Глава 21
ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
§ 1. Линейные дифференциальные уравнения
§ 2. Гармонический осциллятор
§ 3. Гармоническое движение и движение по окружности
§ 4. Начальные условия
§ 5. Колебания под действием внешней силы
§ 1. Линейные дифференциальные уравнения
Обычно физику как науку делят на несколько разделов: механику, электричество и г. п., и мы «проходим» эти разделы один за другим. Сейчас, например, мы «проходим» в основном механику. Но то и дело происходят странные вещи: переходя к новым разделам физики и даже к другим наукам, мы сталкиваемся с уравнениями, почти не отличающимися от уже изученных нами ранее. Таким образом, многие явления имеют аналогию в совсем других областях науки. Простейший пример: распространение звуковых волн во многом похоже на распространение световых волн. Если мы достаточно подробно изучим акустику, то обнаружим потом, что «прошли» довольно большую часть оптики. Таким образом, изучение явлений в одной области физики может оказаться полезным при изучении других ее разделов. Хорошо с самого начала предвидеть такое возможное «расширение рамок раздела», иначе могут возникнуть недоумения, почему мы тратим столько времени и сил на изучение небольшой задачи механики.
Гармонический осциллятор, к изучению которого мы сейчас переходим, будет встречаться нам почти всюду; хотя мы начнем с чисто механических примеров грузика на пружинке, малых отклонений маятника или каких-то других механических устройств, на самом деле мы будем изучать некое дифференциальное уравнение. Это уравнение непрестанно встречается в физике и в других науках и фактически описывает столь многие явления, что, право же, стоит того, чтобы изучить его получше. Такое уравнение описывает колебания грузика на пружинке, колебания заряда, текущего взад и вперед по электрической цепи, колебания камертона, порождающие звуковые волны, аналогичные колебания электронов в атоме, порождающие световые волны. Добавьте сюда уравнения, описывающие действия регуляторов, например поддерживающих заданную температуру термостата, сложные взаимодействия в химических реакциях и (уже совсем неожиданно) уравнения, относящиеся к росту колонии бактерий, которых одновременно и кормят и травят ядом, или к размножению лис, питающихся кроликами, которые в свою очередь едят траву, и т. д. Мы привели очень неполный список явлений, которые описываются почти теми же уравнениями, что и механический осциллятор. Эти уравнения называются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Это уравнения, состоящие из суммы нескольких членов, каждый из которых представляет собой производную зависимой величины по независимой, умноженную на постоянный коэффициент. Таким образом,
называется линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами (все аn — постоянные).
§ 2. Гармонический осциллятор
Пожалуй, простейшей механической системой, движение которой описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, является масса на пружинке. После того как к пружинке подвесят грузик, она немного растянется, чтобы уравновесить силу тяжести. Проследим теперь за вертикальными отклонениями массы от положения равновесия (фиг. 21.1).
Фиг. 21.1. Грузик, подвешенный на пружинке.
Простой пример гармонического осциллятора.
Отклонения вверх от положения равновесия мы обозначим через х и предположим, что имеем дело с абсолютно упругой пружиной. В этом случае противодействующие растяжению силы прямо пропорциональны растяжению. Это означает, что сила равна -kx (знак минус напоминает нам, что сила противодействует смещениям). Таким образом, умноженное на массу ускорение должно быть равно -kx
m(d2x/dt2)=-kx. (21.2)
Для простоты предположим, что вышло так (или мы нужным образом изменили систему единиц), что k/m = 1. Нам предстоит решить уравнение
d2x/dt2=-x. (21.3)
После этого мы вернемся к уравнению (21.2), в котором k и m содержатся явно.
Мы уже сталкивались с уравнением (21.3), когда только начинали изучать механику. Мы решили его численно [см. вып. 1, уравнение (9.12)], чтобы найти движение. Численным интегрированием мы нашли кривую (см. фиг. 9.4, вып. 1), которая показывает, что если частица m в начальный момент выведена из равновесия, но покоится, то она возвращается к положению равновесия. Мы не следили за частицей после того, как она достигла положения равновесия, но ясно, что она на этом не остановится, а будет колебаться (осциллировать). При численном интегрировании мы нашли время возврата в точку равновесия: t=1,570. Продолжительность полного цикла в четыре раза больше: t0=6,28 «сек». Все это мы нашли численным интегрированием, потому что лучше решать не умели. Но математики дали в наше распоряжение некую функцию, которая, если ее продифференцировать дважды, переходит в себя, умножившись на -1. (Можно, конечно, заняться прямым вычислением таких функций, но это много труднее, чем просто узнать ответ.)
Эта функция есть: x=cost. Продифференцируем ее: dx/dt=-sint, a d2x/dt2 =-wt=-x. В начальный момент t=0, x=1, а начальная скорость равна нулю; это как раз те предположения, которые мы делали при численном интегрировании. Теперь, зная, что x=cost, найдем точное значение времени, при котором z=0. Ответ: t=p/2, или 1,57108. Мы ошиблись раньше в последнем знаке, потому что численное интегрирование было приближенным, но ошибка очень мала!
Чтобы продвинуться дальше, вернемся к системе единиц, где время измеряется в настоящих секундах. Что будет решением в этом случае? Может быть, мы учтем постоянные k и т, умножив на соответствующий множитель cost? Попробуем. Пусть x=Acost, тогда dx/dt=-Asint и d2t/dt2=-Acost=-x. К нашему огорчению, мы не преуспели в решении уравнения (21.2), а снова вернулись к (21.3). Зато мы открыли важнейшее свойство линейных дифференциальных уравнений: если умножить решение уравнения на постоянную, то мы снова получим решение. Математически ясно — почему. Если х есть решение уравнения, то после умножения обеих частей уравнения на А производные тоже умножатся на A и поэтому Ах так же хорошо удовлетворит уравнению, как и х. Послушаем, что скажет по этому поводу физик. Если грузик растянет пружинку вдвое больше прежнего, то вдвое возрастет сила, вдвое возрастет ускорение, в два раза больше прежней будет приобретенная скорость и за то же самое время грузик пройдет вдвое большее расстояние. Но это вдвое большее расстояние — как раз то самое расстояние, которое надо пройти грузику до положения равновесия. Таким образом, чтобы достичь равновесия, требуется столько же времени и оно не зависит от начального смещения. Иначе говоря, если движение описывается линейным уравнением, то независимо от «силы» оно будет развиваться во времени одинаковым образом.
Ошибка пошла нам на пользу — мы узнали, что, умножив решение на постоянную, мы получим решение прежнего уравнения. После нескольких проб и ошибок можно прийти к мысли, что вместо манипуляций с х надо изменить шкалу времени. Иначе говоря, уравнение (21.2) должно иметь решение вида
x=cosw0t. (21.4)
(Здесь w0 — вовсе не угловая скорость вращающегося тела, но нам не хватит всех алфавитов, если каждую величину обозначать особой буквой.) Мы снабдили здесь w индексом 0, потому что нам предстоит встретить еще много всяких омег: запомним, что w0 соответствует естественному движению осциллятора. Попытка использовать (21.4) в качестве решения более успешна, потому что dx/dt=-(w0sinw0t и d2x/dt2=-w20wsw0t=-w20x. Наконец-то мы решили то уравнение, которое и хотели решить. Это уравнение совпадает с (21.2), если w20=k/m.
Теперь нужно понять физический смысл w0. Мы знаем, что косинус «повторяется» после того, как угол изменится на 2я. Поэтому x=cosw0t будет периодическим движением; полный цикл этого движения соответствует изменению «угла» на 2p. Величину w0t часто называют фазой движения. Чтобы изменить w0t на 2p, нужно изменить t на t0 (период полного колебания); конечно, t0 находится из уравнения w0t0=2p. Это значит, что w0t0 нужно вычислять для одного цикла, и все будет повторяться, если увеличить t на t0; в этом случае мы увеличим фазу на 2p. Таким образом,
Значит, чем тяжелее грузик, тем медленнее пружинка будет колебаться взад и вперед. Инерция в этом случае будет больше, и если сила не изменится, то ей понадобится большее время для разгона и торможения груза. Если же взять пружинку пожестче, то движение должно происходить быстрее; и в самом деле, период уменьшается с увеличением жесткости пружины.
Заметим теперь, что период колебаний массы на пружинке не зависит от того, как колебания начинаются. Для пружинки как будто безразлично, насколько мы ее растянем. Уравнение движения (21.2) определяет период колебаний, но ничего не говорит об амплитуде колебания. Амплитуду колебания, конечно, определить можно, и мы сейчас займемся этим, но для этого надо задать начальные условия.
Дело в том, что мы еще не нашли самого общего решения уравнения (21.2). Имеется несколько видов решений. Решение x=acosw0t соответствует случаю, когда в начальный момент пружинка растянута, а скорость ее равна нулю. Можно иначе заставить пружинку двигаться, например улучить момент, когда уравновешенная пружинка покоится (х=0), и резко ударить по грузику; это будет означать, что в момент t=0 пружинке сообщена какая-то скорость. Такому движению будет соответствовать другое решение (21.2) — косинус нужно заменить на синус. Бросим в косинус еще один камень: если x=cosw0t—решение, то, войдя в комнату, где качается пружинка, в тот момент (назовем его «t=0»), когда грузик проходит через положение равновесия (x=0), мы будем вынуждены заменить это решение другим. Следовательно, x=cosw0t не может быть общим решением; общее решение должно допускать, так сказать, перемещение начала отсчета времени. Таким свойством обладает, например, решение x=acosw0(t-t1), где t1 — какая-то постоянная. Далее, можно разложить
cos(w0t+D)=cosw0tcosD-sinw0tsinD и записать
x=Acosw0t+Вsinw0t,
где A=acosD и В=-asinD. Каждую из этих форм можно использовать для записи общего решения (21.2): любое из существующих в мире решений дифференциального уравнения
d2x/dt2 =-w20x можно записать в виде
x=acosw0(t-t1), (21.6а)
или
x=acos(w0t+D), (21.6б)
или
х=Acosw0t+B sinw0t. (21.6в)
Некоторые из встречающихся в (21.6) величин имеют названия: w0 называют угловой частотой; это число радианов, на которое фаза изменяется за 1 сек. Она определяется дифференциальным уравнением. Другие величины уравнением не определяются, а зависят от начальных условий. Постоянная а служит мерой максимального отклонения груза и называется амплитудой колебания. Постоянную D иногда называют фазой колебания, но здесь возможны недоразумения, потому что другие называют фазой w0t+D и говорят, что фаза зависит от времени. Можно сказать, что D — это сдвиг фазы по сравнению с некоторой, принимаемой за нуль. Не будем спорить о словах. Разным D соответствуют движения с разными фазами. Вот это верно, а называть ли D фазой или нет — уже другой вопрос.
§ 3. Гармоническое движение и движение по окружности
Косинус в решении уравнения (21.2) наводит на мысль, что гармоническое движение имеет какое-то отношение к движению по окружности. Это сравнение, конечно, искусственное, потому что в линейном движении неоткуда взяться окружности: грузик движется строго вверх и вниз. Можно оправдаться тем, что мы уже решили уравнение гармонического движения, когда изучали механику движения по окружности. Если частица движется по окружности с постоянной скоростью v, то радиус-вектор из центра окружности к частице поворачивается на угол, величина которого пропорциональна времени. Обозначим этот угол q=vt/R (фиг. 21.2).
Фиг. 21.2. Частица, движущаяся по кругу с постоянной скоростью.
Тогда dq/dt=w0=v/R. Известно, что ускорение а=v2/R=w20R и направлено к центру. Координаты движущейся точки в заданный момент равны
х=Rcosq, y=Rsinq.
Что можно сказать об ускорении? Чему равна x-составляющая ускорения, d2x/dt2. Найти эту величину можно чисто геометрически: она равна величине ускорения, умноженной на косинус угла проекции; перед полученным выражением надо поставить знак минус, потому что ускорение направлено к центру:
ах=-acosq=-wRcosq=-w20х. (21.7)
Иными словами, когда частица движется по окружности, горизонтальная составляющая движения имеет ускорение, пропорциональное горизонтальному смещению от центра. Конечно, мы знаем решения для случая движения по окружности: x=Rcosw0t. Уравнение (21.7) не содержит радиуса окружности; оно одинаково при движении по любой окружности при одинаковой w0.
Таким образом, имеется несколько причин, по которым следует ожидать, что отклонение грузика на пружинке окажется пропорциональным cosw0t и движение будет выглядеть так, как если бы мы следили за x-координатой частицы, движущейся по окружности с угловой скоростью w0 . Проверить это можно, поставив опыт, чтобы показать, что движение грузика вверх-вниз на пружинке в точности соответствует движению точки по окружности. На фиг. 21.3 свет дуговой лампы проектирует на экран тени движущихся рядом воткнутой во вращающийся диск иголки и вертикально колеблющегося груза.
Фиг. 21.3. Демонстрация эквивалентности простого гармонического движения и равномерного движения по окружности.
Если вовремя и с нужного места заставить грузик колебаться, а потом осторожно подобрать скорость движения диска так, чтобы частоты их движений совпали, тени на экране будут точно следовать одна за другой. Вот еще способ убедиться в том, что, находя численное решение, мы почти вплотную подошли к косинусу.
Здесь можно подчеркнуть, что поскольку математика равномерного движения по окружности очень сходна с математикой колебательного движения вверх-вниз, то анализ колебательных движений очень упростится, если представить это движение как проекцию движения по окружности. Иначе говоря, мы можем дополнить уравнение (21.2), казалось бы, совершенно лишним уравнением для у и рассматривать оба уравнения совместно. Проделав это, мы сведем одномерные колебания к движению по окружности, что избавит нас от решения дифференциального уравнения. Можно сделать еще один трюк — ввести комплексные числа, но об этом в следующей главе.
§ 4. Начальные условия
Давайте выясним, какой смысл имеют А и В или а и D. Конечно, они показывают, как началось движение. Если движение начнется с малого отклонения, мы получим один тип колебаний; если слегка растянуть пружинку, а потом ударить по грузику — другой. Постоянные А и В или а и D, или какие-нибудь две другие постоянные определяются обстоятельствами, при которых началось движение, или, как обычно говорят, начальными условиями. Нужно научиться определять постоянные, исходя из начальных условий. Хотя для этого можно использовать любое из соотношений (21.6), лучше всего иметь дело с (21.6в). Пусть в начальный момент t=0 грузик смещен от положения равновесия на величину х0 и имеет скорость v0. Это самая общая ситуация, какую только можно придумать. (Нельзя задать начального ускорения, потому что оно зависит от свойств пружины; мы можем распорядиться только величиной х0.) Вычислим теперь А и В. Начнем с уравнения для
х=Acoswot+Bsinw0t;
поскольку нам понадобится и скорость, продифференцируем х и получим
v=-w0Asinw0t+w0Bcosw0t.
Эти выражения справедливы для всех t, но у нас есть дополнительные сведения о величинах х и v при t=0. Таким образом, если положить t=0, мы должны получить слева х0 и v0, ибо это то, во что превращаются х и v при t=0. Кроме того, мы знаем, что косинус нуля равен единице, а синус нуля равен нулю. Следовательно,
х0=А·1+В·0=А
и
vu=-w0A·0+w0B·1=w0B.
Таким образом, в этом частном случае
А=х0, В=v0/w0.
Зная А и В, мы можем, если пожелаем, найти а и D.
Итак, задача о движении осциллятора решена, но есть одна интересная вещь, которую надо проверить. Надо выяснить, сохраняется ли энергия. Если нет сил трения, то энергия должна сохраняться. Сейчас нам удобно использовать формулы
х=acos(wot+D) и v=-w0asin(w0t+D).
Давайте найдем кинетическую энергию Т и потенциальную энергию U. Потенциальная энергия в произвольный момент времени равна 1/2kx2, где х — смещение, a k — постоянная упругости пружинки. Подставляя вместо х написанное выше выражение, найдем
U=1/2kx2=1/2ka2cos2 (w0t+D).
Разумеется, потенциальная энергия зависит от времени; она всегда положительна, это тоже понятно: ведь потенциальная энергия — это энергия пружины, а она изменяется вместе с х. Кинетическая энергия равна 1/2mv2; используя выражение для v, получаем
Т = 1/2mv2=1/2mw20a2sin2(w0t+D).
Кинетическая энергия равна нулю при максимальном х, ибо в этом случае грузик останавливается; когда же грузик проходит положение равновесия (x=0), то кинетическая энергия достигает максимума, потому что именно тогда грузик движется быстрее всего. Изменение кинетической энергии, таким образом, противоположно изменению потенциальной энергии. Полная энергия должна быть постоянной. Действительно, если вспомнить, что k=mw20, то
T+U=1/2mw20а2 [cos2 (w0t+D)+sin2 (w0t+D)] =1/2rnw20a2.
Энергия зависит от квадрата амплитуды: если увеличить амплитуду колебания вдвое, то энергия возрастет вчетверо. Средняя потенциальная энергия равна половине максимальной и, следовательно, половине полной; средняя кинетическая энергия также равна половине полной энергии.
§ 5. Колебания под действием внешней силы
Нам остается рассмотреть колебания гармонического осциллятора под действием внешней силы. Движение в этом случае описывается уравнением
md2x/dt2=-kx+F(t). (21.8)
Давайте подумаем, как будет вести себя грузик при этих обстоятельствах. Внешняя движущая сила может зависеть от времени каким угодно образом. Начнем с простейшей зависимости. Предположим, что сила осциллирует
F(t)=F0coswt. (21.9)
Обратите внимание, что w — это не обязательно w0: будем считать, что можно изменять w, заставляя силу действовать с разной частотой. Итак, надо решить уравнение (21.8) в случае специально подобранной силы (21.9). Каким будет решение (21.8)? Одно из частных решений (общим решением мы еще займемся) выглядит так:
z=Ccoswt, (21.10)
где постоянную С еще надо определить. Иначе говоря, пытаясь найти решение в таком виде, мы предполагаем, что, если тянуть грузик взад и вперед, он в конце концов начнет качаться взад и вперед с частотой действующей силы. Проверим, может ли это быть. Подставив (21.10) в (21.9), получим
—mw2Сcoswt=-mw20Сcoswt+F0coswt. (21.11)
Мы уже заменили k на mw20, потому что удобнее сравнивать две частоты. Уравнение (21.11) можно поделить на содержащийся в каждом члене косинус и убедиться, что при правильно подобранном значении С выражение (21.10) будет решением. Эта величина С должна быть такой:
Таким образом, грузик т колеблется с частотой действующей на него силы, но амплитуда колебания зависит от соотношения между частотой силы и частотой свободного движения осциллятора. Если со очень мала по сравнению с w0, то грузик движется вслед за силой. Если же чересчур быстро менять направление толчков, то грузик начинает двигаться в противоположном по отношению к силе направлении. Это следует из равенства (21.12), которое говорит нам, что величина С отрицательна, если w больше собственной частоты гармонического осциллятора w0. (Мы будем называть w0 собственной частотой гармонического осциллятора, а w — приложенной частотой.) При очень высокой частоте знаменатель становится очень большим и грузик практически не движется.
Найденное нами решение справедливо только в том случае, когда уже установилось равновесие между осциллятором и действующей силой; это происходит после того, как вымрут другие движения. Эти вымирающие движения называют переходным откликом на силу F(t), а движение, описываемое (21.10) и (21.12),— равновесным откликом.
Приглядевшись к формуле (21.12), мы заметим любопытную вещь: если частота со почти равна w0, то С приближается к бесконечности. Таким образом, если настроить силу «в лад» с собственной частотой, отклонения грузика достигнут гигантских размеров. Об этом знает всякий, кому когда-либо приходилось раскачивать ребенка на качелях. Это довольно трудно сделать, если закрыть глаза и беспорядочно толкать качели. Но если найти правильный ритм, то раскачать качели легко, однако, как только мы опять собьемся с ритма, толчки начнут тормозить качели и от такой работы будет мало проку.
Если частота со будет в точности равна w0, то амплитуда должна стать бесконечной, что, разумеется, невозможно. Мы ошиблись, потому что решали не совсем верное уравнение. Составляя уравнение (21.8), мы забыли о силе трения и о многих других силах. Поэтому амплитуда никогда не достигнет бесконечности; пожалуй, пружинка порвется гораздо раньше!
Глава 22
АЛГЕБРА
§ 1. Сложение и умножение
§ 2. Обратные операции
§ 3. Шаг в сторону и обобщение
§ 4. Приближенное вычисление иррациональных чисел
§ 5. Комплексные числа
§ 6. Мнимые экспоненты
§ 1. Сложение и умножение
Изучая осциллятор, нам придется воспользоваться одной из наиболее замечательных, пожалуй самой поразительной из формул, какие можно найти в математике. Физик обычно расправляется с этой формулой примерно за две минуты, даже не обратив на нее внимания. Но наука ведь не только приносит практическую пользу, а служит источником удовольствия, поэтому давайте не будем торопиться проходить мимо этой драгоценности, а посмотрим, как она выглядит в великолепном окружении, которое обычно называют элементарной алгеброй.
Вы можете спросить: «Зачем нужна математика в книге по физике?» Вот несколько уважительных причин: прежде всего математика— очень важный рабочий инструмент, но этим можно оправдать затрату всего лишь двух минут на вывод этой формулы. Однако при изучении теоретической физики мы обнаруживаем, что все физические законы можно записать в виде математических формул, именно это придает законам простоту и красоту. Таким образом, глубокое понимание математических соотношений в конце концов необходимо для понимания природы. Но главная причина — это красота темы: ведь хотя люди разрезали природу на много кусков и продолжают кромсать ее, изучая очень много предметов на различных факультетах, такое разделение искусственно, и мы всегда будем получать наслаждение, собирая вместе отдельные куски.
Еще одна причина, по которой следует заняться поглубже алгеброй: хотя многие из вас уже знакомились с алгеброй в средней школе, но это было только первым знакомством и многие формулы еще непривычны, поэтому стоит еще раз вспомнить алгебру, чтобы не тратить на формулы столько же сил, сколько их уйдет на изучение самой физики.
То, чем мы займемся, с точки зрения математики, не будет настоящей алгеброй. Математик главным образом интересуется тем, как изложить то или иное математическое утверждение и какие предположения обязательны при выводе теоремы, а какие нет. Для нас важнее результат доказательства. Например, теорема Пифагора интересна для нас потому, что в ней сообщается, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы; это очень интересный факт, и мы будем использовать его, не заботясь о том, действительно ли это доказанная Пифагором теорема или просто аксиома. В том же самом духе мы изложим элементарную алгебру, по возможности чисто качественно. Мы говорим элементарная алгебра потому, что существует ветвь математики, называемая высшей алгеброй, где может оказаться неверным, что ab=ba, но таких вещей мы касаться не будем.
Изучение алгебры начнем с середины. Предположим, что нам уже известно, что существуют целые числа, что есть нуль и что значит увеличить число на единицу. Не говорите, пожалуйста: «Вот так середина!», потому что для математика это середина, ведь он знает теорию множеств и может вывести все эти свойства целых чисел. Но мы не будем вторгаться в область философии математики и математической логики, а ограничимся предположением, что нам известны целые числа и мы умеем считать. Если взять целое число а и прибавить к нему b раз по единице, мы получим число а+b; этим определяется сложение целых чисел.
Определив сложение, проделаем вот что: начнем с нуля и прибавим к нему b раз число а; таким образом мы определим умножение целых чисел и будем называть результат произведением а на b.
Теперь можно проделать ряд последовательных умножений: если умножить единицу b раз на число а, то мы возведем а в степень b и запишем результат в виде аb.
Исходя из этих определений, легко доказать такие соотношения
Эти результаты хорошо известны, мы не хотим долго на них останавливаться, а выписаны они больше для порядка. Конечно, 1 и 0 обладают особыми свойствами, например а+0=а, а·1=а и а в первой степени равно а.
Составляя табличку формул (22.1), мы пользовались такими свойствами, как непрерывность и соотношение порядка; дать им определение очень трудно: для этого создана целая наука. Кроме того, мы выписали, конечно, слишком много «правил»; некоторые из этих правил можно вывести из других, но не будем на этом останавливаться.
§ 2. Обратные операции
Кроме прямых операций сложения, умножения и возведения в степень, существуют обратные операции. Их можно определить так. Предположим, что нам заданы а и с; как найти b, удовлетворяющее уравнениям а+b=с, ab=c, ba=с? Если а+b=с, то b определяется при помощи вычитания: b=с-а. Столь же проста операция деления: если ab=c, то b=с/а; это решение уравнения ab=c «задом наперед». Если вам встретится степень: ba=с, то надо запомнить, что b называется корнем а-й степени из с. Например, на вопрос: «Какое число, будучи возведенным в куб, дает 8?» — следует отвечать: «Кубический корень из 8, т. е. 2». Обратите внимание, что, когда дело доходит до степени, появляются две обратные операции. Действительно, ведь раз аb и bа— различные числа, то можно задать и такой вопрос: «В какую степень надо возвести 2, чтобы получить 8?» В этом случае приходится брать логарифм. Если аb=с, то b=logac. He надо пугаться громоздкой записи числа b в этом случае; находить его так же просто, как и результаты других обратных операций. Хотя логарифм «проходят» гораздо позже корня, это такая же простая вещь: просто-напросто это разного сорта решения алгебраических уравнений. Выпишем вместе прямые и обратные операции:
В чем же идея? Выписанные соотношения верны для целых чисел, потому что они выводятся из определений сложения, умножения и возведения в степень. Подумаем, нельзя ли расширить класс объектов, которые по-прежнему будут обозначаться буквами а, b и с и для которых по-прежнему будут верны все сформулированные нами правила, хотя сложение уже нельзя будет понимать как последовательное увеличение числа на единицу, а возведение в степень — как последовательное перемножение целых чисел.
§ 3. Шаг в сторону и обобщение
Если кто-нибудь, усвоив наши определения, приступит к решению алгебраических уравнений, он быстро натолкнется на неразрешимые задачи. Решите, например, уравнение b=3-5. Вам придется в соответствии с определением вычитания найти число, которое дает 3, если к нему добавить 5. Перебрав все целые положительные числа (а ведь в правилах говорится только о таких числах), вы скажете, что задача не решается. Однако можно сделать то, что потом станет системой, великой идеей: наткнувшись на неразрешимую задачу, надо сначала отойти в сторону, а затем обобщить. Пока алгебра состоит для нас из правил и целых чисел. Забудем о первоначальных определениях сложения и умножения, но сохраним правила (22.1) и (22.2) и предположим, что они верны вообще не только для целых положительных чисел (для них эти правила были выведены), а для более широкого класса чисел. Раньше мы записывали целые положительные числа в виде символов, чтобы вывести правила; теперь правила будут определять символы, а символы будут представителями каких-то более общих чисел. Манипулируя правилами, можно показать, что 3-5=0-2. Давайте определим новые числа: 0-1, 0-2, 0-3, 0-4 и т. д. и назовем их целыми отрицательными числами. После этого мы сможем решить все задачи на вычитание. Теперь вспомним и о других правилах, например a(b+c)=ab+ac; это даст нам правило умножения отрицательных чисел. Перебрав все правила, мы увидим, что они верны как для положительных, так и для отрицательных чисел.
Мы значительно расширили область действия наших правил, но достигли этого ценой изменения смысла символов.
Уже нельзя, например, сказать, что умножить 5 на -2 - значит сложить 5 минус два раза. Эта фраза бессмысленна. Тем не менее, пользуясь правилами, вы всегда получите верный результат.
Возведение в степень приносит новые хлопоты. Кто-нибудь обязательно захочет узнать, что означает символ а(3-5). Мы знаем, что 3-5 это решение уравнения (3-5)+5=3. Следовательно, мы знаем, что а(3-5)а5=а3. Теперь можно разделить на а5, тогда а(3-5)=а3/а5. Еще одно усилие, и вот окончательный результат: а(3-5) =1/а2. Таким образом, мы установили, что возведение числа в отрицательную степень сводится к делению единицы на число, возведенное в положительную степень. Все было бы хорошо, если бы 1/а2 не было бессмысленным символом. Ведь а — это целое положительное или отрицательное число, значит, а2 больше единицы, а мы не умеем делить единицу на числа, большие чем единица!
Система так система. Натолкнувшись на неразрешимую задачу, надо расширить царство чисел. На этот раз нам трудно делить: нельзя найти целого числа ни положительного, ни отрицательного, которое появилось бы в результате деления 3 на 5. Так назовем это и другие подобные ему числа рациональными дробями и предположим, что дроби подчиняются тем же правилам, что и целые числа. Тогда мы сможем оперировать дробями так же хорошо, как и целыми числами.
Еще один пример на степень: что такое а3/5? Мы знаем только, что (3/5) 5=3, ибо это определение числа 3/5, и еще, что (а3/5)5 =a(3/5)5, ибо это одно из правил. Вспомнив определение
корня, мы получим а(3/5)= . Определяя таким образом дроби, мы не вводим никакого произвола. Сами правила следят за тем, чтобы подстановка дробей вместо написанных нами символов не была бессмысленной процедурой. Замечательно, что эти правила справляются с дробями так же хорошо, как и с целыми числами (положительными и отрицательными)!
Пойдем дальше по пути обобщения. Существуют ли еще уравнения, которых мы не научились решать? Конечно. Например, нам не под силу уравнение b=21/2=Ц2. Невозможно найти рациональную дробь, квадрат которой равен 2. В наше время это выяснить довольно просто. Мы знаем десятичную систему и не пугаемся бесконечной десятичной дроби, которую можно использовать для приближения корня из двух. Хотя идея такого приближения появилась еще у древних греков, однако усваивалась она с большим трудом. Чтобы точно сформулировать суть такого приближения, надо постичь такие высокие материи, как непрерывность и соотношения порядка, а это очень трудный шаг. Это сделал Дедекинд очень точно и очень формально. Однако, если не заботиться о математической строгости, легко понять, что числа типа Ц2 можно представить в виде целой последовательности десятичных дробей (потому что если остановиться на какой-нибудь десятичной дроби, то получится рациональное число), которая все ближе и ближе подходит к желанному результату. Этих знаний нам вполне достаточно; они позволят свободно обращаться с иррациональными числами и вычислять числа типа Ц2 с нужной точностью.
§ 4. Приближенное вычисление иррациональных чисел
Теперь такой вопрос: как возвести число в иррациональную степень? Например, нам хочется узнать, что такое 10Ц2 . Ответ в принципе очень прост. Возьмем вместо Ц2 его приближение в виде конечной десятичной дроби — это рациональное число. Возводить в рациональную степень мы умеем; дело сводится к возведению в целую степень и извлечению корня. Мы получим приближенное значение числа 10Ц2 . Можно взять десятичную дробь подлиннее (это снова рациональное число). Тогда придется извлечь корень большей степени; ведь знаменатель рациональной дроби увеличится, но зато мы получим более точное приближение. Конечно, если взять приближенное значение Ц2 в виде очень длинной дроби, то возведение в степень будет делом очень трудным. Как справиться с этой задачей?
Вычисление квадратных корней, кубичных корней и других корней невысокой степени — вполне доступный нам арифметический процесс; вычисляя, мы последовательно, один за другим, пишем знаки десятичной дроби. Но для того, чтобы возвести в иррациональную степень или взять логарифм (решить обратную задачу), нужен такой труд, что применить прежнюю процедуру уже не просто. На помощь приходят таблицы. Их называют таблицами логарифмов или таблицами степеней, смотря по тому, для чего они предназначены. Они экономят время: чтобы возвести число в иррациональную степень, мы не вычисляем, а только перелистываем страницы.
Хотя вычисление собранных в таблицы значений — процедура чисто техническая, а все же дело это интересное и имеет большую историю. Поэтому посмотрим, как это делается. Мы
вычислим не только x=10 V2 , но решим и другую задачу: 10x=2, или x=log102. При решении этих задач мы не откроем новых чисел; это просто вычислительные задачи. Решением будут иррациональные числа, бесконечные десятичные дроби, а их как-то неудобно объявлять новым видом чисел.
Подумаем, как решить наши уравнения. Общая идея очень проста. Если вычислить 101 и 101/10, и 101/100, и 101/1000, и т. д., а затем перемножить результаты, то мы получим 101,414..., или 10 Ц2 . Поступая так, мы решим любую задачу такого рода. Однако вместо 101/10 и т. д. мы будем вычислять 101/2, 101/4 и т. д. Прежде чем начинать вычисления, объясним еще, почему мы обращаемся к числу 10 чаще, чем к другим числам. Мы знаем, что значение таблиц логарифмов выходит далеко за рамки математической задачи вычисления корней, потому что
logb(ac)= logba+logbc. (22.3)
Это хорошо известно всем, кто пользовался таблицей логарифмов, чтобы перемножить числа. По какому же основанию b брать логарифмы? Это безразлично; ведь в основу таких вычислений положен только принцип, общее свойство логарифмической функции. Вычислив логарифмы один раз по какому-нибудь произвольному основанию, можно перейти к логарифмам по другому основанию при помощи умножения. Если умножить уравнение (22.3) на 61, то оно останется верным, поэтому если перемножить все числа в таблице логарифмов по основанию b на 61, то можно будет пользоваться и такой таблицей. Предположим, что нам известны логарифмы всех чисел по основанию b. Иначе говоря, можно решить уравнение bа=с для любого с; для этого существует таблица. Задача состоит в том, как найти логарифм этого же числа с по другому основанию, например х. Нам нужно решить уравнение ха\'=с. Это легко сделать, потому что х всегда можно представить так: x=bt. Найти t, зная х и b, просто: t=logbx. Подставим теперь х=bt в уравнение xa\' =с; оно перейдет в такое уравнение: (bt)а\'=bta\'=с. Иными словами, произведение ta\' есть логарифм с по основанию b. Значит, a\'=a/t. Таким образом, логарифмы по основанию х равны произведениям логарифмов по основанию b на постоянное число 1/t. Следовательно, все таблицы логарифмов эквивалентны с точностью до умножения на число 1/logbx. Это позволяет нам выбрать для составления таблиц любое основание, но мы решили, что удобнее всего взять за основание число 10. (Может возникнуть вопрос: не существует ли все-таки какого-нибудь естественного основания, при котором все выглядит как-то проще? Мы попытаемся ответить на этот вопрос позднее. Пока все логарифмы будут вычисляться по основанию 10.)
Теперь посмотрим, как составляют таблицу логарифмов. Работа начинается с последовательных извлечений квадратного корня из 10. Результат можно увидеть в табл. 22.1. Показатели степеней записаны в ее первом столбце, а числа 10S— в третьем. Ясно, что 101=10. Возвести 10 в половинную степень легко — это квадратный корень из 10, а как извлекать квадратный корень из любого числа, знает каждый. Итак, мы нашли первый квадратный корень; он равен 3,16228. Что это дает? Кое-что дает.
Таблица 22.1 · последовательные извлечения
КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ 10
Мы уже можем сказать, чему равно 100,5, и знаем по крайней мере один логарифм. Логарифм числа 3,16228 очень близок к 0,50000. Однако нужно еще приложить небольшие усилия: нам нужна более подробная таблица. Извлечем еще один квадратный корень и найдем 101/4,что равно 1,77828. Теперь мы знаем еще один логарифм: 1,250— это логарифм числа 17,78; кроме того, мы можем сказать, чему равно 100,75: ведь это 10(0,5+0,25), т. е. произведение второго и третьего чисел из третьего столбца табл. 22.1. Если сделать первый столбец таблицы достаточно длинным, то таблица будет содержать почти все числа; перемножая числа из третьего столбца, мы получаем 10 почти в любой степени. Такова основная идея таблиц. В нашей таблице содержится десять последовательных корней из 10; основной труд по составлению таблицы вложен в вычисления этих корней.
Почему же мы не продолжаем повышать точность таблиц дальше? Потому что мы кое-что уже подметили. Возведя 10 в очень малую степень, мы получаем единицу с малой добавкой. Это, конечно, происходит потому, что если возвести, например, 101/1000 в 1000-ю степень, то мы снова получим 10; ясно, что `01/1000 не может быть большим числом: оно очень близко к единице. Более того, малые добавки к единице ведут себя так, будто их каждый раз делят на 2; поглядите-ка на таблицу повнимательнее: 1815 переходит в 903, потом в 450, 225 и т. д. Таким образом, если вычислить еще один, одиннадцатый, квадратный корень, он с большой точностью будет равен 1,00112, и этот результат мы угадали еще до вычисления. Можно ли сказать, какова будет добавка к единице, если возвести 10 в степень D/1024, когда D стремится к нулю? Можно. Добавка будет приблизительно равна 0,0022511D. Конечно, не в точности 0,0022511 D; чтобы вычислить эту добавку поточнее, делают такой трюк: вычитают из 10S единицу и делят разность на показатель степени s. Отклонения полученного таким образом частного от его точного значения одинаковы для любой степени s. Видно, что эти отношения (см. четвертый столбец табл. 22.1) примерно равны. Сначала они все-таки сильно отличаются друг от друга, но потом все ближе подходят друг к другу, явно стремясь к какому-то числу. Что это за число? Проследим, как меняются числа четвертого столбца, если опускаться вниз по столбцу. Сначала разность двух соседних чисел равна 0,0211, потом 0,0104, потом 0,0053 и, наконец, 0,0026. Разность каждый раз убывает наполовину. Сделав еще один шаг, мы доведем ее до 0,0013, потом до 0,0007, 0,0003, 0,0002 и, наконец, примерно до 0,0001; надо последовательно делить 26 на 2. Таким образом, мы спустимся еще на 26 единиц и найдем для предела
2.3025. (Позднее мы увидим, что правильнее было бы взять
2.3026. но давайте возьмем то, что у нас получилось.) Пользуясь этой таблицей, можно возвести 10 в любую степень, если ее показатель каким угодно способом выражается через 1/1024. Теперь легко составить таблицу логарифмов, потому что все необходимое для этого мы уже припасли. Процедура этого изображена в табл. 22.2, а нужные числа берутся из второго и третьего столбцов табл. 22.1.
Таблица 22.2 · ВЫЧИСЛЕНИЯ log102
Предположим, что мы хотим знать логарифм 2. Это значит, что мы хотим знать, в какую степень надо возвести 10, чтобы получить 2. Может быть, возвести 10 в степень 1/2? Нет, получится слишком большое число. Глядя на табл. 22.1, можно сказать, что нужное нам число лежит между 1/4 и 1/2. Поиск его начнем с 1/4; разделим 2 на 1,788..., получится 1,124...; при делении мы отняли от логарифма двух 0,250000, и теперь нас интересует логарифм 1,124.... Отыскав его, мы прибавим к результату 1/4=256/1024. Найдем в табл. 22.1 число, которое бы при движении по третьему столбцу сверху вниз стояло сразу за 1,124... . Это 1,074607. Отношение 1,124... к 1,074607 равно 1,046598. В конце концов мы представим 2 в виде произведения чисел из табл. 22.1:
2=(1,77828)·(1,074607)·(1,036633) · (1,0090350)·(1,000573).
Для последнего множителя (1,000573) в нашей таблице места не нашлось; чтобы найти его логарифм, надо представить это число в виде 10D/1024»1+2,3025D/1024. Отсюда легко найти, что D=0,254. Таким образом, наше произведение можно представить в виде десятки, возведенной в степень 1/1024 (256+32+16+4+0,254). Складывая и деля, мы получаем нужный логарифм: log102=0,30103; этот результат верен до пятого десятичного знака!
Мы вычисляли логарифмы точно так же, как это делал мистер Бриггс из Галифакса в 1620 г. Закончив работу, он сказал: «Я вычислил последовательно 54 квадратных корня из 10». На самом деле он вычислил только 27 первых корней, а потом сделал фокус с D. Вычислить 27 раз квадратный корень из 10, вообще-то говоря, немного сложнее, чем 10 раз, как это сделали мы. Однако мистер Бриггс сделал гораздо большее: он вычислял корни с точностью до шестнадцатого десятичного знака, а когда опубликовал свои таблицы, то оставил в них лишь 14 десятичных знаков, чтобы округлить ошибки. Составить таблицы логарифмов с точностью до четырнадцатого десятичного знака таким методом — дело очень трудное. Зато целых 300 лет спустя составители таблиц логарифмов занимались тем, что уменьшали таблицы мистера Бриггса, выкидывая из них каждый раз разное число десятичных знаков. Только в последнее время при помощи электронных вычислительных машин оказалось возможным составить таблицы логарифмов независимо от мистера Бриггса. При этом использовался более эффективный метод вычислений, основанный на разложении логарифма в ряд.
Составляя таблицы, мы натолкнулись на интересный факт: если показатель степени e очень мал, то очень легко вычислить 10e; это просто 1+2,3025е. Это значит, что 10n/2,3025 =1+n для очень малых n. Кроме того, мы говорили с самого начала, что вычисляем логарифмы по основанию 10 только потому, что у нас на руках 10 пальцев и по десяткам нам считать удобнее. Логарифмы по любому другому основанию получаются из логарифмов по основанию 10 простым умножением. Теперь настало время выяснить, не существует ли математически выделенного основания логарифмов, выделенного по причинам, не имеющим ничего общего с числом пальцев на руке. В этой естественной шкале формулы с логарифмами должны выглядеть проще. Составим новую таблицу логарифмов, умножив все логарифмы по основанию 10 на 2,3025.... Это соответствует переходу к новому основанию — натуральному, или основанию е. Заметим, что loge (l+n)»n или еn»1+n, когда n®0.
Легко найти само число е; оно равно 101/2,3025 или 100,434294... Это 10 в иррациональной степени. Для вычисления е можно воспользоваться таблицей корней из 10. Представим 0,434294... сначала в виде 444,73/1024, а числитель этой дроби в виде суммы 444,73=256+128+32+16+2+0,73. Число е поэтому равно произведению чисел
(1,77828)·(1,33352)·(1,074607)·(1,036633)·(1,018152)X(1,009035)(1,001643) =2,7184.
(Числа 0,73 нет в нашей таблице, но соответствующий ему результат можно представить в виде 1+2,3025D и вычислить, чему равна D.) Перемножив все 7 сомножителей, мы получим 2,7184 (на самом деле должно быть 2,7183, но и этот результат хорош). Используя такие таблицы, можно возводить число в иррациональную степень и вычислять логарифмы иррациональных чисел. Вот как надо обращаться с иррациональностями.
§ 5. Комплексные числа
Хотя мы хорошо поработали, все-таки есть еще уравнения, которые нам не под силу! Например, чему равен квадратный корень из -1? Предположим, что это х, тогда х2=-1. Нет ни рационального, ни иррационального числа, квадрат которого был бы равен -1. Придется снова пополнить запас чисел. Предположим, что уравнение х2=-1 все же имеет решение, и обозначим это решение буквой i; число i имеет пока только одно свойство: будучи возведенным в квадрат, оно дает -1. Вот пока и все, что можно о нем сказать. Однако уравнение х2=-1 имеет два корня. Буквой i мы обозначили один из корней, но кто-нибудь может сказать: «А я предпочитаю иметь дело с корнем -i; моя буква i просто минус ваша i». Возразить ему нечего, потому что число i определяется соотношением i2=-1; это соотношение останется верным, если изменить знак i. Значит, любое уравнение, содержащее какое-то количество i, останется верным, если сменить знаки у всех i. Такая операция называется комплексным сопряжением. Далее, ничто не мешает нам получать новые числа вот так: сложить i несколько раз, умножить i на какое-нибудь наше старое число, прибавить результат умножения к старому числу и т. д. Все это можно сделать, не нарушая ранее установленных правил. Таким образом мы приходим к числам, которые можно записать в виде p+iq, где p и q — числа, с которыми мы имели дело ранее, их называют действительными числами. Число i называют мнимой единицей, а произведение действительного числа на мнимую единицу — чисто мнимым числом. Самое общее число а имеет вид a=p+iq, и его называют комплексным числом. Обращаться с комплексными числами несложно; например, нам надо вычислить произведение (r+is)(p+q). Вспомнив о правилах, мы получим
(r+is)(p+iq)=rp+r(iq)+(is)p+(is)(iq)=rp+i(rq)+i(sp)+(ii)(sq)=(rp-sq)+i(rq+sp), (22.4)
потому что ii=i2=-1. Теперь мы получили общее выражение для чисел, удовлетворяющих правилам (22.1).
Умудренные опытом, полученным в предыдущих разделах, вы скажете: «Рано говорить об общем выражении, надо еще определить, например, возведение в мнимую степень, а потом можно придумать много алгебраических уравнений, ну хотя бы x6+3x2=-2, для решения которых потребуются новые числа». В том-то и дело, что, кроме действительных чисел, достаточно изобрести только одно число — квадратный корень из -1, после этого можно решить любое алгебраическое уравнение! Эту удивительную вещь должны доказывать уже математики. Доказательство очень красиво, очень интересно, но далеко не самоочевидно. Действительно, казалось бы, естественнее всего ожидать, что по мере продвижения в дебри алгебраических уравнений придется изобретать снова, снова и снова. Но самое чудесное, что больше ничего не надо изобретать. Это последнее изобретение. Изобретя комплексные числа, мы установим правила, по которым с этими числами надо обращаться, и больше ничего изобретать не будем. Мы научимся возводить комплексные числа в комплексную степень и выражать решение любого алгебраического уравнения в виде конечной комбинации уже известных нам символов. К новым числам это не приведет. Например, квадратный корень из i, или ii— опять те же комплексные числа. Сейчас мы рассмотрим это подробнее.
Мы уже знаем, как надо складывать и умножать комплексные числа; сумма двух комплексных чисел (р+iq)+(r+is) — это число (p+r)+i(q+s). Но вот возведение комплексных чисел в комплексную степень — уже задача потруднее. Однако она оказывается не труднее задачи о возведении в комплексную степень действительных чисел. Посмотрим поэтому, как возводится в комплексную степень число 10, не в иррациональную, а комплексную; нам надо знать число 10(r+is). Правила (22.1) и (22.2) несколько упрощают задачу
10(r+is)=10r10is (22,5)
Мы знаем, как вычислить 10r, перемножить числа мы тоже умеем, не умеем только вычислить 10is. Предположим, что это комплексное число x+iy. Задача: дано s, найти х и у. Если
10is=x+ iy,
то должно быть верным и комплексно сопряженное уравнение
l0-is=x-iy,
(Некоторые вещи можно получить и без вычислений, надо просто использовать правила.) Перемножая эти равенства, можно получить еще один интересный результат
10is10-is=100=1=(x+iy)(x-iy)=x2+y2 (22.6)
Если мы каким-то образом найдем х, то определить у будет очень легко.
Однако как все-таки возвести 10 в мнимую степень? Где искать помощи? Правила нам уже не помогут, но утешает вот что: если удастся возвести 10 в какую-нибудь одну мнимую степень, то ничего не стоит возвести 10 уже в любую степень. Если известно 10is для одного значения s, то вычисление в случае вдвое большего s сводится к возведению в квадрат и т. д. Но как же возвести 10 в хотя бы одну мнимую степень? Для этого сделаем дополнительное предположение; его, конечно, нельзя ставить в один ряд с правилами (22.1) и (22.2), но оно приведет к разумным результатам и позволит нам шагнуть далеко вперед. Предположим, что «закон» 10e=1+2,3025e (когда e очень мало) верен не только для действительных, но и для комплексных e. Если это так, то 10is=l +2,3025·is при s®0. Предполагая, что s очень мало (скажем, равно 1/1024), мы получаем хорошее приближение числа 10is.
Теперь можно составить таблицу, которая позволит вычислить все мнимые степени 10, т. е. найти числа x и y. Надо поступить так. Начнем с показателя 1/1024, который мы считаем равным примерно 1+2,3025 i/1024. Тогда
10i/1024=1,00000+0,0022486i. (22.7)
Умножая это число само на себя много раз, мы дойдем до степеней более высоких. Мы просто-напросто перевернули процедуру составления таблицы логарифмов и, вычислив квадрат, 4-ю степень, 8-ю степень и т. д. числа (22.7), составили табл. 22.3. Интересно, что сначала все числа х были положительными, а потом вдруг появилось отрицательное число. Это значит, что существует число s, для которого действительная часть 10is равна нулю. Значение у в этом случае равно i, т. е. 10is=i, или is=log10i. В качестве примера (см. табл. 22..3) вычислим с ее помощью Iog10i. Процедура поиска Iog10i в точности повторяет то, что мы делали, вычисляя log102.
Произведение каких чисел из табл. 22.3 равно чисто мнимому числу? После нескольких проб и ошибок мы найдем, что лучше всего умножить «512» на «128». Их произведение равно 0,13056+0,99144i. Приглядевшись к правилу умножения комплексных чисел, можно понять, что надежду на успех сулит умножение этого числа на число, мнимая часть которого приблизительно равна действительной части нашего числа. Мнимая часть «64» равна 0,14349, что довольно близко к 0,13056. Произведение этих чисел равно -0,01350+0,99993i. Мы перескочили через нуль, поэтому результат нужно разделить на 0,99996+0,00900 i. Как это сделать? Изменим знак i и умножим на 0,99996-0,00900 i (ведь x2+y2=1). В конце концов обнаружим, что если возвести 10 в степень i(1/1024) (512+128 + +64-4-2+0,20) или 698,20i/1024, то получится мнимая единица. Таким образом, Iog10i=0,068226i.
Таблица 22.3 · последовательное: вычисление квадратов
10i/1024 =1+0,0022486i
§ 6. Мнимые экспоненты
Фиг. 22.1. Вещественная и мнимая части функции 10is.
Чтобы лучше понять, что такое число в мнимой степени, вычислим последовательные степени десяти. Мы не будем каждый раз удваивать степень, чтобы не повторять табл. 22.3, и посмотрим, что случится с действительной частью после того, как она станет отрицательной. Результат можно увидеть в табл. 22.4.
В этой таблице собраны последовательные произведения числа 10i/8. Видно, что x уменьшается, проходит через нуль, достигает почти -1 (в промежутке между р=10 и р=11 величина точно равна -1) и возвращается назад. Точно так же величина у ходит взад-вперед.
Точки на фиг. 22.1 соответствуют числам, приведенным в табл. 22.4, а соединяющие их линии помогают следить за изменением х и у. Видно, что числа х и у осциллируют; 10is повторяет себя. Легко объяснить, почему так происходит.
Таблица 22.4 · ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧИСЛА 10i/8
Ведь i в четвертой степени — это i2 в квадрате. Это число равно единице; следовательно, если 100,68i равно i, то, возведя это число в четвертую степень, т. е. вычислив 102,72i, мы получим +1. Если нужно получить, например, 103,00i, то нужно умножить 102,72i на 100,28i. Иначе говоря, функция 10is повторяется, имеет период. Мы уже знаем, как выглядят такие кривые! Они похожи на график синуса или косинуса, и мы назовем их на время алгебраическим синусом и алгебраическим косинусом. Теперь перейдем от основания 10 к натуральному основанию. Это только изменит масштаб горизонтальной оси; мы обозначим 2,3025s через t и напишем 10is=eit, где t — действительное число. Известно, что eit=x+iy, и мы запишем это число в виде
eit=cost+isint. (22.8)
Каковы свойства алгебраического косинуса cost и алгебраического синуса sint? Прежде всего x2+y2=1; это мы уже доказали, и это верно для любого основания, будь то 10 или е. Следовательно, cos2t+sin2t=l. Мы знаем, что eit=1+it для малых t; значит, если t — близкое к нулю число, то cost близок к единице, a sint близок к t. Продолжая дальше, мы придем к выводу, что все свойства этих замечательных функций, получающихся в результате возведения в мнимую степень, в точности совпадают со свойствами тригонометрического синуса и тригонометрического косинуса.
А как обстоит дело с периодом? Давайте найдем его. В какую степень надо возвести е, чтобы получить i? Иными словами, чему равен логарифм i по основанию е? Мы вычислили уже логарифм i по основанию 10; он равен 0,68226i; чтобы перейти к основанию е, мы умножим это число на 2,3025 и получим 1,5709. Это число можно назвать «алгебраическим p/2». Но поглядите-ка, оно отличается от настоящего p/2 всего лишь последним десятичным знаком, и это просто-напросто следствие наших приближений при вычислениях! Таким образом, чисто алгебраически возникли две новые функции — синус и косинус; они принадлежат алгебре и только алгебре. Мы пошли по их следам и обнаружили, что это те же самые функции, которые так естественно возникают в геометрии. Мы отыскали мост между алгеброй и геометрией.
Подводя итог нашим поискам, мы напишем одну из самых замечательных формул математики
eiq=cosq+isinq. (22.9)
Вот она, наша жемчужина.
Связь между алгеброй и геометрией можно использовать для изображения комплексных чисел на плоскости; точка на плоскости определяется координатами х и у (фиг. 22.2).
Фиг. 22.2. Комплексное число как точка на плоскости.
Представим каждое комплексное число в виде x+iy. Если расстояние точки от начала координат обозначить через r, а угол радиуса-вектора точки с осью x — через q, то выражение x+iy можно представить в виде rei9. Это следует из геометрических соотношений между х, у, r и q. Таким образом, мы объединили алгебру и геометрию. Начиная эту главу, мы знали только целые числа и умели их считать. Зато у нас была небольшая идея о могуществе шага в сторону и обобщения. Используя алгебраические «законы», или свойства чисел, сведенные в уравнения (22.1), и определения обратных операций (22.2), мы смогли создать не только новые числа, но и такие полезные вещи, как таблицы логарифмов, степеней и тригонометрические функции (они возникли при возведении действительных чисел в мнимые степени), и все это удалось сделать, извлекая много раз квадратный корень из десяти!
* Квадратный корень лучше всего извлекать не тем способом, которому обычно учат в школе, а немного иначе. Чтобы извлечь квадратный корень из числа N, выберем достаточно близкое к ответу число а, вычислим N/a и среднее а\'=1/2[а+(N/а)]; это среднее будет новым числом а, новым приближением корня из N. Этот процесс очень быстро приводит к цели: число значащих цифр удваивается после каждого шага.
Глава 23
РЕЗОНАНС
§ 1. Комплексные числа и гармоническое движение
§ 2. Вынужденные колебания с торможением
§ 3. Электрический резонанс
§ 4. Резонанс в природе
§ 1. Комплексные числа и гармоническое движение
Мы снова будем говорить в этой главе о гармоническом осцилляторе, особенно об осцилляторе, на который действует внешняя сила. Для анализа этих задач нужно развить новую технику. В предыдущей главе мы ввели понятие комплексного числа, которое состоит из действительной и мнимой частей и которое можно изобразить на графике. Действительная часть числа будет изображаться абсциссой, а мнимая — ординатой. Комплексное число а можно записать в виде a=ar+iai; при такой записи индекс r отмечает действительную часть а, а индекс i — мнимую. Взглянув на фиг. 23.1, легко сообразить, что комплексное число a=x+iy можно записать и так: x+iy=rexp(iq), где r2=x2+y2=(x+iy)(x-iy)=aa * (а* — это комплексно сопряженное к а число; оно получается из а изменением знака i).
Фиг. 23,1. Комплексное число, изображенное точкой на «комплексной плоскости».
Итак, комплексное число можно представить двумя способами: явно выделить его действительную и мнимую части или задать его модулем r и фазовым углом q. Если заданы r и q, то х и у равны rcosq и rsinq, и, наоборот, исходя из числа x+iy, можно найти r=Ц(x2+y2)и угол q; tgq равен у/х (т. е. отношению мнимой и действительной частей).
Чтобы применить комплексные числа к решению физических задач, проделаем такой трюк. Когда мы изучали осциллятор, то имели дело с внешней силой, пропорциональной coswt. Такую силу F=F0coswt можно рассматривать как действительную часть комплексного числа F = F0exp(iwt), потому что exp(iwt)=coswt+isinwt. Такой переход удобен: ведь иметь дело с экспонентой легче, чем с косинусом. Итак, трюк состоит в том, что все относящиеся к осциллятору функции рассматриваются как действительные части каких-то комплексных функций. Найденное нами комплексное число F, разумеется, не настоящая сила, ибо физика не знает комплексных сил: все силы имеют только действительную часть, а мнимой части взяться просто неоткуда. Тем не менее мы будем говорить «сила» F0exp(iwt), хотя надо помнить, что речь идет лишь о действительной ее части.
Рассмотрим еще один пример. Как представить косинусоидальную волну, фаза которой сдвинулась на D? Конечно, как действительную часть F0exp[i((wt-D2)]; экспоненту в этом случае можно записать в виде exp[i(wt-D)]=ехр(iwt)exp(-iD). Алгебра экспонент гораздо легче алгебры синусов и косинусов; вот почему удобно использовать комплексные числа. Часто мы будем писать так:
Шляпка над буквой будет указывать, что мы имеем дело с комплексным числом, т. е.
Однако пора начать решать уравнения, используя комплексные числа, тогда мы увидим, как надо применять комплексные числа в реальных обстоятельствах. Для начала попытаемся решить уравнение
где F — действующая на осциллятор сила, а х — его смещение. Хотя это и абсурдно, предположим, что х и F — комплексные числа. Тогда х состоит из действительной части и умноженной на i мнимой части; то же самое касается и F. Уравнение (23.2) в этом случае означает
или
Комплексные числа равны, когда равны их действительные и мнимые части; следовательно, действительная, часть х удовлетворяет уравнению, в правой части которого стоит действительная часть силы. Оговорим с самого начала, что такое разделение действительных и мнимых частей возможно не всегда, а только в случае линейных уравнений, т. е. уравнений, содержащих х лишь в нулевой и первой степенях. Например, если бы уравнение содержало член lх2, то, сделав подстановку xr+ixt, мы получили бы l(xr+ixi)2, и выделение действительной и мнимой частей привело бы нас к l(х2r-x2i) и 2ilxrxi. Итак, мы видим, что действительная часть уравнения содержит в этом случае член -lx2i. Мы получили совсем не то уравнение, какое собирались решать.
Попытаемся применить наш метод к уже решенной задаче о вынужденных колебаниях осциллятора, т. е. об осцилляторе, на который действует внешняя сила. Как и раньше, мы хотим решить уравнение (23.2), но давайте начнем с уравнения
где — комплексное число. Конечно, х — тоже комплексное число, но запомним правило: чтобы найти интересующие нас величины, надо взять действительную часть х. Найдем решение (23.3), описывающее вынужденные колебания. О других решениях поговорим потом. Это решение имеет ту же частоту, что и внешняя (приложенная) сила. Колебание, кроме того, характеризуется амплитудой и фазой, поэтому если представить смещение числом , то модуль его скажет нам о размахе колебаний, а фаза комплексного числа — о временной задержке колебания. Воспользуемся теперь замечательным свойством экспоненты:
Дифференцируя экспоненциальную функцию, мы опускаем вниз экспоненту, делая ее простым множителем. Дифференцируя еще раз, мы снова приписываем такой же множитель, поэтому очень просто написать уравнение для : каждое дифференцирование по времени надо заменить умножением на iw. (Дифференцирование становится теперь столь же простым, как и умножение! Идея использовать экспоненциальные функции в линейных дифференциальных уравнениях почти столь же грандиозна, как изобретение логарифмов, которые заменили умножение сложением. Здесь дифференцирование заменяется умножением.) Таким образом, мы получаем уравнение
[Мы опустили общий множитель eiwt.] Смотрите, как все просто! Дифференциальное уравнение немедленно сводится к чисто алгебраическому; сразу же можно написать его решение
поскольку (iw)2=-w2. Решение можно несколько упростить, подставив k/m=w20, тогда
Это, конечно, то же самое решение, которое уже было нами получено ранее. Поскольку m(w20-w2) — действительное число, то фазовые углы F и х совпадают (или отличаются на 180°, если (w2>w20). Об этом тоже уже говорилось. Модуль х, который определяет размах колебаний, связан с модулем F множителем 1/m(w20-w2); этот множитель становится очень большим, если w приближается к w0. Таким образом, можно достичь очень сильного отклика, если приложить к осциллографу нужную частоту w (если с нужной частотой толкать подвешенный на веревочке маятник, то он поднимается очень высоко).
§ 2. Вынужденные колебания с торможением
Итак, мы можем решить задачу о колебательном движении, пользуясь изящной математикой. Однако изящество немногого стоит, когда задача и так решается просто; математику надо использовать тогда, когда решаются более сложные задачи. Перейдем поэтому к одной из таких задач, которая, кроме того, ближе к действительности, чем предыдущая. Из уравнения (23.5) следует, что, если w в точности равна w0, амплитуда колебания становится бесконечной. Этого, конечно, не может быть, потому что многие вещи, например трение, ограничивают амплитуду, а мы их не учитывали. Изменим теперь (23.2) так, чтобы учесть трение.
Сделать это обычно довольно трудно, потому что силы трения очень сложны. Однако во многих случаях можно считать, что сила трения пропорциональна скорости движения объекта. Именно такое трение препятствует медленному движению тела в масле или другой вязкой жидкости. Когда предмет стоит на месте, на него не действуют никакие силы, но чем скорее он движется и чем быстрее масло должно обтекать этот предмет, тем больше сопротивление. Таким образом, мы предположим, что в (23.2), кроме уже написанных членов, существует еще один — сила сопротивления, пропорциональная скорости: Ff=-c(dx/dt). Удобно записать с как произведение m на другую постоянную g, это немного упростит уравнение.
Мы уже проделывали такой фокус, когда заменяли k на mw20, чтобы упростить вычисления. Итак, наше уравнение имеет вид
или, если положить с=mg и k=mw20 и поделить обе части на m,
Это самая удобная форма уравнения. Если g очень мало, то мало и трение, и, наоборот, большие значения g соответствуют громадному трению. Как решать это новое линейное уравнение? Предположим, что внешняя сила равна F0cos(wt+D); можно было бы подставить это выражение в (23.6а) и попытаться решить полученное уравнение, но мы применим наш новый метод. Представим F как действительную часть , a x — как действительную часть и подставим эти комплексные числа в (23.6а). Собственно говоря, и подставлять-то нечего; внимательно посмотрев на (23.6а), вы тут же скажете, что оно превратится в