен оболочки, то в конечном счете устанавливается равновесие, в котором односторонности нет места. Запаздывающие поля — только прием, удобный метод решения.

Насколько нам известно, все основные законы физики, по­добно уравнениям Ньютона, обратимы. Тогда откуда необра­тимость? Она — из-за превращения порядка в беспорядок. Но это утверждение все равно не понятно, пока мы не знаем, откуда порядок. Почему ситуации, в которых мы оказываемся ежеднев­но, никогда не бывают равновесными? Одно мыслимое объяс­нение таково. Рассмотрим снова наш цилиндр со смесью белых и черных молекул. Если следить за ним достаточно долго, может оказаться, что по чисто случайному, крайне невероятному, но все же мыслимому стечению обстоятельств белые молекулы рас­пределятся главным образом у дна, а черные — у крышки. После этого с течением времени они опять начнут перемеши­ваться.

Стало быть, одно возможное объяснение высокой степени упорядоченности нынешнего мира заключается в том, что нам просто повезло. Вероятно, как-то однажды во Вселенной слу­чилась флуктуация, все как-то разделилось, а теперь вновь воз­вращается к прежнему. Такая теория не несимметрична; на вопрос, как мог бы выглядеть разделенный газ немного раньше или немного позже, она ответит: в любом случае мы увидели бы серое пятно, потому что молекулы опять смешались бы. Как бы ни потекло время, вперед или назад, газ все равно переме­шался бы. Таким образом, по этой теории именно необратимость является одной из случайностей жизни.

Легко показать, что это не так. Предположим, что мы смот­рим не на весь цилиндр сразу, а на какую-то часть его. Пусть в какой-то момент мы открыли в этой части определенную сте­пень порядка: белое с черным в ней разделены. Что отсюда сле­дует для частей, которые мы еще не рассматривали? Если мы и впрямь считаем, что порядок возникает из беспорядка путем флуктуации, то мы обязаны рассмотреть самую вероятную флук­туацию из тех, которые способны в нашей части установить порядок. Но при такой наивероятнейшей флуктуации остальная часть сосуда вовсе не должна рассортироваться — совсем нао­борот! Значит, из гипотезы, что мир — это флуктуация, сле­дует, что, когда мы взглянем на часть мира, прежде нами не виденную, мы должны обнаружить в ней смесь, беспорядок, в отличие от известного нам прежде мира. Если весь наш поря­док есть флуктуация, выброс, мы не смеем надеяться на поря­док где-либо сверх того, где он уже обнаружен.

Теперь предположим, что разделение произошло от того, что в прошлом Вселенная была действительно упорядочена (не из-за флуктуации, а просто белое и черное были первоначально обособлены). Тогда эта теория предскажет, что в других местах тоже должен быть порядок, порядок не как случайность, а из-за того, что в прежние времена порядок был лучше. Тогда можно ожидать, что мы обнаружим в местах, которые мы еще не ви­дели, порядок.

Астрономы, например, пока наблюдали не все звезды. Каж­дую ночь они наводят свои телескопы на новые звезды, и эти звезды ведут себя так же, как и старые. Из этого мы заключаем, что Вселенная — не флуктуация и что наш порядок — это память о тех временах, когда все только начиналось. Мы не говорим, что нам понятна логика этого. По каким-то причинам Вселенная когда-то имела очень малую для своего энергосодер­жания энтропию, и с той поры энтропия выросла. Это — путь по направлению в будущее. В этом начало всех необратимостей. Именно это порождает процессы роста и распада. Именно из-за этого мы вспоминаем не будущее, а прошлое, вспоминаем собы­тия, которые ближе к тому моменту в истории мира, когда поря­док был лучше нынешнего. Именно поэтому мы не способны вспомнить события того времени, беспорядок при котором сильней теперешнего,— мы называем это время будущим.

Мы уже говорили когда-то, что в стакане вина откроется нам вся Вселенная, стоит только заглянуть в него поглубже. Ста­кан вина — штука достаточно сложная, есть там и влага, и стекло, и свет, и еще многое другое.

Прелесть физики еще и в том, что даже такие простые и иде­ализированные вещи, как храповик с собачкой, действуют лишь оттого, что и они — часть Вселенной. Храповик с собачкой работают в одну сторону только потому, что они находятся в тесном контакте с остальной Вселенной. Если бы храповик с собачкой поместить в сосуд и изолировать на некоторое время, то колесико перестанет предпочитать одно направление враще­ния другому. Но по той же причине, по какой мы, открывая шторы, впускаем свет, из-за чего мы идем остывать в тень и греть­ся на солнце, по той же причине храповик с собачкой вертятся лишь в одну сторону. Односторонность связана как-то с тем, что храповик — это часть нашей Вселенной. Часть Вселенной не только в том смысле, что подчиняется законам Вселенной, но и потому, что его одностороннее поведение связано с односторон­ним поведением всей Вселенной. Оно не может пока быть понято до конца: наука приоткрыла великую тайну ранней истории мира, которая сейчас служит лишь предметом разных гипотез.



 

 

Глава 47

ЗВУК. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

§ 1. Волны

§ 2. Распростра­нение звука

§ 3. Волновое уравнение

§ 4. Решения волнового уравнения

§ 5. Скорость звука

§ 1. Волны

В этой главе мы будем обсуждать новое яв­ление — волны. О волнах часто и много гово­рится в физике, и мы наше внимание должны сконцентрировать на этом вопросе не только потому, что собираемся рассмотреть частный пример волн — звук,— но и потому, что вол­новые процессы имеют и другие многочислен­ные применения во всех областях физики.

Изучая гармонический осциллятор, мы уже отмечали, что существуют примеры как меха­нических колеблющихся систем, так и элект­рических. Волны тесно связаны с колебатель­ными системами, однако волновое движение есть не только колебание в данном месте, за­висящее от времени, но и движение в простран­стве.

Мы уже на самом деле изучали волны. Когда мы говорили о волновых свойствах света, мы обращали особое внимание на пространственную интерференцию волн одной и той же частоты от различных источников, расположенных в раз­ных местах. Существуют еще два важных явления, о которых мы не упоминали и которые свойственны как свету, т. е. электромагнитным волнам, так и любой другой форме волнового движения. Первое из них — это явление ин­терференции, но уже не в пространстве, а во времени. Когда мы слушаем звуки сразу от двух источников, причем частоты их слегка отличаются, к нам приходят то гребни обеих волн, то гребень одной волны и впадина другой (фиг. 47.1).



Фиг. 47.1. Интерференция звука во времени от двух источников с несколько отличающимися часто­тами приводит к биениям.

Звук то усиливается, то ослабевает, возникают биения, или, другими словами, происходит интерференция во времени. Второе явление — это волновое движение в замкнутом объеме, когда волны отражаются то от одной, то от другой стенки.

Все эти эффекты можно было, конечно, рассмотреть и на примере электромагнитных волн. Мы этого не сделали по той причине, что на одном примере мы не почувствовали бы общего характера явления, свойственного самым разным процессам. Чтобы подчеркнуть общность понятия волн вне рамок электро­динамики, мы рассмотрим здесь другой пример — звуковые волны.

Есть еще пример — морские волны, набегающие на берег, или мелкая водяная рябь. Кроме того, существуют два рода упругих волн в твердых телах: волны сжатия (или продольные волны), в которых частицы тела колеблются вперед и назад в направлении распространения волны (звуковые колебания в газе именно такого типа), и поперечные волны, когда частицы тела колеблются перпендикулярно направлению движения волны. При землетрясениях в результате движения участка земной коры возникают упругие волны обоих типов.

И, наконец, есть еще один тип волн, который нам дает сов­ременная физика. Это волны, определяющие амплитуду веро­ятности нахождения частицы в данном месте,— «волны мате­рии», о которых мы уже говорили. Их частота пропорциональна энергии, а волновое число пропорционально импульсу. Эти волны встречаются в квантовой механике.

В этой главе мы будем рассматривать только такие волны, скорость которых не зависит от длины волны. Пример таких волн — распространение света в вакууме. Скорость света в этом случае одна и та же для радиоволн, для синего и зеленого света и вообще для света любой длины волны. Именно поэтому, когда мы описывали волновые явления, мы сначала и не заметили са­мого факта распространения волн. Вместо этого мы говорили, что если перенести заряд в некоторую точку, то электрическое поле на расстоянии х будет пропорционально ускорению заряда, но не в момент времени t, а в более ранний момент времени t- x/c. Поэтому распределение электрического поля в про­странстве в некоторый момент времени, изображенное на фиг. 47.2, спустя время t передвинется на расстояние ct. Вы­ражаясь математически, можно сказать, что в рассматриваемом нами одномерном случае электрическое поле есть функция от x-ct. Отсюда видно, что при t=0 оно оказывается функцией только х. Если взять более поздний момент времени и несколько увеличить х, мы получим ту же самую величину поля. Напри­мер, если максимум поля возникает при x=3 и в момент времени t=0, то положение максимума в момент времени t находится из равенства

x-ct=3, или x=3+ct.

Мы видим, что такая функция отвечает распространению волны. Итак, функция f(x-ct) описывает волну. Мы можем все сказанное записать кратко так:

f(x-ct)= f[x+Dx-с(t+Dt],

если Dx=cDt. Конечно, существует еще и другая возможность, когда источник излучает волны не направо, как указано на фиг. 47.2, а налево, так что волны будут двигаться в сторону отрицательных х.





Фиг. 47.2. Примерное распределение электрического поля в некоторый момент времени (а) и электрическое поле через промежуток времени t (b).

Тогда распространение волны описывалось бы функцией g(x+ct).

Может еще случиться, что в пространстве одновременно движется несколько волн, и тогда электрическое поле есть сумма всех полей и все они распространяются независимо. Это свойство электрических полей можно выразить так: пусть f₁(x-ct) отвечает одной волне, a f₂(x-ct) — другой, тогда их сумма также описывает некоторую волну. Это утверждение на­зывается принципом суперпозиции. Он справедлив и для звуко­вых волн.

Мы хорошо знаем, что звуки воспринимаются в той после­довательности, в какой они создаются источником. А если бы высокие частоты распространялись быстрее, чем низкие, то вместо звуков музыки мы слышали бы резкий и отрывистый шум. Точно так же если бы красный свет двигался быстрее, чем синий, то вспышка белого света выглядела бы сначала красной, затем белой и наконец синей. Мы хорошо знаем, что такого на самом деле не происходит. И звук, и свет движутся в воздухе со скоростью, почти не зависящей от частоты. При­меры волнового движения, где этот принцип не выполняется, будут рассмотрены в гл. 48.

Для света (электромагнитных волн) мы получили формулу, определяющую электрическое поле в данной точке, которое воз­никает при ускорении заряда. Казалось бы, нам остается теперь подобным образом определить какую-нибудь характеристику воздуха, скажем давление на заданном расстоянии от источ­ника через движение источника, и учесть запаздывание при рас­пространении звука.

В случае света такой подход был приемлем, так как все наши знания сводились к тому, что заряд в одном месте дейст­вует с некоторой силой на заряд в другом месте. Подробности распространения взаимодействия из одной точки в другую были абсолютно несущественны. Но звук, как известно, распро­страняется по воздуху от источника к уху, и естественно спросить, чему равно давление воздуха в каждый данный мо­мент. Кроме того, хотелось бы знать, как именно движется воздух.

В случае электричества мы могли поверить в правило, поскольку законы электричества мы еще не проходили, но для звука это не так. Нам недостаточно сформулировать за­кон, определяющий распространение звукового давления в воздухе; этот процесс должен быть объяснен на основе законов механики. Короче, звук есть часть механики, и он должен быть объяснен с помощью законов Ньютона. Распространение звука из одной точки в другую есть просто следствие механики и свойств газов, если звук распространяется в газе, или свойств жидкостей и твердых тел, если звук проходит через эти среды. Позднее мы выведем также свойства света и его волновое дви­жение из законов электродинамики.

§ 2. Распространение звука

Давайте выведем теперь свойства распространения звука между источником и приемником, основываясь на законах Нью­тона, но не учитывая при этом взаимодействия звука с источ­ником и приемником. Обычно мы более подробно останавлива­лись на результате, а не на его выводе. В этой главе мы исполь­зуем противоположный подход. Главным здесь будет в некото­ром смысле само получение результата. Метод объяснения но­вых явлений с помощью старых, законы которых уже известны, представляет собой, пожалуй, величайшее искусство матема­тической физики. Математическая физика решает две проблемы: найти решение заданного уравнения и найти уравнения, опи­сывающие новое явление. То, чем мы будем заниматься, отно­сится как раз ко второй проблеме.

Рассмотрим простейший пример — распространение звука в одномерном пространстве. Для вывода нам сначала необхо­димо понять, что же в действительности происходит. В основе явления лежит следующий факт: когда тело перемещается в воздухе, возникает возмущение, которое как-то распростра­няется по воздуху. На вопрос, что это за возмущение, мы можем ответить: это такое движение тела, которое вызывает изменение давления. Конечно, если тело движется медленно, воздух лишь обтекает его, но нас интересует быстрое движение, когда воздух не успевает обойти вокруг тела. При этих условиях воздух в процессе движения сжимается и возникает избыточное давление, толкающее окружающие слои воздуха. Эти слои в свою очередь сжимаются, снова возникает избыточное давление, и вот начинает распространяться волна.

Опишем этот процесс на языке формул. Прежде всего решим, какие нам нужны переменные. В нашей задаче нам нужно знать, насколько переместился воздух, поэтому смещение воздуха в звуковой волне, несомненно, будет первой нашей переменной. Вдобавок хотелось бы знать, как меняется плотность воздуха при смещении. Давление воздуха тоже меняется, и это еще одна интересная переменная. Кроме того, воздух движется с некото­рой скоростью, и мы должны уметь определить скорость частиц воздуха. Частицы воздуха имеют еще и ускорение, но, записав все эти переменные, мы сразу же поймем, что и скорость, и ускорение будут нам известны, если известно смещение воздуха как функция времени.

Как уже говорилось, мы рассмотрим волну в одном измере­нии. Так можно поступить, если мы находимся достаточно да­леко от источника и так называемый фронт волны мало отли­чается от плоскости. На этом примере наше доказательство будет проще, поскольку можно сказать, что смещение c зависит только от х и t, а не от у и z. Поэтому поведение воздуха опи­сывается функцией c (х, t).

Насколько полно такое описание? Казалось бы, оно очень не полно, потому что нам не известны подробности движения молекул воздуха. Они движутся во всех направлениях, и этот факт не отражается функцией c(х, t). С точки зрения кинетиче­ской теории, если в одном месте наблюдается большая плот­ность молекул, а в соседнем меньшая, молекулы будут перехо­дить из области с большей плотностью в область с меньшей плотностью, так чтобы уравнять плотности. Очевидно, что при этом никаких колебаний не происходит и звук не возникает. Для получения звуковой волны нужно, чтобы молекулы, вы­летая из области с большей плотностью и давлением, переда-пали импульс другим молекулам, находящимся в области раз­режения. Звук возникает в том случае, если размеры области изменения плотности и давления намного больше расстояния, проходимого молекулами до соударения с другими молекулами. Это расстояние есть длина свободного пробега, и оно должно быть много меньше расстояния между гребнями и впадинами давления. В противном случае молекулы перейдут из гребня во впадину, и волна моментально выровняется.

Мы, естественно, хотим описать поведение газа в масштабе, большем, чем длина свободного пробега, так что свойства газа не будут определяться поведением отдельных молекул. Напри­мер, смещение есть смещение центра инерции небольшого объема газа, а давление или плотность относятся к этому же объему. Мы обозначим давление через Р, а плотность через r, причем обе величины будут функциями от х и t. Необходимо помнить, что наше описание приближенное и справедливо лишь, когда свойства газа не слишком быстро меняются с расстоянием.

§ 3. Волновое уравнение

Итак, физические явления, происходящие в звуковой волне, обладают следующими тремя свойствами:

I. Газ движется, и плотность его меняется. II. При изменении плотности меняется и давление. III. Неравномерное распределение давления вызывает дви­жение газа.

Рассмотрим сначала свойство П. Для любого газа, жидкости или твердого тела давление является функцией плотности. До прихода звуковой волны мы имели равновесное состояние с давлением Р₀ и плотностью r. Давление Р зависит от плот­ности среды: Р=f(r), и в частности равновесное давление Р₀=f(r₀). Отклонения величины давления от равновесного в звуковой волне очень малы. Давление удобно измерять в барах (1 бар=10⁵н/м²). Давление в одну стандартную атмосферу приб­лизительно равно 1 бар (1 атм=1,0133 бар). Для звука обычно используется логарифмическая шкала интенсивности, так как восприятие уха, грубо говоря, растет логарифмически. В этой децибельной шкале уровень звукового давления I связан с амплитудой звукового давления:

I=20log₁₀(P/P_отн) дб, (47.1)

где давление отнесено к некоторому стандартному давлению Р_отн=2·10^-10 бар.

Звуковое давление Р=10³ Р_отн=2·10^-7 бар соответствует довольно сильному звуку в 60 дб. Мы видим, что давление ме­няется в звуковой волне на очень малую величину по сравнению с равновесным или средним, равным 1 атм. Смещение и перепады плотности также очень малы. При взрывах, однако, изменения уже не столь малы; избыточное звуковое давление может пре­вышать 1 атм. Такие большие перепады давления приводят к новым явлениям, которые мы рассмотрим позже. В звуковых волнах уровень силы звука выше 100 дб встречается редко; уровень силы звука в 120 дб уже вызывает боль в ушах. Поэто­му, написав для звуковой волны

Р=Р₀+Р_u, r = r₀+r_u, (47.2)

можно считать, что изменение давления P_u очень мало по сравнению с P₀, а изменение плотности r_u очень мало по сравнению с r₀. Тогда

P₀+Р_u=f(r₀+r_u)=f(r₀)+ r_uf\'(r₀), (47.3)

где P₀ = f(r₀) и f\'(r₀) — производная от f(r), взятая при значении r =r₀. Второе равенство здесь возможно только потому, что r_u очень мало. Таким образом, мы находим, что избыточное давление P_u пропорционально избыточной плот­ности r_u; коэффициент пропорциональности обозначается через к:

(II) Р_u=cr_u, где c=f\'(r₀)=(dP/dr)₀. (47.4)

Это весьма простое соотношение и составляет точное содержа­ние свойства II.

Перейдем теперь к свойству I. Предположим, что положение элемента объема воздуха, не возмущенного звуковой волной, есть х, а звук смещает его в момент времени t на величину c(х,t), так что его новое положение есть x+c(x,t), как показано на фиг. 47.3.



Фиг. 47.3. Смещение воздуха в точке х есть c (х,t), а в точке х+Dх равно c(x+Dx,t).

Первоначальный объем, приходящийся на единицу площади в плоской звуковой волне, есть Dx, а окончательный объем равен Dx+c(x+Dx,t)-c(x,t).

Далее, положение соседнего элемента объема есть х+Dх, и его смещенное положение есть х+Dх+c(х+Dх,t). Теперь можно найти изменение плотности. Поскольку мы рас­сматриваем плоскую волну, удобно взять единичную площадку, перпендикулярную оси х, т. е. направлению распространения волны. Количество воздуха, приходящееся на единичную площадку в интервале Dx, есть r₀Dx, где r₀ — невозмущенная, или равновесная, плотность воздуха. Эта порция воздуха, сме­щенная звуковой волной, будет находиться теперь между x+c (x,t) и x+Dх+c (х+Dх,t), причем количество воздуха в этом интервале то же самое, что в интервале Dx до прихода волны. Если через r обозначить новую плотность, то

r₀Dx=r [x+Dx+c (x+Dx,t)-x-c (x,t)]. (47.5)

Поскольку Dx мало, можно написать c (x+Dx,t)-c (x,t)=(дc/дx)Dx. Здесь уже появляется частная производная, потому что c зависит и от x, и от времени. Наше уравнение принимает вид

r₀Dx =r ((дc/дx) Dx +Dx), (47.6)

или

r₀=(r₀+r_u)дc/дx+r₀+r_u. (47.7)

Но в звуковой волне все изменения малы, так что r_u мало, c мало и дc/дх тоже мало. Поэтому в уравнении, которое мы только что написали,

r_u=-r₀(дc/дx)- r_u(дc/дx), (47.8)

можно пренебречь r_u(дc/дх) по сравнению с r₀(дc/дх). Так мы приходим к соотношению, которое требовалось согласно свойству I:

(I) r_u=-r₀дc/дx. (47.9)

Именно такой вид уравнения можно было ожидать из чисто физических соображений. Если смещение различно для разных х, плотность будет изменяться. Знак тоже правильный: если сме­щение c растет с ростом х, так что воздух расширяется, плотность должна уменьшаться.

Теперь нам нужно найти третье уравнение — уравнение движения, производимого избытком давления. Зная соотноше­ние между силой и давлением, можно получить уравнение дви­жения. Возьмем объем воздуха толщиной Dx и с единичной пло­щадью грани, перпендикулярной х, тогда масса воздуха в этом объеме есть r₀Dx, а ускорение воздуха есть д²c/дt², так что масса, умноженная на ускорение для этого слоя, есть r₀Dx(д²c/дt²). (Если Dx; мало, то безразлично, где брать ускорение — на краю слоя или где-нибудь посредине.) Сила, действующая на единич­ную площадку нашего слоя, перпендикулярную оси x, должна быть равна r₀Dx(д²хc/дt²). В точке х мы имеем силу Р(х,t), дей­ствующую на единицу площади в направлении +х, а в точке x+Dx; возникает сила в обратном направлении, по величине равная Р(x;+ Dx, t) (фиг. 47.4):



Фиг. 47.4. Результирующая сила в направлении оси х, возникающая за счет давления на единичную площадку, перпендикулярную к оси х, есть — (дР/дх)Dх.

Р(х, t)-P(x+Dx, t)=-(дP/дx) Dx=(дP_u/дx) Dx. (47.10)

Мы учли, что Dx; мало и что только избыточное давление Р_и меняется в зависимости от х. Итак, согласно свойству III мы получаем

(III) r₀=д²c/дt²=-дP_u/дx. (47.11)

Теперь уже уравнений достаточно, чтобы увязать все вели­чины и привести к одной переменной, скажем х. Можно выразить Р_u в (47.11) с помощью (47.4):

r₀д²c/дt²-cдr_u/дx (47.12)

а затем исключить r_u с помощью (I). Тогда r₀ сократится и у нас останется

д2c/дt²=xд²c/дx². (47.13)

Обозначим с²_s =x, тогда можно написать







Это и есть волновое уравнение, которое описывает распростра­нение звука в среде.

§ 4. Решения волнового уравнения

Посмотрим теперь, действительно ли волновое уравнение описывает основные свойства звуковых волн в среде. Прежде всего мы хотим вывести, что звуковое колебание, или возмуще­ние, движется с постоянной скоростью. Кроме того, нам нужно доказать, что два различных колебания могут свободно прохо­дить друг через друга, т. е. принцип суперпозиции. Мы хотим еще доказать, что звук может распространяться и вправо и влево. Все эти свойства должны содержаться в нашем одном урав­нении.





Раньше мы отмечали, что любое возмущение, имеющее вид плоской волны и движущееся с постоянной скоростью, записы­вается в виде f(x-vt). Посмотрим теперь, является ли f(x-vt) решением волнового уравнения. Вычисляя дc/дх, получаем производную функции dcldx=f\'(x-vt). Дифференцируя еще раз, находим





Дифференцируя эту же функцию c по t, получаем значение — V, умноженное на производную, или дc/dt=-vf (x-vt); вторая производная по времени дает

Очевидно, что f(х-vt) удовлетворяет волновому уравнению, если v равно c_s.

Таким образом, из законов механики мы получаем, что любое звуковое возмущение распространяется со скоростью c_s и, кроме того,



тем самым мы связали скорость звуковых волн со свойствами среды.





Легко увидеть, что звуковая волна может распространяться: и в направлении отрицательных х, т. е. звуковое возмущений вида c (х, t)=g(x+vt) также удовлетворяет волновому уравнению. Единственное отличие этой волны от той, которая распростра­нялась слева направо, заключается в знаке v, но знак д²c/dt² не зависит от выбора x+vt или х-vt, потому что в эту производ­ную входит только v². Отсюда следует, что решение уравнения описывает волны, бегущие в любом направлении со скоростью c_s.

Особый интерес представляет вопрос о суперпозиции решений. Допустим, мы нашли одно решение, скажем c₁ . Это значит, что вторая производная 3d по х равна второй производной c₁ по t₁, умноженной на 1/с^2s. И пусть есть второе решение c₂, обладаю­щее тем же свойством. Сложим эти два решения, тогда полу­чается

c (x, t)= c₁(x, t) + c₂(x, t). (47.17)





Теперь мы хотим удостовериться, что c (х, t) тоже представ­ляет некую волну, т. е. c тоже удовлетворяет волновому уравнению. Это очень просто доказать, так как





и вдобавок



Отсюда следует, что d²c/dx²=(l/c²_s)д²c/dt², так что справедли­вость принципа суперпозиции проверена. Само существование принципа суперпозиции связано с тем, что волновое уравнение линейно по c.





Теперь естественно было бы ожидать, что плоская световая волна, распространяющаяся вдоль оси х и поляризованная так, что электрическое поле направлено по оси y, тоже удовлет­воряет волновому уравнению

где с — скорость света. Волновое уравнение для световой волны есть одно из следствий уравнений Максвелла. Уравнения элект­родинамики приводят к волновому уравнению для света точно так же, как уравнения механики приводят к волновому урав­нению для звука.

§ 5. Скорость звука

При выводе волнового уравнения для звука мы получили формулу, которая связывает при нормальном давлении скорость движения волны и относительное изменение давления с плотностью: с²_s=(dP/dr)₀. (47.21) Чтобы оценить скорость изменения давления, очень важно знать, как при этом меняется температура. Можно ожидать, что в местах сгущения звуковой волны температура повысится, а в местах разрежения — понизится. Ньютон первым вычислил скорость изменения давления с плотностью, предположив, что температура при этом не меняется. Он считал, что тепло пере­дается из одной области звуковой волны в другую так быстро, что температура измениться не успеет. Способ Ньютона дает изотермическую скорость звука, что неправильно. Правильное вычисление было сделано позже Лапласом, считавшим вопреки Ньютону, что давление и температура в звуковой волне меня­ются адиабатически. Поток тепла из области сгущения в область разрежения пренебрежимо мал, если только длина волны ве­лика по сравнению с длиной свободного пробега. При этих условиях ничтожная утечка тепла в звуковой волне не влияет на скорость звука, хотя и приводит к небольшому поглощению звуковой энергии. Мы можем, естественно, ожидать, что погло­щение тепла усилится, когда длина волны приблизится к длине свободного пробега, но такие длины волн примерно в миллион раз меньше длины волны слышимого звука.

Итак, для звука истинная скорость изменения давления с плотностью должна вычисляться без учета отвода тепла. Это соответствует адиабатическому изменению давления, для ко­торого мы нашли, что PV^g=const, где V — объем. Поскольку плотность r обратно пропорциональна объему, связь P и r для адиабатических процессов дается соотношением

P=const·r^g, (47.22)

откуда мы получаем dP/dr=gP/r. Тогда для скорости звука возникает соотношение

c²_s =gP/r. (47.23)

Можно еще написать с²_s= gPV/rV и использовать соотноше­ние PV=NkT. Мы видим, кроме того, что rV есть масса газа, которую можно записать как Nm или m, где m — масса молекулы, а m — молекулярный вес. Таким образом, находим







откуда видно, что скорость звука зависит только от темпе­ратуры газа и не зависит от давления или плотности. Мы уже отмечали, что

kT=¹/₃m<v²>, (47.25)





где <v²> — средняя квадратичная скорость молекул. Отсюда следует, что с²_s=g/3 <v²>, или



Это равенство означает, что скорость звука есть средняя ско­рость молекул воздуха (точнее, корень квадратный из средней квадратичной скорости), умноженная на некоторое число, грубо говоря, на 1/(3)^1/2. Другими словами, она того же порядка величины, что и скорость молекул, но на самом деле несколько меньше средней скорости молекул.

В общем-то мы могли этого ожидать, потому что такое воз­мущение, как изменение плотности, передается в конечном счете движением молекул. Однако подобного рода соображения не подсказывают нам точного значения скорости; могло ведь оказаться, что звук переносится самыми быстрыми или самыми медленными молекулами. Разумно и весьма утешительно, что скорость звука оказалась равной приблизительно половине средней молекулярной скорости.

* При таком выборе P_отн Р — уже не максимальная амплитуда зву­кового давления, а «среднее квадратичное» давление, равное максималь­ному, деленному на 1/Ц2.



 

 

Глава 48

БИЕНИЯ

§ 1. Сложение двух волн

§ 2. Некоторые замечания о биениях и модуляции

§ 3. Боковые полосы

§ 4. Локализован­ный волновой пакет

§ 5. Амплитуда вероятности частиц

§ 6. Волны в простран­стве трех измерений

§ 7. Собственные колебания

§ 1. Сложение двух волн

Не так давно мы довольно подробно обсуж­дали свойства световых волн и их интерферен­цию, т. е. эффект суперпозиции двух волн от различных источников. Но при этом пред­полагалось, что частоты источников оди­наковы. В этой же главе мы остановимся на некоторых явлениях, возникающих при интер­ференции двух источников с различными ча­стотами.

Нетрудно догадаться, что при этом произой­дет. Действуя так же, как прежде, давайте предположим, что имеются два одинаковых осциллирующих источника с одной и той же частотой, причем фазы их подобраны так, что в некоторую точку Р сигналы приходят с оди­наковой фазой. Если это свет, то в этой точке он очень ярок, если это звук, то он очень громок, а если это электроны, то их очень много. С другой стороны, если приходящие волны отличаются по фазе на 180°, то в точке Р не будет никаких сигналов, ибо полная амплитуда будет иметь здесь минимум. Предположим теперь, что некто крутит ручку «регулировка фазы» одного из источников и меняет разность фаз в точке Р то туда, то сюда, скажем сначала он делает ее нулевой, затем — равной 180° и т. д. При этом, разумеется, будет меняться и сила приходящего сигнала. Ясно теперь, что если фаза одного из источников медленно, постоянно и равномерно меняется по сравнению с другим, начиная с нуля, а затем возрастает постепенно до 10, 20, 30, 40° и т. д., то в точке Р мы увидим ряд слабых и сильных «пульсаций», ибо когда разность фаз проходит через 360°, в амплитуде снова возникает максимум. Но утверждение, что один источник с постоянной скоростью меняет свою фазу по отношению к другому, равносильно утверждению, что число колебаний в 1 сек у этих двух источников несколько различно.

Итак, теперь известен ответ: если взять два источника, ча­стоты которых немного различны, то в результате сложения получаются колебания с медленно пульсирующей интенсив­ностью. Иначе говоря, все сказанное здесь действительно имеет отношение к делу!

Этот результат легко получить и математически. Предположим, например, что у нас есть две волны и забудем на минуту о всех пространственных соотношениях, а просто посмотрим, что приходит в точку Р. Пусть от одного источника приходит волна cosw₁t, а от другого — волна cosw₂t, причем обе частоты w₁ и w₂ не равны в точности друг другу. Разумеется, амплитуды их тоже могут быть различными, но сначала давайте предположим, что амплитуды равны. Общую задачу мы рассмотрим позднее. Полная амплитуда в точке Р при этом будет суммой двух косинусов. Если мы построим график зависимости амплитуды от вре­мени, как это показано на фиг.48.1,то окажется, что, когда гребни двух волн совпадают, получается большое отклонение, когда совпадают гребень и впадина — практически нуль, а когда гребни снова совпадают, вновь получается большая волна.







Фиг. 48.1. Суперпозиция двух косинусообразных волн с отношением частот 8:10. Точное повторение колебаний внутри каждого биения для общего случая не типично.

Математически нам нужно взять сумму двух косинусов и как-то ее перестроить. Для этого потребуются некоторые полез­ные соотношения между косинусами. Давайте получим их. Вы знаете, конечно, что

e^i(a+b)=e^iae^ib (48.1)

и что вещественная часть экспоненты e^ia равна cosа, а мни­мая часть равна sin а. Если мы возьмем вещественную часть ехр [-i(a+b)], то получим cos (a+b), а для произведения

e^iae^ib=(cosa+isin a)(cosb+isinb)

мы получаем cosacosb-sinasinb плюс некоторая мнимая добавка. Сейчас, однако, нам нужна только вещественная часть. Таким образом,

cos(a+b)=cosacosb-sinasinb. (48.2)

Если теперь изменить знак величины b, то, поскольку коси­нус при этом не изменяет знака, а синус изменяет знак на обратный, мы получаем аналогичное выражение для косинуса разности

cos(a-b)=cosacosb+sinasinb. (48.3)

После сложения этих двух уравнений произведение синусов сократится, и мы находим, что произведение двух косинусов равно половине косинуса суммы плюс половина косинуса разности

cosacosb=¹/₂cos (а+b)+¹/₂cos (a-b). (48.4)

Теперь можно обернуть это выражение и получить формулу для cosa+cosb, если просто положить a = а+b, a b= а-b, т. е. a =¹/₂(a+b), a b=¹/₂(a-b):

cosa+cosb=2cos¹/₂(a+b) cos¹/₂(a-b). (48.5)

Но вернемся к нашей проблеме. Сумма cosw₁t и cosw₂t равна

cosw₁t+cosw₂t=2cos¹/₂(w₁+w₂)tcos¹/₂(w₁-w₂)t. (48.6)

Пусть теперь частоты приблизительно одинаковы, так что ¹/₂(w₁+w₂) равна какой-то средней частоте, которая более или менее та же, что и каждая из них. Но разность w₁-w₂ гораздо меньше, чем w₁ и w₂, поскольку мы предположили, что w₁ и w₂ приблизительно равны друг другу. Это означает, что результат сложения можно истолковать так, как будто есть косинусообразная волна с частотой, более или менее равной пер­воначальным, но что «размах» ее медленно меняется: он пульси­рует с частотой, равной ¹l₂(w₁-w₂)- Но та ли это частота, с которой мы слышим биения? Уравнение (48.6) говорит, что амплитуда ведет себя как cos¹/₂(w₁-w₂), и это надо понимать так, что высокочастотные колебания заключены между двумя косинусоидами с противоположными знаками (пунктирная линия на фиг. 48.1). Хотя амплитуда действительно меняется с частотой ¹/₂(w₁-w₂), однако если речь идет об интенсивности волн, то мы должны представлять себе частоту в два раза боль­шую. Иначе говоря, модуляция амплитуды в смысле ее интен­сивности происходит с частотой w₁-w₂, хотя мы и умножаем на косинус половинной частоты.

Пренебрегая этими небольшими усложнениями, мы можем заключить, что если складывать две волны с частотами w₁ и w₂, то получим волну с частотой, равной средней частоте ¹/₂(w₁+w₂), «сила» которой осциллирует с частотой w₁-w₂.





Если амплитуды двух волн различны, то можно, конечно, повторить все вычисления снова, умножив предварительно косинусы на различные амплитуды А₁ и А₂ и произведя массу всяких математических вычислений, перестроек и т. п. с исполь­зованием уравнений, подобных (48.2) — (48.5). Однако есть и другой, более легкий путь провести этот же анализ. Известно, например, что гораздо легче работать с экспонентами, чем с синусами и косинусами, поэтому можно представить A₁созw₁t как реальную часть экспоненты А ₁ехр (iw₁t). Подобным же обра­зом вторая волна будет реальной частью A₂ехр(iw₂t). После сложения этих экспонент A₁exp(iw₁t)+A₂exp(iw₂t) и выделения в качестве множителя экспоненты со средней частотой мы получим



т. е. снова оказывается, что высокочастотная волна модули­руется малой частотой.

§ 2. Некоторые замечания о биениях и модуляции

Предположим теперь, что нас интересует интенсивность волны, описываемой уравнением (48.7). Чтобы найти ее, нужно взять квадрат абсолютной величины либо правой, либо левой части этого уравнения. Давайте возьмем левую часть. Интен­сивность при этом будет равна

I = A²₁+A²₂ + 2A₁A₂cos(w_l -w₂)t. (48.8)

Видите, интенсивность возрастает и падает с частотой w₁-w₂, изменяясь в пределах между (А₁+A₂)² и (А₁-A₂)². Если А₁№А₂, то минимальная интенсивность не равна нулю.





Те же результаты можно получить и другим путем—с по­мощью схем, подобных фиг. 48.2.



Фиг. 48.2. Результат сложения двух комплексных векторов с рав­ными частотами.

Изобразим одну из волн в виде вектора длиной A₁ в комплексной плоскости, вращающе­гося с угловой скоростью w₁. Вторую волну изобразим другим вектором, длина которого A₂, а угловая скорость вращения w₂. Если эти частоты в точности равны между собой, то мы по­лучим вращающийся вектор, длина которого все время по­стоянна. Так что интенсивность в этом случае будет все время постоянной фиксированной величиной. Если, однако, частоты хоть немного отличаются одна от другой, то эти два вектора будут крутиться с различными скоростями.

На фиг. 48.3 показано, как выглядит вся картина «с точки зрения» вектора A₁exp(iw₁t).





Фиг. 48.3. Результат сложения двух комплексных векторов с раз­личными частотами во вращаю­щейся системе отсчета первого вектора.

Показаны девять последовательных по­ложений медленно вращающегося век­тора.