Моей жене Элен Ман-Клайн
Предисловие редактора перевода

Что такое математика? Каковы ее происхождение и история? В чем отличие математики от других наук? Чем занимаются математики сегодня и каков, по их мнению, ныне статус науки, которая составляет предмет их интересов и профессиональной деятельности? Все эти вопросы живо интересуют многих, но практически ни одно из имеющихся в нашей литературе научно-популярных сочинений не дает на них достаточно полного ответа. Вопрос «Что такое математика?» вынесен в заглавие пользующейся заслуженной известностью книги Р. Куранта и Г. Роббинса [118]. В этом сочинении Курант сделал попытку «конструктивного» определения математики: «Математикой называется все то, о чем говорится в нашей книге». Однако подобный ответ вряд ли можно признать удовлетворительным: он разъясняет суть дела лишь в той степени, в какой авторам названной книги удалось охарактеризовать главные направления математической науки; без сомнения, многих читателей книга Куранта — Роббинса может и разочаровать. Возможно, более всеобъемлющий ответ на поставленные нами вопросы дает другая книга, в значительной мере также созданная под руководством Р. Куранта, — сборник «Математика в современном мире» [137], в котором собраны посвященные математике статьи из известного американского научно-популярного журнала Scientific American{1}. Однако, уделяя большое внимание общим вопросам, эта книга остается всего лишь сборником статей различных авторов, отличающихся одна от другой по стилю, основным установкам и доступности для читателя.

Одним из авторов «Математики в современном мире» был Морис Клайн, который в годы составления этого сборника возглавлял математический факультет Нью-Йоркского университета и был руководителем одного из отделов Математического института им. Куранта. В настоящее время Клайн отказался от всех своих официальных должностей, сохранив лишь звание заслуженного профессора курантовского института; он входит также в состав редколлегий журналов Mathematics Magazine и Archive for History of Exact Sciences. Клайн является автором многих книг, из числа которых можно отметить часто цитируемые сочинения «Математика в западной культуре» [46]*{2} и, быть может, лучший из зарубежных курсов истории математики, «Математическое мышление от древности до настоящего времени» [45]*. Но в наши дни наибольшим успехом из всех сочинений{3} М. Клайна пользуется его книга «Математика. Утрата определенности», предлагаемая ныне советскому читателю; такой успех обусловлен как бесспорным литературным и педагогическим талантом автора, так и широтой и важностью затронутых в книге вопросов.

Настоящая книга М. Клайна именно и ставит своей целью ответить на вопросы, прозвучавшие в начале нашего предисловия. Автор пытается разъяснить сущность математики читателю, интересующемуся общенаучными проблемами, но не имеющему специального математического образования, и стремится ознакомить его с теми принципиальными проблемами, которые возникли в математике в конце XIX и в XX вв. В этом отношении книгу М. Клайна с полным основанием можно считать уникальной: столь широкий круг вопросов ранее в научно-популярной литературе по математике никогда не рассматривался. Изложение автора имеет «генетический» характер: он уделяет много внимания истории математики, особенно тщательно анализируя кризисные моменты, связанные с необходимостью ломки самой «математической идеологии». При этом автор достаточно подробно говорит о связи «чистой» и прикладной математики, о «непостижимой эффективности математики в естественных науках» (если использовать здесь название известной и цитируемой автором статьи Юджина Вигнера). Но самое значительное место в книге М. Клайна отводится вопросам, связанным с современным положением математики, и трудностям, обнаруженным в ее обосновании уже в нашем столетии, нередко в самые последние десятилетия.

Можно не сомневаться, что для многих читателей изложенные автором факты будут весьма неожиданными: мы привыкли считать, что математика всегда являлась образцом строгости, — автор же говорит о «нелогичном развитии» этой самой строгой и последовательной из наук и указывает, что античный идеал «доказательности» был достигнут здесь лишь во второй половине XIX в., а до этого общенаучный уровень арифметики и алгебры, геометрии и анализа был таким, что от него, безусловно, отшатнулись бы в ужасе древнегреческие мыслители. Неспециалисты привыкли считать, что в математике вообще не осталось никаких нерешенных проблем, но автор подчеркивает, что даже фундамент этой «самой научной из наук» не только не достроен, но, как будто никогда и не будет достроен до конца{4}, так что непротиворечивость математики вызывает известные сомнения (ср. впрочем, с шутливым высказыванием Вейля, процитированным ниже). Главы «Нелогичное развитие» являются, быть может, самыми удачными в книге: читателю будет интересно узнать, с каким трудом входили в математику современное понятие числа или геометрические представления, с которыми мы знакомимся ныне буквально на школьной скамье.

Однако книга Клайна нуждается и в некоторых предостережениях. Рассчитывая на вдумчивого читателя и доверяя его критическому чутью, автор приводит много разных — иногда друг другу противоречащих — точек зрения и свободно сталкивает разные суждения, не настаивая на каком-либо определенном. Однако из того, что Клайн подробно рассказывает, скажем, о философии Канта, вовсе не следует, что сам он является кантианцем. Излагая далее религиозные установки ученых XVII-XVIII вв., Клайн также позже открещивается от них. Автор не претендует на то, чтобы читатель принял какую-либо из изложенных в книге философских концепций, как не требует он и безоговорочно признать правоту той или иной из обсуждаемых им школ, занимающихся основаниями математики: Клайн хочет о многом рассказать, но вовсе не во многом убедить. Это, конечно, не означает, что в книге абсолютно не выражена собственная позиция автора. Так, анализируя взаимоотношения математики с действительностью, Клайн явно стоит на стороне тех, кто видит в математике мощный аппарат познания реального мира, хотя не обходит вниманием и ученых, настаивавших на «объективном» существовании математических понятий как образов, которые складываются в нашем мозгу и позволяют нам судить о Вселенной, существующей для нас лишь в той форме, какую придает ей наш разум (с этой позицией еще в середине XVIII в. полемизировал Л. Эйлер). Впрочем, книга М. Клайна, требующая известного внимания и определенной научной культуры, явно не рассчитана на легковерного читателя — это позволяет нам не спорить со всеми теми из изложенных в книге взглядов, с которыми ни редактор, ни читатель никогда не согласятся.

Впрочем, несколько оговорок, относящихся к книге М. Клайна, возможно, будут здесь полезны. Прежде всего следует иметь в виду, что это отнюдь не учебник, а всего лишь сочинение научно-популярного характера: автор порой позволяет себе упрощать реальную ситуацию — поэтому читателям, которые захотят поглубже ознакомиться с затронутыми в книге вопросами, бесспорно, придется обратиться к дополнительной литературе, начиная с «Философской энциклопедии» (тт. 1-5. — М.: Советская энциклопедия, 1960-1970), содержащей не только достаточно подробные и снабженные дальнейшими литературными ссылками статьи, о всех упоминаемых в книге философах (скажем о Канте и кантианстве, о Юме и его школе), но и весьма отчетливые характеристики основных направлений в области оснований математики [логицизм, гильбертов формализм, интуиционизм и понимаемый Клайном, пожалуй, слишком расширительно конструктивизм (зачастую отождествляемый автором с интуиционизмом)] и даже обсуждение основных фактов и теорем из области оснований математики, упоминаемых в этой книге. Далее, надо учитывать полемическую заостренность этой интересной книги, стремление автора пробудить читателя к размышлениям, вызвать его на спор, для чего Клайн иногда намеренно несколько драматизирует события. Так, он уделяет много внимания дискуссиям об основаниях математики, развернувшимся в начале нашего столетия и не стихающим до сих пор: однако при этом, конечно, надо учитывать, что «истинность» и применимость основного костяка математической теории ни у кого не вызывает серьезных сомнений, так что заключающая гл. XII притча о пауках в старинном замке представляется здесь вполне уместной.

Слишком заострена также и гл. XIII «Математика в изоляции». Действительно, в наши дни, видимо, уже невозможны личности, подобные, скажем, Герману Гельмгольцу — великому врачу, физиологу, физику, механику и математику; тем не менее это еще не дает оснований к тому, чтобы говорить о полном отрыве математики от реальной жизни. Конечно, очень многие современные математики не интересуются приложениями своей науки, и немало из печатающихся ныне в математических журналах статей «канет в Лету», но это никак не относится к вождям математической науки нашего века, по которым стараются равняться все остальные ученые, как не касается и наиболее значительных работ, кстати сказать, нередка оцениваемых по заслугам лишь много позже. Автор специально отмечает глубокий интерес к естествознанию (в иных случаях — и к гуманитарным наукам) и конкретно к физике всех крупнейших математиков нашего столетия, внесших выдающийся вклад в эту область знания. Здесь можно назвать Анри Пуанкаре (небесная механика, специальная теория относительности) и Давида Гильберта (общая теория относительности); Германа Вейля (теория относительности, квантовая механика) и Джона фон Неймана (квантовая механика, создание ЭВМ, математические методы экономики, теория автоматов); Андрея Николаевича Колмогорова (теория турбулентности в механике, теория динамических систем, математические методы в биологии, математическое стиховедение) и Джорджа Дэвида Биркгофа (теория относительности, динамические системы, математические методы эстетики). Сходную картину мы наблюдаем и в наши дни, когда почти все лидеры математической науки разных поколений отнюдь не чураются решения практических проблем. Да и само различие между «чистой» и прикладной математикой точному учету не поддается: нередко творцы новых разделов математики даже не подозревают, сколь большое практическое применение могут найти в дальнейшем их «чиста математические» результаты. Так, теория функций комплексного переменного создавалась Коши, Риманом и Вейерштрассом, которые, конечно, не могли предположить, что много позже H.E. Жуковский укажет на важность этого математического аппарата для решения задач возникшей тогда новой области техники: гидро- и аэромеханики. Дж. Буль и другие логики XIX в. даже не подозревали, что разрабатывают аппарат, который в XX в. будет положен в основу функционирования ЭВМ, а знаменитый Н. Бурбаки в своих «Очерках по истории математики» [68] не так уже задолго до современного «октавного бума» в физике элементарных частиц довольно пренебрежительно отозвался об открытой А. Кэли неассоциативной алгебре гиперкомплексных чисел с восьмью комплексными единицами (алгебре октав; ср. со сказанным ниже).

Стремясь облегчить чтение книги М. Клайна лицам, не имеющим математического образования, или начинающим математикам, мы сочли необходимым дополнить авторский текст некоторыми пояснениями и уточнениями (они собраны в разделе «Примечания» в конце книги). Кроме того, к авторскому списку литературы, ориентированному исключительно на англоязычного читателя (где мы, однако, указали имеющиеся на русском языке переводы некоторых из перечисленных автором книг), был прибавлен список книг (главным образом на русском языке), объединенных в раздел «Дополнительная литература». Следует также заметить, что у М. Клайна использование названной им литературы целиком предоставлено инициативе читателя: в английском оригинале книги не содержится ни одной ссылки на эту литературу. Таким образом, все имеющиеся в настоящем (русском) издании ссылки на литературу принадлежат переводчику и редактору.

Заканчивая это (по необходимости несколько затянувшееся) предисловие, я хотел бы выразить надежду, что читатель получит удовольствие от предлагаемой ему книги — не во всех отношениях бесспорной, но безусловно яркой и очень интересной по содержанию.



И.М. Яглом

Вступление

Эта книга — о глубоких изменениях, которые претерпели взгляды человека на природу и роль математики. Ныне мы знаем, что математика не обладает теми качествами, которые некогда снискали ей всеобщее уважение и восхищение. Наши предшественники видели в математике непревзойденный образец строгих рассуждений, свод незыблемых «истин в себе» и истин о законах природы. Главная тема этой книги — рассказ о том, как человек пришел к осознанию ложности подобных представлений и к современному пониманию природы и роли математики. Краткий обзор избранной темы содержится уже во введении. Отдельные разрозненные факты можно было бы собрать воедино, если проследить историю математики во всех деталях. Но тем, кого интересует главным образом разительные перемены, происшедшие в наших взглядах на природу и роль математики, более доступен и понятен прямой подход, свободный от второстепенных частностей и тем самым позволяющий выделить общие идеи.

Возможно, многие математики предпочли бы вести откровенный разговор о современном статусе своей науки в узком кругу профессионалов. Публичное обсуждение возникающих трудностей они считают таким же проявлением дурного вкуса, как разглашение перед посторонними семейных тайн. Но мыслящие люди должны отчетливо сознавать сильные и слабые стороны тех средств, которыми они располагают. Ясное понимание ограниченности (равно как и возможностей) того или иного подхода приносит несравненно больше пользы, чем слепая вера, способная исказить наши представления или даже привести нас к краху.

Я хотел бы поблагодарить сотрудников издательства «Оксфорд юниверсити пресс» за внимательное отношение к этой книге и выразить особую признательность Уильяму Ч. Халпину и Шелдону Майеру за понимание важности популярного изложения затронутых мной проблем, а также Леоне Кейплесс и Кертиссу Черчу за ценные замечания и критику. Моей жене Элен я обязан многочисленными исправлениями, внесенными ею при чтении рукописи и корректуры.

Пользуясь случаем, я хотел бы поблагодарить Математическую ассоциацию США за разрешение использовать в книге материалы из статей издаваемого ею журнала The American Mathematical Monthly («Американский математический ежемесячник»).



М. Клайн

Бруклин, штат Нью-Йорк

Январь 1980 г.



Боги людям открыли не все. В поиск пустившись, люди сами познали немало.

* * *

Предположим, что мы не так уж далеки от истины.

* * *

Ни теперь, ни во веки знать никому не дано
Истину о богах и о том, что я вам толкую.
Если случится кому истину изречь,
То ведать о том он не в силах,
И над всем внешняя форма царит.

Ксенофан


Введение: основной тезис

Лучший метод для предвидения будущего развития математических наук заключается в изучении истории и нынешнего состояния этих наук.{5} Анри Пуанкаре
Одни трагедии порождают войны, голод, чуму, другие — в мире идей — вызваны ограниченностью человеческого разума. Эта книга — горестный рассказ о бедствиях, выпавших на долю математики — наиболее древнего и не имеющего себе равных творения людей, плода их неустанных и многообразных усилий, направленных на использование способности человека мыслить.

Можно также сказать, что эта книга на общедоступном уровне повествует о расцвете и закате величия математики. Позволительно спросить: уместно ли говорить об упадке математики в наше время, когда ее границы необычайно расширились, когда научная деятельность в области математики ведется во все возрастающих масштабах и достигла небывалого расцвета, когда ежегодно публикуются тысячи работ по математике, все большее внимание привлекают вычислительные машины и когда поиск количественных соотношений захватывает все новые области, особенно в биологических и социальных науках? В чем причина трагедии? Прежде чем ответить на эти вопросы, следует напомнить, какие достижения математики снискали ей высочайший престиж, всеобщее признание и славу.

С самого зарождения математической науки как самостоятельной отрасли знания (у колыбели которой стояли древние греки) и на протяжении более чем двух тысячелетий математики занимались поиском истины и добились на этом пути выдающихся успехов. Необозримое множество теорем о числах и фигурах, казалось, служило неисчерпаемым источником абсолютного знания, которое никогда и никем не может быть поколеблено.

За пределами самой математики математические понятия и выводы явились фундаментом замечательных научных теорий. И хотя новые факты устанавливались в результате сотрудничества математики и естествознания, опирающегося на данные, имеющие нематематический, скажем физический, характер, они казались столь же непреложными, как и принципы самой математики, потому что предсказания, которые делались на основе математических теорий в астрономии, механике, оптике и гидродинамике, необычайно точно совпадали с данными наблюдений и экспериментов. Математика давала ключ к глубокому постижению явлений природы, к пониманию, заменявшему тайну и хаос законом и порядком. Человек получил возможность с гордостью взирать на окружающий мир и заявлять, что ему удалось раскрыть многие тайны природы, по существу оказавшиеся серией математических законов. Убеждением в том, что истины открывают математики, проникнуто известное высказывание Лагранжа: «Ньютон был счастливейшим из смертных, ибо существует только одна Вселенная и Ньютон открыл ее законы».

Для получения своих удивительных, мощных результатов математика использовала особый метод — метод дедуктивных выводов из небольшого числа самоочевидных принципов, называемых аксиомами; этот метод знаком каждому школьнику — прежде всего из курса геометрии. Природа дедуктивного вывода такова, что она гарантирует истинность заключения, если только истинны исходные аксиомы. Очевидная, безотказная и безупречная логика дедуктивного вывода позволила математикам извлечь из аксиом многочисленные неоспоримые и неопровержимые заключения. Эту особенность математики многие отмечают и поныне. Всякий раз, когда нужно привести пример надежных и точных умозаключений, ссылаются на математику.

Успехи, достигнутые математикой с помощью дедуктивного метода, привлекли к ней внимание величайших мыслителей. Математика наглядно продемонстрировала возможности и силу человеческого разума. Почему бы не воспользоваться, спросили мыслители, столь хорошо зарекомендовавшим себя дедуктивным методом для постижения истин там, где прежде безраздельно властвовали авторитет, традиция и привычка, — в философии, теологии, этике, эстетике и в социальных науках? Человеческий разум, столь эффективный в математике и в математической физике, мог бы стать арбитром помыслов и действий также и в других областях, приобщив их к красоте истины и истинности красоты. В эпоху, получившую название эпохи Просвещения (или Века разума), методология математики и даже некоторые математические понятия и теоремы были применены к другим областям человеческой деятельности.

Обращение к прошлому — плодотворный источник познания настоящего. Созданные в начале XIX в. необычные геометрии и столь же необычные алгебры вынудили математиков исподволь — и крайне неохотно — осознать, что и сама математика, и математические законы в других науках не есть абсолютные истины. Например, математики с досадой и огорчением обнаружили, что несколько различных геометрий одинаково хорошо согласуются с наблюдательными данными о структуре пространства. Но эти геометрии противоречили одна другой — следовательно, все они не могли быть одновременно истинными. Отсюда напрашивался вывод, что природа построена не на чисто математической основе, а если такая первооснова и существует, то созданная человеком математика не обязательно соответствует ей. Ключ к реальности был утерян. Осознание этой потери было первым из бедствий, обрушившихся на математику.

В связи с появлением уже упоминавшихся новых геометрий и алгебр математикам пришлось пережить шок и другого рода. Математики настолько уверовали в бесспорность своих результатов, что в погоне за иллюзорными истинами стали поступаться строгостью рассуждений. Но когда математика перестала быть сводом незыблемых истин, это поколебало уверенность математиков в безукоризненности их теорий. Тогда им пришлось взяться за пересмотр своих достижений, и тут они, к своему ужасу, обнаружили, что логика в математике совсем не так уж тверда, как думали их предшественники.

По существу развитие математики имело алогичный характер. Это алогичное развитие включало в себя не только неверные доказательства, но и пропуски в доказательствах и случайные ошибки, которых можно было бы избежать, если бы математики действовали более осмотрительно. Такие досадные изъяны отнюдь не были редки. Но алогичность развития математики заключалась также в неадекватном толковании понятий, в несоблюдении всех необходимых правил логики, в неполноте и недостаточной строгости доказательств. Иными словами, чисто логические соображения подменялись интуитивными аргументами, заимствованными из физики, апелляциями к наглядности и ссылками на чертежи.

Но и когда все это было установлено, математика по-прежнему оставалась эффективным средством описания природы. Кроме того, математика сохранила привлекательность и сама по себе как область чистого знания, и в умах многих, особенно пифагорейцев, являлась частью реальности, представляющей самостоятельный интерес.{6} Учитывая это, математики решили восполнить пробелы в логическом каркасе своей науки и перестроить заново те части ее, в которых обнаружились изъяны. Движение за математическую строгость приобрело широкий размах во второй половине XIX в. 

К началу XX в. математики стали склоняться к мнению, что желанная цель наконец достигнута. И хотя им пришлось признать, что математика дает лишь приближенное описание природы и многие утратили веру в то, что природа полностью основана на математических принципах, математики по-прежнему продолжали возлагать большие надежды на проводимую ими реконструкцию логической структуры математики. Но не успели смолкнуть восторги по поводу якобы достигнутых успехов, как в реконструированной математике в свою очередь обнаружились противоречия. Обычно эти противоречия принято называть парадоксами — эвфемизм, позволяющий тем, кто его использует, обходить молчанием кардинальное обстоятельство: там, где есть противоречия, там нет логики. 

Ведущие математики и философы начала XX в. сразу же попытались разрешить возникшие противоречия. В результате возникло четыре различных подхода к математике, которые были отчетливо сформулированы и получили значительное развитие; у каждого из этих подходов нашлось немало приверженцев. Все четыре направления математики стремились не только разрешить известные противоречия, но и гарантировать, что в будущем не появятся новые противоречия, т.е. старались доказать непротиворечивость математики. Интенсивная разработка оснований математики привела и к другим результатам. Приемлемость некоторых аксиом и принципов логики дедуктивного вывода также стала яблоком раздора: позиции школ по этим вопросам разошлись. 

В конце 30-х годов XX в. математик мог бы принять один из нескольких вариантов оснований математики и заявить что проводимые им математические доказательства по крайней мере согласуются с догматами избранной им школы. Но тут последовал удар ужасающей силы: вышла в свет работа Курта Гёделя, в которой он среди прочих важных и значительных результатов доказал, что логические принципы, принятые различными школами в основаниях математики, не позволяют доказать ее непротиворечивость. Как показал Гёдель, непротиворечивость математики невозможно доказать, не затрагивая самих логических принципов, замкнутость которых весьма сомнительна. Теорема Гёделя вызвала смятение в рядах математиков. Последующее развитие событий привело к новым осложнениям. Оказалось, например, что даже аксиоматически-дедуктивный метод, столь высоко ценимый в прошлом как надежный путь к точному знанию, небезупречен. В результате этих открытий число различных подходов к математике приумножилось и математики разбились на еще большее число группировок. 

В настоящий момент положение дел в математике можно обрисовать примерно так. Существует не одна, а много математик, и каждая из них по ряду причин не удовлетворяет математиков, принадлежащих к другим школам. Стало ясно, что представление о своде общепринятых, незыблемых истин — величественной математике начала XIX в., гордости человека — не более чем заблуждение. На смену уверенности и благодушию, царившим в прошлом, пришли неуверенность и сомнения в будущем математики. Разногласия по поводу оснований самой «незыблемой» из наук вызвали удивление и разочарование (чтобы не сказать больше). Нынешнее состояние математики — не более чем жалкая пародия на математику прошлого с ее глубоко укоренившейся и широко известной репутацией безупречного идеала истинности и логического совершенства. 

Как думают некоторые математики, расхождения во мнениях относительно того, что следует считать настоящей математикой, когда-нибудь будут преодолены. Особое место среди тех, кто так считает, занимает группа ведущих французских математиков, пишущих под коллективным псевдонимом Никола Бурбаки: 


С древнейших времен критические пересмотры оснований всей математики в целом или любого из ее разделов почти неизменно сменялись периодами неуверенности, когда возникали противоречия, которые приходилось решать… Но вот уже двадцать пять веков математики имеют обыкновение исправлять свои ошибки и видеть в этом обогащение, а не обеднение науки; это дает им право смотреть в будущее спокойно.
([2], с. 30.)


Но гораздо больше математиков настроены пессимистично. Один из величайших математиков XX в. Герман Вейль сказал в 1944 г.: 


Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счете математика, остается открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками. «Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддается рационализации и не может быть объективным.


Говоря словами Гете, «история науки — это сама наука». 

Разногласия по поводу того, что такое настоящая математика, и существование многочисленных вариантов оснований математики не только серьезно сказались на самой математике, но и оказали самое непосредственное влияние на физику. Как мы увидим, далее, наиболее развитые физические теории ныне полностью «математизированы». (Разумеется, выводы таких теорий интерпретируются посредством так или иначе наблюдаемых «чувственных», подлинно физических объектов: сидя у радиоприемников, мы слышим реальные голоса, чему не мешает отсутствие представления о том, что такое радиоволны.) Поэтому ученых — даже тех, кто не работает непосредственно над решением фундаментальных проблем, — не может не занимать вопрос о судьбах математики, которую они могут применять с уверенностью, не рискуя затратить годы на изыскания, некорректные в силу сомнительности использования математического аппарата. 

Утрата критериев абсолютности истины, все возрастающая сложность математики и естественных наук, неуверенность в выборе правильного подхода к математике привели к тому, что большинство математиков оставили вопросы оснований. С проклятием «Чума на оба ваши дома!» они обратились к тем областям математики, где методы доказательства казались им надежными. Они нашли также, что проблемы, придуманные человеком, более привлекательны и легче поддаются решению, чем проблемы, поставленные природой. 

Кризис математики и порожденные им конфликты по поводу того, что такое настоящая математика, отрицательно сказались и на применении математической методологии ко многим областям культуры: к философии, социальным и политическим наукам, этике и эстетике. Надежда на то, что удастся найти объективные, непреходящие законы и эталонные образцы знания, развеялась. «Век разума» закончился. 

Несмотря на неудовлетворительное состояние математики, многочисленные существенно различные подходы, разногласия по поводу приемлемости аксиом и опасности возникновения новых противоречий, могущих подорвать значительную часть математической науки, многие математики продолжают применять математику для описания физических явлений и даже расширяют сферу ее применимости на экономику, биологию и социологию. Безотказная эффективность математики подсказывает две темы для обсуждения. Во-первых, такая эффективность может рассматриваться как критерий правильности. Разумеется, подобный критерий имеет временный характерно, что сегодня считается правильным, в дальнейшем может оказаться неверным. 

Вторая тема ставит нас перед загадкой: почему математика вообще эффективна, если вопрос о том, что такое настоящая математика, вызывает столько споров ([96]*; [4])? Не творим ли мы чудеса, пользуясь при этом несовершенными средствами? Пусть человек заблуждается, но разве может и природа также заблуждаться до такой степени, чтобы поддаться математическому диктату человека? Безусловно, нет. А как быть с успешными полетами на Луну, исследованиями Марса и Юпитера, ставшими возможными благодаря технике, существенно зависящей от математики: разве они не подтверждают математические теории космоса? Как же можно в таком случае говорить об искусственности и неединственности математики? Может ли тело продолжать жить, если разум и дух помутились? Может! И это относится и к человеку, и к математике. Итак, нам надлежит выяснить, почему, несмотря на шаткие основания и взаимоисключающие теории, математика оказалась столь непостижимо эффективной. 

I

Становление математических истин

Трижды счастливы души, которым дано Подняться до истин подобных и звездное небо измерить! Взорам их без помех дальние звезды открылись, В цепи прочные мысли своей ширь эфира они заковали. Так люди достигли небес — не как встарь, В тщетной гордыне взгромоздивши горы на горы. Овидий
Любая цивилизация, достойная так называться, занимается поиском истин. Мыслящие люди не могли не пытаться понять многообразие явлений природы, разгадать тайну появления на Земле человека, постичь смысл жизни и выяснить предназначение человека. Во всех древних цивилизациях, кроме одной, ответы на эти вопросы давались религиозными лидерами и принимались всеми. Единственным исключением была цивилизация, созданная древними греками. Греки совершили открытие, величайшее из когда-либо совершенных человеком: они открыли могущество разума. Именно греки классического периода, достигшего наивысшего расцвета в период VI-III вв. до н.э., поняли, что человек наделен способностью мыслить, наделен разумом, который, опираясь на наблюдение или опыт, способен открывать истины. 

Нелегко ответить на вопрос о том, что привело греков к их открытию. Первые попытки осмыслить окружающий человека мир были сделаны в Ионии, греческих поселениях в Малой Азии, и многие историки пытались объяснить это сложившейся в Ионии общественно-политической обстановкой. Так, в Ионии была более свободная, чем в европейской Греции, политическая структура, что повлекло за собой определенное пренебрежение к традиционным религиозным верованиям. Однако наше знание греческой истории до VI в. до н.э. носит настолько фрагментарный характер, что невозможно дать сколько-нибудь исчерпывающее объяснение отмеченному феномену. 

Со временем греки принялись размышлять над политическими системами, этикой, юриспруденцией, рациональными путями воспитания молодежи и многими другими видами человеческой деятельности. Их главный вклад, оказавший решающее влияние на всю последующую культуру, состоял в том, что они взялись за изучение законов природы. Прежде и греческая, и другие цивилизации древности рассматривали природу как нечто хаотичное, капризное и даже устрашающее. Все происходящее в природе было необъяснимо или приписывалось воле богов, умилостивить которых можно было молитвами, жертвоприношениями и другими ритуалами. Древние вавилоняне и египтяне, создавшие великие цивилизации за 3000 лет до н.э., заметили периодичность в движениях Солнца и Луны и даже разработали на этой основе календари, но не придавали своим открытиям особого значения. И эти исключительные по глубине и важности наблюдения не оказали решающего влияния на отношение людей к природе. 

Греки осмелились взглянуть природе в лицо. Древнегреческие мыслители отвергли традиционные доктрины, веру в сверхъестественные силы, догму, сбросив путы, сдерживающие мысль. Греки первыми начали изучать разнообразные загадочные и сложные явления природы и предприняли попытку понять их. Свой разум они противопоставили хаосу на первый взгляд случайных явлений природы и вознамерились пролить на них свет. 

Обладая беспредельной любознательностью и незаурядным мужеством, греки ставили вопросы (и находили ответы на них), которые служили пищей для серьезных размышлений и решались мыслителями высочайшего ранга. Лежит ли в основе всего, что происходит во Вселенной, некий единый план? Обязаны ли растения, животные, люди, планеты, свет, звук и т.д. своим появлением игре случая или же они являются частью какого-либо грандиозного плана? Обладая богатым воображением — что способствовало созданию нового взгляда на мир, — греки выработали концепцию Вселенной, ставшую основной на всех последующих этапах развития европейской мысли. 

Греческие мыслители стали по-новому относиться к природе. Их отношение было рациональным, критическим и нерелигиозным. Греки отказались от мифов, равно как и от веры в богов, по своей прихоти правящих человеком и всем миром. Постепенно греческие мыслители создали учение об упорядоченной природе, бесперебойно функционирующей по единому плану. Все явления, доступные нашим органам чувств, — от движения планет до трепетания листьев на дереве — грекам удалось уложить в четкую, согласованную в деталях, понятную картину. Короче говоря, оказалось, что природа устроена рационально, и единый план, лежащий в ее основе, хотя и не поддается воздействию со стороны человека, вполне постижим. 

Греки не только первыми принялись за поиск закона и порядка в природе, но и были первыми гениальными открывателями сокровенных схем, которым, как показывали наблюдения, следует природа. Так, греки дерзнули заняться поиском схемы, таящейся за грандиознейшими зрелищами, открытыми взору человека, — движением ослепительно сверкающего Солнца, сменой фаз Луны, чей лик являет богатейшую гамму оттенков, яркостью планет, бескрайней панорамой звездного неба, загадочными солнечными и лунными затмениями. 

Первые попытки дать рациональное объяснение природы и устройства Вселенной предприняли ионийские философы в VI в. до н.э. Каждый из знаменитых философов этой эпохи: Фалес, Анаксимандр, Анаксимен, Гераклит и Анаксагор — пытался объяснить устройство Вселенной, принимая за основу какую-нибудь одну субстанцию. Фалес считал, например, что все состоит из воды, находящейся в газообразном, жидком или твердом состоянии. Объяснение многих явлений Фалес связывал с водой. Выбор его не столь неразумен, если учесть, что облака, туман, роса, дождь и град — различные состояния воды и что без воды нет жизни: она питает посевы и является основой органической жизни. Даже тело человека, как известно, на 90% состоит из воды. 

Натурфилософия ионийцев представляла собой скорее набор дерзких умозаключений, хитроумных догадок и блестящих интуитивных прозрений, чем результат обширных и тщательно проведенных научных исследований. Философы ионийской школы так страстно стремились увидеть картину мира в целом, что обратились к широким обобщениям, минуя промежуточные этапы. Но вместе с тем они порвали с прежними представлениями, имевшими в основном мифологический характер, и предложили материалистическое, согласующееся с наблюдениями объяснение мироздания и природных явлений. Фантастические представления о природе ионийцы заменили рациональным подходом. Ионийцы дерзнули объять разумом Вселенную, перестав полагаться на богов, духов, призраков, демонов, ангелов и другие мистические силы, якобы управляющие явлениями природы. Квинтэссенцию воззрений ионийцев как нельзя лучше отражают слова Анаксагора: «Разум правит миром». 

Решающим шагом, позволившим рассеять ореол таинственности и мистицизма, окружавший явления природы, и «навести порядок» в их кажущемся хаосе, стало применение математики. Этот шаг потребовал от греков не меньшей прозорливости, интуиции и глубины, чем вера в силу человеческого разума. План, по которому построена Вселенная, имеет математический характер — и только математика позволяет человеку открыть этот план. 

Первой научной школой, предложившей свой вариант «математизированного плана» строения Вселенной, были пифагорейцы, возглавляемые Пифагором Самосским (около 585-500 гг. до н.э.). Пифагорийцы жили на юге Италии. Они черпали вдохновение и заимствовали свои взгляды из религиозных представлений греков, в которых центральное место отводилось очищению души и ее освобождению от скверны и узилища тела. Натурфилософия пифагорейцев носила ярко выраженный рациональный характер. Пифагорейцев поразило, что весьма различные в качественном отношении явления обладают одинаковыми математическими свойствами. Значит, решили пифагорейцы, именно математические свойства выражают сущность явлений. Если говорить более точно, то пифагорейцы видели сущность явлений в числе и числовых отношениях. В их объяснении природы числу отводилась роль начала начал. Пифагорейцы считали, что все тела состоят из фундаментальных частиц, «единиц бытия», которые в тех или иных комбинациях соответствуют различным геометрическим фигурам. В сумме эти единицы представляют материальный объект. Число было материей и формой Вселенной. Отсюда и основной тезис учения пифагорейцев: «Все вещи суть числа». А поскольку число выражало «сущность» всего, то объяснять явления следовало только с помощью чисел. 

Учение пифагорейцев может показаться нам странным, потому что для нас числа — абстрактные понятия, а вещи — физические, или материальные, объекты. Привычное нам понятие числа возникло в результате абстрагирования — а ранним пифагорейцам эта абстракция была чужда. Для них числа были точками или частицами. Говоря о треугольных, квадратных, пятиугольных и других числах, которые мы сегодня называем фигурными, пифагорейцы имели в виду наборы точек, камешков, или других мелких предметов, расположенных в форме треугольников, квадратов и других геометрических фигур (рис. 1.1-1.4).


Рис. 1.1. Треугольные числа.



Рис. 1.2. Квадратные числа.



Рис. 1.3. Пятиугольные числа. 



Рис. 1.4. Шестиугольные числа.


Хотя дошедшие до нас фрагменты исторических документов не позволяют установить точную хронологию событий, не вызывает сомнения, что пифагорейцы, развив и усовершенствовав свои учения, начали рассматривать числа как абстрактные понятия, а объекты — как конкретные реализации чисел. Именно в смысле такого более позднего различия, по-видимому, надлежит понимать высказывание знаменитого пифагорейца V в. до н.э. Филолая: «Если бы ни число и его природа, ничто существующее нельзя было бы постичь ни само по себе, ни в его отношении к другим вещам… Мощь чисел проявляется, как нетрудно заметить… во всех деяниях и помыслах людей, во всех ремеслах и музыке». 

Свести музыку к простым отношениям чисел пифагорейцам удалось после того, как они совершили два открытия: во-первых, что высота тона, издаваемого колеблющейся струной, зависит от ее длины и, во-вторых, что гармонические созвучия издают одинаково натянутые струны, длины которых относятся между собой как целые числа ([5], с. 393-434). Например, гармоническое созвучие издают две одинаково натянутые струны, из которых одна вдвое длиннее другой. На современном языке интервал между тонами, издаваемыми такими двумя струнами, называется октавой. Другое гармоническое созвучие издают две струны, длины которых относятся как 3:2. В этом случае более короткая струна издает ноту, которая на квинту выше тона, издаваемого более длинной струной. Пифагорейцы разработали знаменитую музыкальную шкалу. Мы не будем, подробно останавливаться на музыке греческого периода. Заметим лишь, что многие греческие математики, в том числе Евклид и Птолемей, посвятили музыке, в частности гармоническим созвучиям и построению музыкальной шкалы, специальные сочинения. 

Движения планет пифагорейцы также свели к числовым отношениям. Они считали, что тела, двигаясь в пространстве, издают звуки. Должно быть, на эту мысль их навело наблюдение: камень, раскручиваемый на веревке, со свистом разрезает воздух. Пифагорейцы полагали, что быстро движущееся тело издает более высокий звук, чем тело, движущееся медленно. Согласно астрономическим воззрениям пифагорейцев, планеты движутся тем быстрее, чем дальше они находятся от Земли. Звуки, издаваемые планетами, изменяются в зависимости от удаления от Земли и образуют гармоническое созвучие. Но эта «музыка сфер», подобно всякой гармонии, сводится к числовым отношениям, поэтому и движения планет также сводятся к числовым отношениям. Мы не слышим музыку небесных сфер потому, что привыкли к ней с самого рождения. 

Другие явления природы также были сведены пифагорейцами к числам. Особую роль в учении пифагорейцев играли числа 1, 2, 3 и 4, образовывавшие тетрактис, или четверицу. По преданию, клятва пифагорейцев гласила: «Клянусь именем Тетрактис, ниспосланной нашим душам. В ней источник и корни вечно цветущей природы». Пифагорейцы считали, что все объекты в природе состоят из четверок, таких, как четыре геометрических элемента: точка, линия, поверхность и тело. Впоследствии Платон придавал особое значение четверке материальных элементов: земле, воздуху, огню и воде. 

Сумма чисел, входящих в тетрактис, равна десяти, поэтому десять считалось идеальным числом и символизировало Вселенную. А поскольку число десять идеально, то в небесах должно было быть ровно десять тел. Поэтому пифагорейцы ввели центральный огонь, вокруг которого обращаются Земля, Солнце, Луна и пять известных в древности планет, а также Противоземля, расположенная по другую сторону от центрального огня. Центральный огонь и Противоземля невидимы, потому что поверхность Земли, на которой мы живем, скрывает их от нас. Вряд ли уместно входить в детали пифагорейской картины мира. Главное заключается в том, что пифагорейцы пытались построить астрономическую теорию на основе числовых отношений. 

После того как пифагорейцы «свели» астрономию и музыку к числу, музыка и астрономия оказались связанными с арифметикой и геометрией и все четыре дисциплины стали считаться математическими. Они вошли в программу общего образования, причем это положение сохранилось вплоть до средневековья. В средние века комплекс общеобразовательных дисциплин, состоящий из арифметики, геометрии, музыки и астрономии, получил название квадривиум. 

Общий итог пифагорейского отождествления числа и реального мира подведен в «Метафизике» Аристотеля:


В числах пифагорейцы усматривали (так им казалось) много сходного с тем, что существует и возникает, — больше, чем в огне, земле и воде (например, такое-то свойство чисел есть справедливость, а такое-то — душа и ум, другое — удача, и, можно сказать, в каждом из остальных случаев точно так же); так как далее они видели, что свойства и соотношения, присущие гармонии, выразимы в числах; так как, следовательно, им казалось, что все остальное по природе своей явно уподобляемо числам и что числа — первое во всей природе, то они предположили, что элементы чисел суть элементы всего существующего и что все небо есть гармония и число.
([6], т. 1, с. 75-76.)


Натурфилософию пифагорейцев лишь с большой натяжкой можно назвать состоятельной. Эстетические соображения, к которым примешивается навязчивое стремление найти числовые соотношения, не могли не приводить к утверждениям, выходящим за пределы реальных наблюдений. Пифагорейцам не удалось сколько-нибудь существенно продвинуть ни одну из областей физической науки. С полным основанием их теории можно было бы назвать поверхностными. Но то ли по счастливому стечению обстоятельств, то ли благодаря гениальной интуиции пифагорейцам удалось сформулировать два тезиса, общезначимость которых подтвердило все последующее развитие науки: во-первых, что основополагающие принципы, на которых зиждется мироздание, можно выразить на языке математики; во-вторых, что объединяющим началом всех вещей служат числовые отношения, которые выражают гармонию и порядок природы. Современная наука разделяет пифагорейскую приверженность числу, хотя, как мы увидим далее, современные теории представляют собой гораздо более искусную форму пифагореизма. 

Более поздних философов, пришедших на смену пифагорейцам, не в меньшей мере интересовали природа реальности и математический план, лежащий в ее основе. Особое место среди преемников пифагорейцев занимают Левкипп (V в. до н.э.) и Демокрит (ок. 460-370 гг. до н.э.), наиболее отчетливо для своего времени сформулировавшие атомистическое учение. Согласно философии, которой они придерживались, мир состоит из бесконечного числа простых и вечных атомов. Атомы отличаются по форме, размерам, твердости, порядку и расположению. Все, что мы видим вокруг, представляет собой ту или иную комбинацию атомов. Хотя геометрические величины, например, отрезок прямой, бесконечно делимы, атомы являются мельчайшими, не поддающимися дальнейшему дроблению частицами. Одни свойства тел, такие, как форма, размеры или твердость, определяются свойствами атомов. Другие, как, например, вкус, тепло или цвет, определяются не самими атомами, а воздействием атомов на того, кто испытывает ощущения. Чувственное восприятие ненадежно, так как оно существенно зависит от индивидуума. Подобно пифагорейцам, атомисты утверждали, что реальность, лежащую в основе постоянно меняющегося многообразия физического мира, можно выразить на языке математики. Кроме того, атомисты считали, что все происходящее в мире строго предопределено математическими законами.

Самой влиятельной после пифагорейцев группой мыслителей, расширившей и распространившей учение о математическом плане, лежащем в основе природы, были платоники, возглавляемые, как о том говорит название этой школы, Платоном Афинским. Хотя Платон (427-347 гг. до н.э.) и заимствовал некоторые фрагменты учения пифагорейцев, в достопамятном IV в. до н.э. он был ведущей фигурой духовной жизни Греции. Платон основал в Афинах Академию — центр, который привлек к себе ведущих мыслителей его времени и существовал в течение девяти столетий. 

Вера Платона в рациональность устройства Вселенной, вероятно, лучше всего выражена в его диалоге «Филеб»: 


Сократ… Начнем же хотя бы со следующего вопроса… 
Протарх. С какого? 
Сократ. Скажем ли мы, Протарх, что совокупность вещей и это так называемое целое управляется неразумной и случайной силой как придется, или же, напротив, что целым правит, как говорили наши предшественники, ум и некое изумительное, всюду вносящее лад разумение? 
Протарх. Какое же может быть сравнение, любезнейший Сократ, между этими двумя утверждениями! То, что ты сейчас говоришь, кажется мне даже нечестивым. Напротив, сказать, что ум ускоряет все, достойное зрелище мирового порядка — Солнца, Луны, звезд и всего круговращения небесного свода; да и сам я не решился был утверждать и мыслить об этом иначе.
([7], с. 33-34.)


Более поздние пифагорейцы и платоники проводили резкое различие между миром вещей и миром идей. Тела и отношения в материальном мире несовершенны, преходящи и тленны, но существует другой, идеальный, мир, в котором истины абсолютны и неизменны. Именно эти истины и надлежит рассматривать философу. О физическом же мире мы можем иметь только мнения. Видимый, чувственный мир не более чем смутная, расплывчатая и несовершенная реализация идеального мира: «вещи суть тени идей, отбрасываемых на экран опыта». Реальность надлежит искать в идеях чувственных, в физических объектах. Платон сказал бы, что в лошади, в доме или в прекрасной женщине нет ничего реального. Реальность заключена в универсальном типе (идее) лошади, дома или прекрасной женщины. Непреходящее знание может быть получено только относительно чистых идеальных форм. Только такие идеи постоянны и неизменны, и знание относительно них прочно и неуничтожимо.

Платон утверждал, что реальность и рациональность физического мира могут быть постигнуты только с помощью математики идеального мира. То, что идеальный мир устроен на математических началах, не вызывало сомнений. Плутарх приводит знаменитое изречение Платона: «Бог всегда является геометром». В диалоге «Государство» Платон говорит о том, что «знание, к которому стремятся геометры, есть знание вечного, а не того, что тленно и преходяще». Математические законы платоники считали не только сущностью реальности, но и вечными и неизменными. Числовые отношения также были частью реальности, а скоплениям вещей отводилась роль подобия чисел. Если у ранних пифагорейцев числа были имманентны (внутренне присущи) вещам, то у Платона числа стали трансцендентны вещам.

Платон пошел дальше пифагорейцев в том, что хотел не только понять природу с помощью математики, но и заменить математикой природу. Он считал, что более проницательный взгляд на физический мир дал бы возможность открыть основные истины, которые позволили бы разуму уже самостоятельно достроить все остальное. С момента обнаружения первичных истин дальнейшее было бы чистой математикой. Математика заменила бы физическое исследование.

В «Жизни Марцелла» Плутарх сообщает, что знаменитые современники Платона Евдокс и Архит использовали физические соображения для «доказательства» математических истин. Но Платон с негодованием отвергал такие доказательства как подрывающие основы геометрии, ибо они построены не на чистых рассуждениях, а на чувственных восприятиях.

Отношение Платона к астрономии дает ясное представление о том, к какого рода знанию надлежало, по его мнению, стремиться. Астрономия, утверждал Платон, не должна заниматься изучением движений наблюдаемых небесных тел. Расположение светил на небе и их видимые движения достойны всяческого восхищения и поистине прекрасны, но одни лишь наблюдения и объяснения движений далеко еще не составляют истинной астрономии. Дабы достичь истинной астрономии, необходимо «предоставить небеса самим себе», ибо истинная астрономия изучает законы движения истинных звезд в математических небесах, несовершенным подобием которых является видимое небо. Платон поощрял приверженность теоретической астрономии, занятие которой услаждает разум, а не тешит глаз, ибо ее объекты воспринимаются разумом, а не зрением. Различные фигуры, которые глаз видит на небе, надлежит использовать только как вспомогательные чертежи в поисках высших истин. К астрономии мы должны подходить, как к геометрии, рассматривая ее как серию задач, лишь подсказываемых наблюдаемыми светилами. Применения астрономии в навигации, при составлении календарей и вычислении времени для Платона интереса не представляли.

Совершенно иную концепцию изучения реального мира и отношения математики к реальности развил Аристотель, хотя он и был учеником Платона и много у Платона почерпнул. Аристотель критиковал Платона за идею о двух различных мирах и за сведение естественных наук к математике. Аристотель был физиком в буквальном смысле этого слова. В материальных телах он видел первичную субстанцию и источник реальности. По Аристотелю, физика и наука в целом должны заниматься изучением физического мира и извлекать истину из этих исследований. Подлинное знание достигается на основе чувственного опыта с помощью интуиции и абстрагирования. Абстракции не существуют независимо от человеческого разума.

Аристотель неоднократно подчеркивал, что универсалии — общие понятия — абстрагированы от реальных вещей. Для получения этих абстракций «мы начинаем с вещей познаваемых и наблюдаемых и переходим к вещам менее наглядным, которые по своей природе более понятны и более познаваемы». Аристотель брал наглядные, чувственные качества вещей, выхолащивал их и возводил до независимых, абстрактных понятий.

Какое место занимала математика в развитой Аристотелем схеме вещей? Основополагающими в схеме Аристотеля были физические науки. Математике отводилась вспомогательная роль в изучении природы при описании таких внешних свойств, как форма и размеры. Кроме того, математика помогала объяснять причины тех явлений, которые можно наблюдать в материальном мире. Так, геометрия может помочь в объяснении наблюдений из области оптики и астрономии, а арифметические пропорции могут служить основой гармонии. Но математические понятия и принципы заведомо являются абстракциями, корни которых уходят в реальный мир. Поскольку же они абстрагированы из реального мира, то они применимы к нему. Человеческий разум обладает особой способностью приходить к таким идеализированным свойствам физических объектов, отправляясь от ощущений, и создаваемые им абстракции с необходимостью должны быть истинными.

Даже нашего беглого обзора взглядов тех философов, которые сформировали духовный мир греков, достаточно, чтобы понять главное: все они подчеркивали необходимость изучения природы для понимания и оценки лежащей в основе всего сущего реальности. Кроме того, со времен пифагорейцев почти все философы утверждали, что природа устроена на математических основах. К концу классического периода окончательно сформировалось учение о природе, основанной на математических принципах, и начался планомерный поиск математических законов. Хотя это учение отнюдь не предопределило все последующее развитие математики, получив достаточно широкое распространение, оно оказало влияние на величайших математиков, в том числе и на тех, кто непосредственно не разделял его. Из всех достижений умозрительных построений древних греков подлинно новаторской была концепция космоса, в котором все подчинено математическим законам, постигаемым человеческим разумом.

Греки преисполнились решимости доискаться до истин и, в частности до истин о математических основах природы. Как следует приступить к поиску истин и как при этом гарантировать, что поиск действительно приводит к истинам? Греки предложили «план» такого поиска. Хотя он создавался постепенно на протяжении нескольких веков (VI-III вв. до н.э.) и историки науки расходятся во мнениях относительно того, когда и кем этот план был впервые задуман, к III в. до н.э. «план поиска истин» был доведен до совершенства.

Математика в широком смысле слова, понимаемая как всевозможное использование чисел и геометрических фигур, родилась за несколько тысячелетий до того, как ей занялись греки классического периода. Она включает в себя достижения многих исчезнувших цивилизаций, среди которых наиболее выдающуюся роль сыграли культуры древнего Египта и Вавилона. Но во всех древних цивилизациях, за исключением греческой, математика еще не сформировалась в отдельную науку, у нее не было своей особой методологии, и она не ставила перед собой иных целей, кроме решения самых непосредственных, практических задач. Математика была своего рода инструментом, набором разрозненных нехитрых правил, позволявших людям удовлетворять повседневные запросы: составлять календари, назначать сроки проведения сельскохозяйственных работ, вести торговлю. Открытые методом проб и ошибок, на основе опыта и наблюдений, многие из этих правил были верны лишь приближенно. О математике догреческих цивилизаций в лучшем случае можно сказать, что она в известной мере продемонстрировала мощь, если не строгость, мышления и проявила больше упорства, чем блеска. Математику такого рода принято называть эмпирической. Эмпирическая математика египтян и вавилонян стала прелюдией к тому, что создали греки.

Хотя греческая культура не была полностью свободной от внешних влияний (греческие мыслители, совершая путешествия в Египет и Вавилон, знакомились там с достижениями местной науки) и хотя математике в современном смысле этого слова (даже в столь благоприятной интеллектуальной атмосфере древней Греции) еще предстояло пройти период созревания, то, что создали греки, значительно отличалось от того, что они по крупицам собрали из опыта своих предшественников.

Провозгласив своей целью поиск математических истин, греки не могли опираться на грубые, эмпирические, ограниченные, несвязные и во многих случаях приблизительные результаты, накопленные до них главным образом египтянами и вавилонянами. Сама математика, основные факты о числах и фигурах, должна была стать сводом абсолютных истин — и математические рассуждения, направленные на постижение истин о физических явлениях, например о движениях небесных тел, должны были приводить к неоспоримым результатам. Высокие цели намечены, но как их достичь?

Первый принцип, которого неуклонно придерживались греки, состоял в том, что математика должна иметь дело с абстракциями. Для философов, творцов греческой математики, носителями истины могли быть лишь перманентные, неизменяемые сущности и отношения. К счастью, человеческий разум, работу которого стимулируют наши органы чувств, может подняться до более высоких концепций — идей, вечных реалий и истинных объектов мышления. Предпочтение, отдаваемое греками абстракции, имело под собой и другую причину. Чтобы обрести мощь, математика должна охватывать в едином абстрактном понятии существенные черты всех физических реализаций этого понятия. Так, математическая прямая должна отражать наиболее существенные особенности натянутых нитей, краев линеек, границ сельскохозяйственных угодий и траекторий лучей света. Математическая прямая не должна, следовательно, иметь толщину, цвет, молекулярную структуру или испытывать натяжение. Греки вполне отчетливо и явно утверждали, что их математика имеет дело с абстракциями. В «Государстве» Платон говорит о геометрах следующее:


Разве ты не знаешь, что, хотя они используют видимые формы и рассуждают о них, мыслят они не о самих формах, а об идеалах, с которыми не имеют сходства; не о фигурах, которые они чертят, а об абсолютном квадрате и абсолютном диаметре… и что в действительности геометры стремятся постичь то, что открыто лишь мысленному взору?


Итак, математика должна заниматься прежде всего изучением таких абстрактных понятий, как точка, прямая и целое число. Другие понятия, например треугольник, квадрат и окружность, можно определить через основные понятия, которые, как отметил Аристотель, должны оставаться неопределимыми, ибо в противном случае у нас не было бы отправной точки. О степени изощренности греческой математики можно судить хотя бы по тому, что определяемые там понятия должны были иметь аналоги в реальности либо по доказанному, либо по построению. Так, нельзя было ввести по определению трисектор угла и доказывать о нем теоремы: трисектор мог бы и не существовать. И так как грекам не удалось решить задачу о трисекции любого угла при тех ограничениях, которые они накладывали на геометрические построения, то они так и не ввели понятия трисектора.{7} 

Свои рассуждения о математических понятиях греки начинали с аксиом — истин, столь очевидных, что в справедливости их невозможно усомниться. Такие истины грекам были известны. Платон обосновал принятие аксиом своей теорией воспоминаний — анамнезисом. Как уже упоминалось, Платон считал объективно существующим мир идей. До того как человек появляется на свет, его душа обретается в мире идей и впитывает впечатления. Побуждаемая к воспоминаниям, душа затем восстанавливает накопленные ранее впечатления, чтобы признать истинность аксиом геометрии. Никакой земной опыт ей для этого не требуется. Аристотель подошел к проблеме иначе. Истинность аксиом, утверждает он во «Второй аналитике» ([8] гл. 18), мы познаем посредством безошибочной интуиции. Кроме того, аксиомы необходимы нам как основа для рассуждений. Если бы в своих рассуждениях мы использовали факты, истинность которых неизвестна, то для установления их истинности потребовались бы новые рассуждения, и так до бесконечности. В результате мы бесконечно «спускались» бы в наших доказательствах — но нигде не могли бы остановиться. Среди аксиом Аристотель различал общие понятия и постулаты. Общие понятия истинны во всех областях мысли. К их числу относятся такие утверждения, как «Если от равного отнять равные [части], то остаются равные же [части]» ([8], с. 199). Постулаты применимы к такой специфической области, как геометрия. Таково, например, утверждение «Две [разные] точки определяют прямую и притом только одну». Аристотель считал, что постулаты не обязательно должны быть самоочевидными, но если они не очевидны, то их истинность надлежит подтверждать выводимыми из них следствиями. Математики же требовали самоочевидности постулатов. 

Из аксиом с помощью рассуждений выводятся заключения. Существует много типов рассуждений, например рассуждения по индукции, по аналогии и дедукции. Правильность заключения гарантирует лишь один из многих типов рассуждений. Заключение «Все яблоки красные», сделанное на основании того, что тысяча просмотренных яблок оказались красными, индуктивно и поэтому не абсолютно надежно. Заключение «Джон сможет окончить этот колледж», сделанное потому, что брат Джона, унаследовавший от родителей те же способности, окончил колледж, получено с помощью рассуждения по аналогии и заведомо не надежно. С другой стороны, дедуктивное рассуждение, несмотря на множество различных форм, гарантирует истинность заключения. Так, допуская, что все люди смертны и Сократ — человек, следует прийти к заключению, что Сократ смертен. Используемое в этом рассуждении правило логики является одной из форм суждения, которое Аристотель назвал силлогистическим выводом. К правилам дедуктивного рассуждения Аристотель относил также закон противоречия (никакое высказывание не может быть одновременно истинным и ложным) и закон исключенного третьего (любое высказывание должно быть либо истинным, либо ложным). 

Аристотель, а вслед за ним и весь мир приняли за неоспоримую истину, что применение правил дедуктивного вывода к любым посылкам гарантирует получение заключений, не уступающих по надежности посылкам. Иначе говоря, если посылки истинны, то истинны и заключения. Следует отметить, в особенности для обсуждения в дальнейшем, что Аристотель абстрагировал правила дедуктивной логики из рассуждений, которыми тогда уже широко пользовались математики.{8} Дедуктивная логика — дитя математики. 

Хотя почти все греческие философы считали дедуктивный вывод единственно надежным методом получения истины, Платон придерживался несколько иных взглядов. Не выдвигая возражений против дедуктивного доказательства, Платон тем не менее считал его поверхностным, поскольку математические аксиомы и теоремы существуют в некотором объективном, независимом от человека мире, и в соответствии с учением Платона об анамнезисе человеку необходимо лишь вспомнить эти аксиомы, чтобы сразу же распознать их неоспоримую истинность. Теоремы, если воспользоваться сравнением из диалога Платона «Теэтет», подобны птицам в птичнике. Они существуют сами по себе, и необходимо лишь «схватить» их. В диалоге Платона «Менон» Сократ с помощью искусно поставленных вопросов вытягивает из молодого раба утверждение, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на любом из катетов. Сократ торжествующе заключает, что искусно поставленные вопросы помогли рабу, никогда не изучавшему геометрию, вспомнить теорему.

 Важно правильно оценивать, сколь радикальной была приверженность дедуктивному доказательству. Предположим, что некий ученый, измерив сумму углов ста различных треугольников, отличающихся расположением, размерами и формой, обнаружил, что в пределах точности измерений сумма углов всегда оказывается равной 180°. Разумеется, ученый решил бы, что сумма углов любого треугольника равна 180°. Но его доказательство было бы индуктивным, а не дедуктивным — и поэтому неприемлемым с точки зрения математики. Он мог бы точно так же проверить сколько угодно четных чисел и убедиться, что каждое из них представимо в виде суммы двух простых чисел. Но подобная проверка не является дедуктивным доказательством, и ее результат не сочли бы за математическую теорему. Итак, мы видим, что дедуктивность доказательства — требование весьма ограничивающее. Тем не менее греческие математики, бывшие в большинстве своем философами, упорно настаивали на исключительном использовании дедуктивных рассуждений, так как именно дедукция приводит к абсолютным истинам, к вечным ценностям. 

Предпочтение, отдаваемое философами дедуктивным рассуждениям, обусловлено еще одной причиной. Философов интересуют лишь самые общие факты, касающиеся человека и физического мира, а чтобы установить такие универсальные истины, как то, что человек по существу добр, что в мире царит порядок или что человеку есть ради чего жить, дедуктивный вывод из подходящих исходных принципов осуществим в гораздо большей мере, чем индукция или рассуждение по аналогии. 

Еще одну причину того, что греки классического периода отдавали предпочтение дедукции, можно усмотреть в организации их общества. Философией, математикой и искусством, естественно, увлекались прежде всего состоятельные люди, а не те, кто занимался физическим трудом. Все домашнее и общественное хозяйство держалось на рабах, метеках (свободных людях, не имевших, однако, гражданских прав){9} и на свободных гражданах — ремесленниках; они же представляли все важнейшие профессии. Образованные свободные граждане не занимались физическим трудом и редко участвовали в торговых сделках. Платон провозгласил, что профессия лавочника недостойна свободнорожденного, и предложил подвергать наказанию всякого гражданина, который унизит себя подобным занятием, как совершившего преступление. Аристотель утверждал, что в идеальном государстве ни один гражданин (в отличие от рабов) не должен заниматься никаким ремеслом. Беотийцы (одно из греческих племен) запрещали тем, кто запятнал себя участием в торговых сделках, в течение десяти лет занимать общественные должности. В таком обществе эксперимент и наблюдение были мыслителям чужды. Считалось, что источники такого рода не могут помочь получить результаты научного, в частности математического, характера. 

Хотя приверженность греков дедуктивному доказательству имела под собой немало оснований, не вполне ясно, кто из философов или какая группа мыслителей впервые продемонстрировали эту приверженность. Наши знания учений и трудов философов — до Сократа — носят, к сожалению, весьма фрагментарный характер, и, хотя на этот счет неоднократно высказывались различные мнения, ни одно из них не получило общего признания. Мы можем лишь с уверенностью утверждать, что во времена Аристотеля требование дедуктивности соблюдалось неукоснительно, так как Аристотель, формулируя в явном виде стандарты строгости, отмечает необходимость неопределяемых терминов и правил логического вывода. 

Насколько удалось грекам осуществить свой план установления математических законов Вселенной? К счастью, лучшие достижения греческой математики, созданной усилиями Евклида, Аполлония, Архимеда и Клавдия Птолемея, дошли до нас. Хронологически все эти авторы относятся ко второму великому периоду греческой культуры, получившему название эллинистического или александрийского (300 г. до н.э. — 600 г. н.э.). В IV в. до н.э. царь Филипп Македонский предпринял попытку покорить персов, господство которых распространялось на весь Ближний Восток. Персы были традиционными врагами европейских греков. Филипп был убит, и на трон вступил его сын Александр. Александр Македонский разгромил персов и перенес культурный центр своей безмерно расширившейся империи в новый город, который он с присущей ему «скромностью» назвал в свою честь Александрией. Александр Македонский умер в 323 г. до н.э., но его план создания нового центра подхватили и продолжили его преемники в Египте, вошедшие в историю под именем династии Птолемеев. 

Достоверно установлено, что Евклид жил и преподавал в Александрии около 300 г. до н.э. (сам Евклид скорее всего получил образование в Платоновской Академии в Афинах). Это почти единственная информация, которой мы располагаем о частной жизни Евклида. Свои труды Евклид облекал в форму обширных систематических дедуктивных обзоров отдельных открытий многих греческих авторов классического периода. В главном труде Евклида — «Началах» излагаются основные свойства пространства и пространственных фигур. 

«Началами» Евклида отнюдь не исчерпывается его вклад в развитие геометрии пространства. Он посвятил коническим сечениям не дошедшее до нас сочинение, а уроженец города Перга в Малой Азии Аполлоний (262-190 гг. до н.э.), изучавший математику в Александрии, продолжил исследование параболы, эллипса и гиперболы и написал по этому предмету классический труд — «Конические сечения». 

Архимед (287-212 гг. до н.э.), возможно получивший образование в Александрии{10}, но живший на Сицилии, добавил к чисто геометрическим достижениям греков трактаты: «О шаре и цилиндре», «О коноидах и сфероидах» и «Квадратура параболы», посвященных вычислению площадей и объемов сложных фигур и тел по методу, предложенному Евдоксом (390-337 гг. до н.э.) и получившему впоследствии название метод исчерпывания. В наши дни подобные задачи решаются методами интегрального исчисления. 

Греки внесли еще один крупный вклад в изучение пространства и пространственных фигур: они создали тригонометрию. Ее основы были заложены Гиппархом, который жил на Родосе и в Александрии и умер около 125 г. до н.э. Его труд был продолжен Менелаем (ок. 98 г. н.э.), а полное и вполне авторитетное изложение астрономии дал египтянин Клавдий Птолемей (умер в 168 г. н.э.), работавший в Александрии. Главный труд Птолемея «Большое математическое построение астрономии» более известен под арабским вариантом названия — «Альмагест».{11} Тригонометрия занимается изучением количественных соотношений между сторонами и углами треугольника. Греков интересовали главным образом треугольники на поверхности сферы со сторонами, образованными дугами больших кругов (так называются круги, плоскость которых проходит через центр сферы), поскольку именно такие сферические треугольники находили применение при изучении движений планет и звезд, перемещавшихся, как считали греки, по дугам больших кругов. Но ту же теорию можно «перенести» и на случай треугольников на плоскости. Именно этот вариант — плоская тригонометрия — входит в программу современной средней школы. Введение тригонометрии потребовало весьма основательных познаний в арифметике и даже некоторого знакомства с алгеброй. В дальнейшем (гл. V) мы узнаем о достижениях греков в этих областях математики. 

Достигнутые успехи превратили математику из свода неясных, эмпирических, разрозненных фрагментов в блестящую, обширную, систематическую и глубокую науку. Классические труды Евклида, Аполлония и Архимеда («Альмагест» Птолемея является исключением), посвященные изучению свойств пространства и пространственных фигур, могут показаться весьма специальными и не позволяют составить верное представление о более широкой значимости излагаемого в них материала. Может создаться впечатление, что эти чисто геометрические сочинения имеют весьма косвенное отношение к раскрытию истинных тайн природы. Ведь все классические труды посвящены лишь изложению формализованной, изысканной, дедуктивной математики. В этом отношении греческие математические тексты не отличаются от современных учебников и монографий по математике. Авторы таких книг видят свою главную задачу в организации и связном изложении полученных математических результатов и считают излишним как-либо обосновывать важность излагаемых разделов науки и игнорируют возможные эвристические соображения и разбор частных случаев, подкрепляющих правдоподобность доказываемых теорем, а также умалчивают о возможных применениях своих конструкций. Многие историки науки, специализирующиеся на изучении греческой математики классического периода, склонны поэтому считать, что математики той эпохи занимались математикой ради математики, и в подтверждение своих слов ссылаются на два величайших компилятивных сочинения классического периода — «Начала» Евклида и «Конические сечения» Аполлония. Но те, кто так утверждает, чрезмерно сужают поле зрения. Ограничиваться рассмотрением только «Начал» и «Конических сечений» — это то же самое, что, исходя из одной лишь работы Ньютона о разложении бинома, утверждать, что Ньютон был чистым математиком. 

Подлинной целью греков было исследование природы. Этой цели служило все — даже геометрические истины высоко ценились лишь постольку, поскольку они были полезны при изучении физического мира. Греки понимали, — что в структуре Вселенной воплощены геометрические принципы, первичным компонентом которых является пространство. Именно поэтому исследование пространства и пространственных фигур явилось существенным вкладом в изучение природы. Геометрия входила составной частью в более широкую программу космологических исследований. Например, изучение сферической геометрии было предпринято, когда астрономия приобрела математический характер, что произошло во времена Платона. Греческое слово «сфера» (шар) у пифагорейцев имело тот же смысл, что и (тогда еще не существовавшее) слово «астрономия». Сочинение Евклида «Феномены», посвященное сферической геометрии, предназначалось для использования в астрономии. Подобные факты и более полное знание того, как происходило развитие математики в последующие времена, позволяют утверждать, что и у греков к постановке математических проблем приводили естественнонаучные исследования и что математика была неотъемлемой частью изучения природы. Чтобы прийти к такому выводу, не нужно строить умозрительные заключения — достаточно выяснить, чего именно удалось достигнуть грекам в исследовании природы и кому принадлежат самые крупные достижения. 

Величайший успех в области собственно физической науки выпал на долю астрономии. Платон, хорошо осведомленный о впечатляющем числе астрономических наблюдений, проведенных в Древнем Египте и Вавилоне, неоднократно подчеркивал, что египтяне и вавилоняне не располагали основополагающей, обобщающей теорией, которая позволила бы объяснить наблюдаемые нерегулярные движения планет. Положение дела попытался «исправить» некогда учившийся в Академии Евдокс, чья чисто геометрическая работа включена в V и XIII книги «Начал» Евклида. Полученное Евдоксом решение составило первую в истории науки в разумных пределах завершенную астрономическую теорию. 

Мы не станем подробно описывать теорию Евдокса. Скажем лишь, что это была сугубо математическая теория, рассматривавшая движения взаимодействующих сфер. За исключением сферы неподвижных звезд, все сферы в теории Евдокса были не материальными телами, а математическими конструкциями. Евдокс даже не пытался установить, какие силы вынуждают сферы вращаться так, как они, по его утверждению, вращались. Теория Евдокса весьма современна нам по духу, ибо и в настоящее время целью науки зачастую считается математическое описание, а не физическое объяснение. Теория Евдокса была превзойдена теорией, создание которой принято приписывать трем величайшим астрономам-теоретикам: Аполлонию, Гиппарху и Птолемею. Эта теория вошла в «Альмагест» Птолемея. 

Никакие труды Аполлония по астрономии до нашего времени не дошли. Однако различные греческие авторы, в том числе Птолемей (в XII книге «Альмагеста»), ссылаются на его результаты. Как астроном, Аполлоний пользовался такой известностью, что получил прозвище ε (эпсилон), поскольку он много занимался движением Луны, а Луну греческие астрономы обозначали буквой ε. До нас дошло лишь одно небольшое астрономическое сочинение Гиппарха, но в «Альмагесте» Птолемея мы находим ссылки на Гиппарха и восхваления в его адрес. 

Основная схема того, что теперь принято называть птолемеевой системой мира, вошла в греческую астрономию в период между работами Евдокса и Аполлония. Согласно этой схеме, планета P движется с постоянной скоростью по окружности с центром S, в то время как центр S в свою очередь движется по окружности, центр которой совпадает с Землей E (рис. 1.5). Окружность, по которой движется точка S, называется деферентом, окружность, которую описывает планета P, — эпициклом. Точка S для некоторых планет совпадает с Солнцем, а в остальных случаях это просто математическая точка. Направления, в которых движутся точки P и S, могут как совпадать, так и быть противоположными. Например, в случае Солнца и Луны точки S и P движутся по окружностям в противоположные стороны.


Рис. 1.5. Эпицикл и деферент.


Для описания движений некоторых планет Птолемей несколько видоизменил описанную схему. Подходящим образом выбирая радиусы эпицикла и деферента, скорости движения тела по эпициклу и скорости движения эпицикла по деференту, Гиппарх и Птолемей смогли получить описания движений небесных тел, хорошо согласующиеся с результатами астрономических наблюдений того времени. Со времен Гиппарха лунное затмение можно было бы предсказать с точностью до одного-двух часов, хотя солнечные затмения удавалось предсказывать менее точно. Такие предсказания стали возможными, потому что Птолемей применил тригонометрию, разработанную им, по его собственному признанию, для астрономии. 

Как и Евдокс, Птолемей отчетливо сознавал (и это необходимо особо отметить, имея в виду нашу главную тему — поиск истин), что его теория представляет собой не более чем удобное математическое описание, согласующееся с наблюдениями, и не обязательно должна отражать истинный механизм движения планет. При описании движений некоторых планет Птолемею приходилось рассматривать несколько альтернативных схем, и он отдавал предпочтение той, которая была проще с точки зрения математики. В XIII книге «Альмагеста» Птолемей утверждает, что астрономия должна стремиться к возможно более простой математической модели. Но христианский мир принял математическую модель Птолемея за абсолютную истину. 

Теория Птолемея дала первое полное, в разумных пределах, подтверждение постоянства и неизменности природы и была воспринята как окончательное решение поставленной Платоном проблемы объяснения видимых движений небесных тел. Никакой другой из полученных в греческую эпоху результатов не может соперничать с «Альмагестом» по глубине влияния на представления о Вселенной, и ни одно сочинение, за исключением «Начал» Евклида, не обрело столь беспрекословного авторитета. 

Разумеется, в нашем кратком очерке греческой астрономии не названы многие другие достижения античных астрономов и не дано полного представления о глубине и размахе свершений тех, кого мы здесь упомянули. Греческая астрономия достигла высокого уровня развития и наглядности и весьма широко применяла математику. Кроме того, почти каждый греческий математик, в том числе и такие мастера, как Евклид и Архимед, занимался астрономией. 

Постижение физических истин не закончилось на геометрии пространства и астрономии. Греки заложили также основы механики. Механика изучает движение тел, которые можно рассматривать как материальные точки, движение протяженных тел и силы, вызывающие эти движения. В своей «Физике» ([6], т. 3, с. 59-262) Аристотель свел воедино все высшие достижения греческой механики. Как и вся аристотелева физика, его механика опирается на рациональные самоочевидные принципы, согласующиеся с наблюдениями. Хотя эта теория сохранила влияние на протяжении почти двух тысячелетий, мы не останавливаемся на ее изложении, так как она была полностью вытеснена механикой Ньютона. Существенными дополнениями к аристотелевой теории движения стали работы Архимеда по определению центров тяжести тел и его теория рычага. Во всей этой деятельности для нас наиболее существенна ведущая роль математики; тем самым получило подтверждение всеобщее убеждение в том, что в постижении законов природы первостепенное значение имеет математика. 

Не меньший интерес, чем астрономия и механика, вызвала оптика. Основы этой науки также были заложены греками. Почти все греческие философы, начиная с пифагорейцев, строили умозрительные заключения о природе света, зрения и цвета, но нас интересуют математические достижения в этой области. Первым было априорное утверждение Эмпедокла (около 490 г. до н.э.) из Агригента — города на острове Сицилия — о том, что свет распространяется с конечной скоростью. Хронологически первыми систематическими исследованиями света, сохранившимися до нашего времени, стали сочинения Евклида «Оптика» и «Катоптрика»{12}. В «Оптике» Евклид рассматривает проблемы зрения и использования зрения для определения размеров различных предметов. В «Катоптрике» (теории зеркал) показано, как ведут себя лучи света при отражении от плоских, выпуклых и вогнутых зеркал и как ход лучей сказывается на том, что мы видим. Как и «Оптика», «Катоптрика» начинается с определений, которые в действительности являются постулатами. Теорема I (аксиома в современных учебниках и монографиях), играющая основополагающую роль в геометрической оптике известна как закон отражения. Она утверждает, что угол α образуемый с поверхностью зеркала лучом света, падающим на зеркало из точки P, равен углу, образуемому с поверхностью зеркала отраженным лучом (рис. 1.6). Евклид также установил закон падения для луча, падающего на выпуклое и вогнутое зеркала: в точке касания Евклид заменил зеркало касательной плоскостью R (рис 1.7) «Оптика» и «Катоптрика» — сочинения математические не только по содержанию, но и по своей структуре. Основное место в них, как и в «Началах» Евклида, отводится определениям, аксиомам и теоремам.


Рис. 1.6. Отражение от плоского зеркала.



Рис. 1.7. Отражение от выпуклого зеркала.


 Математик и инженер Герон (I в.) вывел из закона отражения важное следствие. Если P и Q на рис. 1.6 — любые две точки, расположенные по одну сторону от прямой ST, то из всех путей, ведущих из точки P к прямой ST, a затем к точке Q, кратчайший соответствует такому положению точки R, при котором отрезки прямых PR и QR образуют с прямой ST равные углы. Следовательно, луч света, идущий из точки P к зеркалу и затем к точке Q, распространяется по кратчайшему пути. Отсюда ясно, что природа весьма «сведуща» в геометрии и использует ее с наибольшей пользой. Теорема, которую мы только что воспроизвели, заимствована нами из «Катоптрики» Герона, где рассмотрено также отражение луча света от вогнутых и выпуклых зеркал, а также от комбинаций зеркал. 

Об отражении света от зеркал различной формы было написано великое множество работ. Среди ныне безвозвратно утерянных сочинений — «Катоптрика» Архимеда, «О зажигательном зеркале» Аполлония (около 190 г. до н.э.) и «О зажигательных зеркалах» Диоклеса (около 190 г. до н.э.). Зажигательные зеркала были вогнутыми и имели форму сферического сегмента параболоида вращения (поверхности, образованной вращением параболы вокруг ее оси) и эллипсоидов вращения. Аполлонию было известно, а в книге Диоклеса содержалось доказательство, что параболическое зеркало, отражая свет от источника света, помещенного в его фокусе, собирает лучи в пучок, параллельный оси зеркала (рис. 1.8). Наоборот, если пучок падающих лучей направить параллельно оси параболического зеркала, то после отражения лучи соберутся в фокусе. Собранные в фокусе солнечные лучи вызывают резкий разогрев и способны зажечь помещенный в фокусе горючий материал, откуда и название — зажигательное зеркало. По преданию, Архимед, воспользовавшись этим свойством зажигательных зеркал, сконцентрировал солнечные лучи на римских судах, блокировавших с моря его родной город Сиракузы, и поджег неприятельский флот. Аполлонию были известны отражательные свойства и других конических сечений. Он знал, например, что все лучи, выходящие из одного фокуса эллиптического зеркала, после отражения собираются в другом фокусе. В книге III «Конических сечений» приведены соответствующие геометрические свойства эллипса и гиперболы.


Рис. 1.8. Отражение от параболического зеркала.


Греки заложили основы многих других наук. Особенно велика их роль как основоположников географии и гидростатики. Эратосфен из Кирены (около 284-192 гг. до н.э.), один из наиболее образованных людей античности, директор Александрийской библиотеки, вычислил расстояния между многими населенными пунктами на той части Земли, которая была известна древним грекам. Ему также принадлежит широко известное ныне вычисление длины окружности Земли. В своей «Географии» Эратосфен помимо описаний используемых им математических методов объяснил причины изменений, происходящих на поверхности Земли. 

Самым обширным сочинением по географии была «География» Птолемея в восьми книгах. В ней Птолемей не только дополнил и расширил труд Эратосфена, но и определил положение на поверхности Земли восьми тысяч мест, указав те самые их широты и долготы, которыми мы пользуемся и поныне. Птолемей изложил также методы составления карт, применяемые и в современной картографии, в частности метод стереографической проекции. Во всех трудах по географии основную роль играла сферическая геометрия, которую греки применяли с IV в. до н.э. 

Гидростатика занимается изучением давления, оказываемого жидкостью на погруженное в нее тело. Здесь основополагающим трудом по праву считается сочинение Архимеда «О плавающих телах». Как и все остальные сочинения, о которых мы упоминали, оно чисто математическое как по своему подходу, так и по способу получения результатов. В частности, именно в этом сочинении сформулирован знаменитый принцип, известный ныне под названием закона Архимеда, который гласит, что на погруженное в жидкость тело действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости. Таким образом, мы обязаны Архимеду объяснением того, каким образом человек может остаться на плаву в мире сил, стремящихся утопить его. 

Хотя в александрийский период дедуктивный подход к математике и математическому изложению законов природы играет главенствующую роль, следует отметить, что в отличие от своих предшественников классического периода александрийцы не отказывались от экспериментов и наблюдений. Так, александрийцы использовали результаты высокоточных астрономических наблюдений, которые в течение двух тысячелетий производили вавилоняне. Гиппарх составил каталог звезд, наблюдавшихся в его время. Среди изобретений александрийцев (сделанных главным образом Архимедом, а также математиком и инженером Героном) мы находим солнечные часы, астролябии и устройства для использования энергии пара и воды. 

Особую известность приобрел Александрийский музей, основанный непосредственным преемником Александра Македонского в Египте — Птолемеем Сотером. Музей стал родным домом ученых; его библиотека насчитывала около 400 тыс. томов. Поскольку ее хранилища не могли вместить все рукописи, еще 300 тыс. томов были размещены в храме Сераписа. Ученые не только занимались наукой, но и проводили занятия с учениками. 

Своими математическими трудами и многочисленными исследованиями греки существенно подкрепили тезис о том, что Вселенная зиждется на математических принципах. Математика внутренне присуща природе, является истиной о структуре природы, или, если воспользоваться выражением Платона, реальностью о физическом мире. Закон и порядок существует в природе, и математика — ключ к пониманию этого порядка. Более того, человеческий разум способен проникнуть в сокровенный план природы и открыть математическую структуру Вселенной. 

Толчком к созданию концепции логического, математического подхода к познанию природы послужили, по-видимому, «Начала» Евклида. Хотя сочинение Евклида предназначалось для изучения физического пространства, структура самого сочинения, его необычайное остроумие и ясность изложения стимулировали аксиоматическо-дедуктивный подход не только к остальным областям математики, например к теории чисел, но и ко всем естественным наукам. Через «Начала» Евклида понятие логической структуры всего физического знания, основанного на математике, стало достоянием интеллектуального мира. 

Тем самым греки установили союз математики и изучения явлений природы, который стал фундаментом всей современной науки. Вплоть до конца XIX в. поиск математических принципов, лежащих в основе природы, был поиском истины. Глубокое убеждение в том, что математические законы открывают истины о природе, привлекало к математике самых глубоких и возвышенных мыслителей.

II

Расцвет математических истин

Главной целью всех исследований внешнего мира должно быть открытие рационального порядка и гармонии, которые бог ниспослал миру и открыл нам на языке математики. Иоганн Кеплер
Созданная греками великая цивилизация распалась по нескольким причинам. Первой причиной ее заката было постепенное завоевание римлянами Греции, Египта и Ближнего Востока. Распространяя свое владычество, римляне не ставили целью распространение своей культуры. Завоеванные территории римляне быстро превращали в колонии, из которых грабежом и поборами выкачивали колоссальные богатства. 

Другой удар языческой культуре греков нанесло возникновение христианства. Создатели новой религии включили в нее множество греческих и восточных мифов и обычаев с очевидным намерением сделать христианство более доступным для новообращенных, но в то же время заняли непримиримую позицию по отношению к языческой науке и даже осмеивали математику, астрономию и естественные науки. Несмотря на жестокие преследования со стороны римлян, христианство продолжало распространяться и достигло такого могущества, что римский император Константин Великий Миланским эдиктом 313 г. провозгласил христианство официальной религией Римской империи. Несколько позднее Феодосий (правивший в 379-392 гг.) запретил языческие религии и в 392 г. приказал разрушить языческие храмы.{13} 

Тысячи греческих книг были сожжены. В 47 г. до н.э. римляне подожгли египетские суда, стоявшие в Александрийской гавани. В огне пожара, охватившего город, погибла знаменитая Александрийская библиотека — ценнейшее собрание древних рукописей. В тот год, когда Феодосий запретил языческие религии, христиане разрушили храм Сераписа в Александрии — хранилище уникального собрания уцелевших греческих рукописей. Многие сочинения греческих авторов, написанные на пергаменте, были стерты христианами, которые использовали этот пергамент для записи собственных текстов религиозного содержания. 

Последующая история Римской империи также имеет непосредственное отношение к интересующей нас теме. Император Феодосий разделил необъятную империю между двумя своими сыновьями — Гонорием, которому отошла Италия и Западная Европа, и Аркадием, получившим в наследство Грецию, Египет и Ближний Восток. Западная часть Римской империи была завоевана в V в. готами, и ее дальнейшая история относится уже к истории средневековой Европы. Восточная часть Римской империи сохранила независимость. В состав Восточной Римской империи, известной также под названием Византийской империи, входили собственно Греция и Египет, что в какой-то мере способствовало сохранению греческой культуры и сочинений греческих ученых. 

Завоевание Египта (640 г.) сторонниками набиравшего силу ислама нанесло греческой культуре удар, от которого она уже не смогла оправиться. Все ранее уцелевшие книги были уничтожены; как говорит предание, халиф Омар провозгласил: «Либо в этих книгах написано то, что есть в Коране, и тогда нам незачем их читать, либо они утверждают то, что противоречит Корану, и тогда их не подобает читать». Почти полгода бани Александрии отапливались пергаментными свитками. 

После захвата Александрии приверженцами пророка Мухаммеда (Магомета) большинство ученых уехали в Константинополь, ставший столицей Восточной Римской империи. И хотя традиционная греческая культура не могла процветать в неблагоприятной для нее атмосфере Византии, приток ученых и возможность продолжать научную работу в условиях относительной безопасности способствовали приумножению сокровищницы знаний, ставшей через 800 лет достоянием Европы. 

Свой вклад в дальнейшее развитие математики как науки внесли индийцы и арабы. Некоторые идеи индийских и арабских математиков сыграли немалую роль в дальнейшем.{14} За тысячелетие (200-1200 гг.) индийцы (не без влияния греческих источников) получили важные результаты в области арифметики и алгебры. Арабы — созданный ими Арабский халифат в период расцвета простирался по всему побережью Средиземного моря, глубоко вторгался на Ближний Восток и объединял разноплеменные народы, исповедовавшие ислам, — усвоили лучшие достижения греческой и индийской математики и получили ряд новых результатов. Действуя в духе греков александрийского периода, арабы в своих трудах опирались и на дедуктивные рассуждения, и на эксперимент. Арабские ученые сказали свое слово в алгебре, географии, астрономии и оптике. Заботясь о передаче знаний грядущим поколениям, арабы создавали школы и даже высшие учебные заведения. К чести арабов следует заметить, что, будучи ревностными приверженцами своей религии, они тем не менее считали недопустимым ограничивать религиозными догмами математические и естественнонаучные исследования. 

Хотя индийцы и арабы основывали свои исследования на прочном фундаменте, воздвигнутом греками, и внесли свой вклад в дальнейшее развитие эллинской математики и естествознания, они не смогли в такой мере, как греки, проникнуться пониманием структуры Вселенной. Арабы переводили труды греческих ученых и составляли к ним обширные комментарии, в том числе и критические, но их достижения не пополнили сокровищницу знаний, накопленных их предшественниками, сколько-нибудь существенно (см., впрочем, [9], гл. III). К 1500 г. Арабский халифат распался, теснимый христианами на Западе и раздираемый междоусобицами на Востоке. 

В то время как арабы строили и расширяли свою цивилизацию, в Западной Европе зарождалась новая цивилизация. В период средневековья (500-1500 гг.) в этой части мира был достигнут высокий уровень культуры. В европейской культуре того времени безраздельно господствовала христианская религия, а ее доктрины, при их определенных достоинствах, отнюдь не способствовали познанию физического мира. Вселенной, как утверждали отцы церкви, правит бог, и роль человека сводится к безропотному служению богу и снисканию милости божьей в надежде на спасение, дабы душа в загробном мире обрела радость и вечное блаженство. Земному существованию не следует придавать особого значения; трудности и страдания надлежит переносить с кротким терпением, ибо господь ниспосылает их, чтобы испытать, крепка ли вера человека. Нужно ли говорить, что в подобных условиях интерес к математике и естественным наукам, стимулом которого в античности служило изучение физического мира, переживал глубокий кризис. Мыслители средневековой Европы были ревностными искателями истин, но искали их в прилежном изучении Священного писания, а не в познании природы. Тем не менее в позднем средневековье философия поддерживала убеждение в правильности и постоянстве управляющих природой механизмов, хотя и считала, что в природе все происходит по воле божьей. 

В конце периода средневековья Европа испытала поистине революционные потрясения, которые привели к значительным изменениям. Среди многих причин, способствовавших превращению средневековой цивилизации в современную, самой важной с точки зрения интересующей нас темы было пробуждение интереса к трудам греческих авторов и вновь начавшееся изучение их. Сочинения античных ученых становились известными в арабских переводах и через оригиналы, сохранившиеся в Византийской империи. После завоевания Византии турками в 1453 г. многие греческие ученые, захватив с собой книги, бежали на Запад. Именно из сочинений греков ведущие европейские мыслители того времени узнали, что природа построена на математических принципах и что план творения гармоничен, эстетически привлекателен и являет собой сокровенную истину о природе. Природа не только рациональна и упорядочение, но и действует в соответствии с неизбежными и неизменными законами. Европейские ученые приступили к исследованию природы как последователи древнегреческих философов. 

Не подлежит сомнению, что многих европейских ученых побудило приступить к изучению природы возрождение греческих идеалов. Но темпы и широкий размах возрождения математики и естествознания были обусловлены и многими другими факторами. Силы, приводящие к крушению одной и вызывающие развитие другой культуры, многообразны и сложны. Процесс зарождения науки изучали многие ученые, и немало трудов по истории посвящено выяснению его причин. Мы ограничимся здесь кратким перечислением факторов, обусловивших тот интеллектуальный переворот, который ныне именуют Возрождением. 

Возникновение класса свободных ремесленников небывало повысило интерес к материалам, способам их обработки и технологии, породив новые научные проблемы. Географические исследования, вызванные необходимостью поиска новых источников сырья и золота, способствовали распространению знаний о неведомых ранее странах и обычаях, бросавших своего рода вызов средневековой европейской культуре. В эпоху Реформации были отвергнуты многие католические доктрины, что усилило споры и даже скептицизм в отношении не только католицизма, но и протестантизма. Значение, которое пуритане придавали труду и полезности знаний, внедрение пороха, поставившее перед европейцами новые задачи военного характера (например, изучение траекторий пушечных ядер{15}), проблемы, связанные с плаванием в открытом море за тысячи миль от берега, — все это создавало благоприятную атмосферу для исследования природы. Изобретение книгопечатания способствовало распространению знаний, за чем, однако, неусыпно следила церковь. И хотя специалисты расходятся во мнениях относительно того, в какой мере те или другие силы повлияли на изучение природы, для наших целей достаточно отметить одновременное влияние многих факторов и тот общепризнанный факт, что научные знания и стремления к их приобретению стали отличительной чертой современной европейской цивилизации. 

В целом европейцы далеко не сразу откликнулись на новые веяния. В эпоху Возрождения для европейцев было более характерно изучение сочинений греческих авторов, чем следование греческим идеалам (см., например, [10]). Но к началу XVI в. провозглашеннные греками цели научного исследования — изучение явлений природы на рациональной основе и поиск лежащего в их основе общего математического плана — проникли в умы европейцев. И тут европейцы столкнулись с серьезной проблемой: поставленные греками цели находились в противоречии с господствовавшей тогда в Европе культурной традицией. В то время как греки верили в математические принципы, лежащие в основе природы, в природу, неизменно и неукоснительно следующую некоторому идеальному плану, мыслители позднего средневековья приписывали и сотворение «плана», и все происходящее в природе христианскому богу. Он был творцом и создателем — и все в природе неукоснительно следовало его плану. Вселенная была творением бога и беспрекословно подчинялась его воле. Математики и представители естественных наук в эпоху Возрождения и на протяжении нескольких последующих столетий были правоверными христианами и полностью принимали эту доктрину. Но греческое учение о математических принципах устройства Вселенной противоречило догматам католической церкви. Каким же образом можно было примирить попытки понять Вселенную, сотворенную богом, с поисками математических законов мироздания? Примирить, казалось бы, непримиримое можно было, только создав новую доктрину, согласно которой христианский бог при сотворении Вселенной руководствовался математическими принципами. Так католическая доктрина, провозглашавшая первостепенной обязанностью постижение божьей воли и его творений, обрела форму поиска математического плана, по которому бог создал Вселенную. И действительно, как мы вскоре убедимся, работы математиков в XVI-XVII вв. и на протяжении большей части XVIII в. носили характер религиозного поиска. Открытие математических законов природы было своего рода откровением, являвшим людям славу и величие божьего творения. Математическое знание (истина о замысле творца) было священным, как любая строка Библии. Разумеется, человек не мог надеяться постичь божественный план с такой же полнотой и ясностью, как сам господь бог, но человек мог по крайней мере со всей кротостью и смирением приблизиться к пониманию замысла творца и, следовательно, к пониманию созданного им мира. 

Можно пойти дальше и утверждать, что математики того времени были уверены в существовании математических законов, лежащих в основе явлений природы, и настойчиво искали эти законы, будучи a priori убеждены в осмысленности своих поисков: ведь бог, создавая Вселенную, не мог не запечатлеть в ней математические законы. Каждое открытие закона природы провозглашалось еще одним подтверждением не столько мудрости исследователя, совершившего открытие, сколько божьей милости. Такие взгляды и убеждения математиков и естествоиспытателей являлись отражением всей интеллектуальной атмосферы, типичной для Европы эпохи Возрождения. Незадолго до того вновь открытые сочинения греческих авторов чем-то противоречили христианской культуре, пропитанной глубокой набожностью; однако духовные вожди эпохи Возрождения, взращенные в христианской традиции и одновременно испытавшие на себе притягательную силу греческой культуры, сумели соединить эти два течения, казалось бы противоречащие одно другому. 

Наиболее ярким примером происходившего в Европе слияния греческого учения о «математизированной» Вселенной с характерной для эпохи Возрождения верой в божественное ее происхождение являются труды Николая Коперника и Иоганна Кеплера. Вплоть до XVI в. единственной надежной и практически применимой астрономической теорией была геоцентрическая система Гиппарха и Птолемея. Она была принята профессиональными астрономами и использовалась при составлении календарей и в навигационных расчетах. К работе над созданием новой астрономической теории приступил Коперник (1473-1543). Астрономию он изучал в Болонском университете, куда поступил в 1497 г. В 1512 г. Коперник приступил к исполнению обязанностей каноника Фромборкского собора в Вармии. Положение члена капитула оставляло Копернику немалый досуг для астрономических наблюдений и обдумывания будущей теории. После многолетних размышлений и наблюдений Коперник создал новую теорию движения планет, изложив ее в своем классическом труде «Об обращениях небесных сфер» [11]. Первый вариант рукописи Коперник закончил еще в 1507 г., но медлил с публикацией, опасаясь противодействия со стороны церкви. Книга Коперника вышла из печати в 1543 г. — в год его смерти. 

В те времена, когда Коперник принялся размышлять на астрономические темы, теория Птолемея претерпела некоторые усовершенствования. К эпициклам, введенным Птолемеем, добавились новые эпициклы, которые понадобились для того, чтобы привести теорию в соответствие с новыми астрономическими данными, собранными главным образом арабами. Во времена Коперника для описания движений Солнца, Луны и пяти известных в тот период планет птолемеевой теории требовалось уже семьдесят семь кругов. Многие астрономы, как о том упоминает Коперник в предисловии к своему сочинению, стали считать теорию Птолемея чрезмерно сложной. 

Изучение достижений греческих ученых привело Коперника к убеждению в существовании единого математического плана, по которому построена Вселенная и который обеспечивает ее гармонию. Эстетические соображения требовали наличия более изящной теории, чем то сложное нагромождение эпициклов, которое содержалось в позднем варианте теории Птолемея. Из прочитанных книг Коперник узнал, что некоторые греческие авторы, главным образом Аристарх Самосский (III в. до н.э.){16}, высказывали предположение, что Солнце покоится, а Земля обращается вокруг него и одновременно поворачивается вокруг своей оси, и он решил выяснить, к чему может привести подобная гипотеза. 

Поворотный момент в размышлениях Коперника наступил тогда, когда он воспользовался для описания движений небесных тел птолемеевой схемой деферента и эпицикла (гл. I), с тем, однако, существенным различием, что в центре каждого деферента находилось Солнце. Земля также стала одной из планет, которая, вращаясь вокруг своей оси, движется по эпициклу. Такое видоизменение позволило Копернику значительно упростить всю схему. В предложенной им гелиоцентрической системе оказалось возможным уменьшить общее число кругов (деферентов и эпициклов) до тридцати четырех вместо семидесяти семи кругов геоцентрической теории. 

Еще более замечательное упрощение ввел Иоганн Кеплер (1571-1630) — одна из самых удивительных фигур в истории науки. Жизнь Кеплера омрачалась множеством личных несчастий и трудностей, вызванных религиозными и политическими событиями. В 1600 г. ему посчастливилось стать ассистентом знаменитого астронома Тихо Браге, производившего многочисленные астрономические наблюдения и систематизировавшего полученные результаты, — это была первая крупная попытка такого рода со времен античности. Наблюдения Тихо Браге и небольшое число наблюдений, произведенных самим Кеплером, оказались для последнего бесценными. После смерти Браге в 1601 г. Кеплер стал его преемником на посту придворного математика австрийского императора Рудольфа II. 

Научные рассуждения Кеплера поражают необузданной фантазией. Подобно Копернику, Кеплер был склонен к мистике и разделял убеждение в том, что мир создан богом в соответствии с простым и исполненным красоты математическим планом. В своем сочинении «Космографическая тайна» (1596) Кеплер утверждал ([12], с. 176), что «сущность трех вещей… а именно: число, размеры и движения небесных орбит» — заключена в гармонии замысла, которым всеблагой и всемогущий бог руководствовался при сотворении мира. Мысль о гармонии мира стала у Кеплера доминантой. Но Кеплер был наделен всеми качествами, которыми, по нашим критериям, должен обладать ученый. Он умел, если было нужно, обуздывать свою неуемную фантазию, подчиняя ее холодному рационализму. Хотя его богатое воображение живо откликалось на любые новые теоретические концепции, обладающие эстетической привлекательностью, Кеплер сознавал, что теория должна находиться в согласии с наблюдениями, а к концу жизни с еще большей отчетливостью понял, что эмпирические данные могут подсказать исследователю фундаментальные принципы науки. Кеплер безжалостно отбрасывал самые привлекательные и многообещающие математические гипотезы, если оказывалось, что они не согласуются с наблюдениями, и именно это невероятное упорство в неприятии даже самых незначительных расхождений между теорией и наблюдениями, с которыми легко смирился бы любой другой ученый того времени, позволило Кеплеру стать творцом новых научных идей, решительно порывающих с многовековой традицией. К тому же Кеплер обладал скромностью, терпением и энергией, т.е. всеми теми качествами, которые позволяют великим людям выполнять возложенную на них нелегкую миссию. 

Предпринятый Кеплером поиск математических законов природы, в существовании которых он был глубоко убежден, поначалу складывался неудачно: не один год ушел на проверку неверных гипотез. В предисловии к «Космографической тайне» Кеплер так формулирует программу своего сочинения: 


Я вознамерился доказать, что всеблагой и всемогущий бог при сотворении нашего движущегося мира и при расположении небесных орбит избрал за основу пять правильных тел, которые со времен Пифагора и Платона и до наших дней снискали столь громкую славу, выбрал число и пропорции небесных орбит, а также отношения между движениями в соответствии с природой правильных тел.{17}
([12], с. 176.) 


Однако попытка раскрыть «тайну мироздания» на этой основе оказалась безуспешной: выводы теории, построенной на свойствах пяти правильных тел, расходились с результатами наблюдений, и, перепробовав множество вариантов в надежде спасти полюбившуюся ему идею, Кеплер был вынужден отказаться от намеченного подхода. 

Зато необычайным успехом увенчались более поздние попытки Кеплера найти в природе гармонические математические отношения. Наиболее известные и значительные из полученных им результатов известны ныне под названием три закона Кеплера (законы движения планет). Первые два закона были опубликованы Кеплером в сочинении, вышедшем в 1609 г. под весьма длинным названием, так что обычно при ссылках на эту работу приводят либо начало названия — «Новая астрономия», либо его заключительную часть — «Комментарии о движении планеты Марс». Особенно замечателен первый закон Кеплера, ибо, сформулировав его, Кеплер порвал с двухтысячелетней традицией, согласно которой небесные тела должны обязательно двигаться по кругам или сферам. Кеплер отказался от деферента и нескольких эпициклов, к которым прибегали при описании движения любой планеты и Птолемей, и Коперник, и показал, что для описания движения планеты достаточно указать один-единственный эллипс. Первый закон Кеплера гласит: каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце (рис. 2.1). Другой фокус любой эллиптической орбиты представляет собой «пустую» математическую точку, в которой ничего не находится. Первый закон Кеплера имеет первостепенное значение, поскольку позволяет легко и просто представить орбиты планет. Разумеется, Кеплер, как и Коперник, добавляет, что, описывая свою эллиптическую траекторию, Земля одновременно вращается и вокруг своей оси.


Рис. 2.1. Первый закон Кеплера. Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце.


Но чтобы быть полезной, астрономии следует идти гораздо дальше: она должна уметь предсказывать положения планет. Если мы обнаружим, что какая-то планета в момент наблюдения находится, скажем, в точке P (рис. 2.1), то нам может понадобиться узнать, когда она будет находиться в каком-либо другом положении, например в точке солнцестояния или равноденствия. А чтобы ответить на этот вопрос, необходимо знать, с какой скоростью планета движется по своей траектории. 

Пытаясь найти скорость планеты, Кеплер сделал еще один решающий шаг. Коперник и греческие мыслители считали скорости планет постоянными. Планета у них двигалась по эпициклу равномерно, проходя равные дуги окружности за равные промежутки времени, а центр каждого эпицикла перемещался с постоянной скоростью по другому эпициклу или по деференту. Из наблюдений Кеплер знал, что планета движется по эллиптической орбите с изменяющейся скоростью, и в результате долгих и трудных поисков нашел правильный закон изменения скоростей. Кеплер открыл, что если планета, двигаясь по орбите, перемещается из точки P в точку Q (рис. 2.2), например, за один месяц, то на перемещение из точки P\' в точку Q\' ей также потребуется один месяц при условии, что площадь сектора PSQ равна площади сектора P\'SQ\'. Так как точка P расположена ближе к Солнцу, чем точка P\', то дуга PQ должна быть длиннее дуги P\'Q\', если площади секторов PSQ и P\'SQ\' равны. Следовательно, планеты движутся по орбитам с переменной скоростью: чем ближе к Солнцу, тем быстрее.


Рис. 2.2. Второй закон Кеплера: если  дуги PQ и P\'Q\' орбиты планета проходит за одно и то же время, то площади секторов PSQ и P\'SQ\' равны.


Открыв второй закон (равенства секториальных скоростей), Кеплер был необычайно рад. Хотя пользоваться вторым законом не так просто, как законом постоянства скоростей, совершенное открытие подкрепило глубочайшую убежденность Кеплера в том, что господь бог, создавая Вселенную, руководствовался математическими принципами. Бог действовал чуть более изощренно, чем предполагали предшественники Кеплера, но теперь со всей очевидностью было установлено, что скорости движения планет по орбитам подчиняются математическому закону. 

Но еще одна важная проблема по-прежнему оставалась нерешенной: по какому закону изменяются расстояния, отделяющие планеты от Солнца? Проблема осложнялась тем, что расстояние от планеты до Солнца не постоянно. И Кеплер принялся за поиск нового принципа, учитывающего зависимость расстояния от времени. По его глубокому убеждению бог сотворил мир не только на основе математических принципов, но и гармонично, причем слово «гармония» Кеплер понимал в самом прямом смысле. Так, он верил в существование музыки сфер, образующей гармонические созвучия, которые, хотя и невоспринимаемы на слух, но тем не менее их можно обнаружить при надлежащем «переводе» особенностей движения планет на ноты. Следуя этой путеводной идее и основываясь на поистине удивительной комбинации аргументов музыкального и математического характера, Кеплер устанавливает, что если T — период обращения планеты вокруг Солнца, a D — среднее расстояние от планеты до Солнца, то T² = kD³, где k — постоянная, одинаковая для всех планет. Это утверждение и есть третий закон Кеплера для движения планет, торжественно провозглашенный им в сочинении «Гармония мира» (1619). 

Сформулировав третий закон, Кеплер разражается ликующим хвалебным гимном богу-творцу:


«Вы, Солнце, Луна и планеты, восславьте его на своем неизъяснимом языке! Вы, небесные гармонии и все, кто постигает разумом его чудесные творения, воздайте ему хвалу! И ты, душа моя, восхвали создателя! Им все сотворено, и в нем все существует. Все лучшее из того, что мы знаем, заключено в нем и в нашей жалкой науке». 


О том, с какой силой Коперник и Кеплер верили, что бог сотворил мир гармоничным и простым, можно судить по тем возражениям, с которыми им приходилось сталкиваться. Даже по теории Птолемея все остальные планеты, кроме Земли, находились в движении, и это объяснялось особо легкой и потому легко приводимой в движение субстанцией, из которой якобы сотворены планеты. Но что могло привести в движение тяжелую Землю? Ни Коперник, ни Кеплер не могли ответить на этот вопрос. Не принимая идею о суточном вращении Земли вокруг собственной оси, противники ее ссылались на такой, казалось бы, очевидный факт: тела не могли бы удержаться на поверхности вращающейся Земли и, сорвавшись с нее, улетели бы в космическое пространство, подобно тому как срываются предметы с вращающейся платформы. Против столь «неопровержимого» аргумента невозможно было возразить! Весьма неубедительным был ответ Коперника и на другой довод против суточного вращения Земли: вращающаяся Земля должна просто-напросто разлететься на части. На это Коперник возражал, что вращение Земли естественно и потому не может разрушить нашу планету. Должно быть, ощущая шаткость этого аргумента, Коперник, переходя в «контрнаступление», спрашивал, почему в таком случае небо не разлетается на части в результате очень быстрого суточного вращения, предусматриваемого геоцентрической теорией. Еще один довод против суточного вращения Земли состоял в следующем: если бы Земля вращалась с запада на восток, то любой предмет, подброшенный в воздух, отклонялся бы к западу, так как Земля под ним успевала бы поворачиваться. А если бы Земля к тому же обращалась вокруг Солнца, то более легкие предметы на Земле отставали бы от более тяжелых, поскольку скорости падающих предметов, как утверждали греки и продолжали считать ученые эпохи Возрождения, пропорциональны их весу. На это Коперник возражал, что воздух обладает земной природой и поэтому движется в полном соответствии с движением Земли. Суть всех этих возражений против суточного вращения Земли и ее обращения вокруг Солнца сводилась к тому, что движение Земли не вписывалось в рамки общепринятой во времена Коперника и Кеплера теории движения, предложенной еще Аристотелем.

Ряд научных возражений против гелиоцентрической теории выдвигала и сама астрономия. Наиболее серьезное возражение вызывало то, что в гелиоцентрической теории звезды считались неподвижными. Но за полгода Земля перемещалась в пространстве на расстояние около 300 млн. км. Следовательно, если наблюдатель заметит направление на какую-нибудь звезду, то спустя полгода он должен обнаружить, что это направление изменилось. Во времена же Коперника и Кеплера такого рода изменения в направлениях на звезды обнаружены не были. На это возражение Коперник отвечал, что звезды расположены слишком далеко от Земли и поэтому направления на звезды изменяются незначительно. Его ответ не удовлетворил критиков, заметивших, что если бы звезды были так далеки, как утверждает Коперник, то их нельзя было бы наблюдать. Тем не менее ответ Коперника был правильным. Направление на ближайшую звезду изменяется за полгода всего лишь на 0,31\", и впервые это было обнаружено в 1838 г. немецким астрономом Фридрихом Вильгельмом Бесселем, имевшим в своем распоряжении хороший телескоп. 

Сторонники геоцентрической теории спрашивали также, почему мы не ощущаем движения Земли, если та обращается вокруг Солнца со скоростью около 30 км/с, а скорость вращения вокруг собственной оси достигает на экваторе величины около 0,8 км/с? К тому же наши глаза убеждают нас в том, что Солнце обращается вокруг Земли. Для современников Кеплера ссылка на то, что мы не ощущаем движения с огромными скоростями, в котором сами участвуем, если верить новой астрономии, была неоспоримым контрдоводом. Все научные возражения против движения Земли были достаточно весомыми — от них нельзя было отмахнуться, как от брюзжания упрямцев, не желающих признать очевидную истину. 

Коперник и Кеплер были людьми глубоко религиозными, и все же они оба дерзнули отказаться от одной из основных догм христианства: человек есть центр Вселенной и средоточие всех помыслов божьих. Гелиоцентрическая теория, поместив в центре Вселенной Солнце, подорвала столь успокоительную догму церкви. Человек стал одним из множества «странников», влекомых Землей в холодных небесных просторах. Утверждение церковников о том, будто человек рожден для того, чтобы прожить славную жизнь и обрести райское блаженство после смерти, стало казаться весьма сомнительным. Утратило правдоподобие и утверждение о том, будто человек является объектом особого внимания со стороны господа бога. Коперник подорвал тезис о том, будто бы Земля является центром Вселенной, указав, что размеры Вселенной огромны и поэтому бессмысленно говорить о каком бы то ни было центре Вселенной. Но в глазах его современников это рассуждение вовсе не выглядело убедительным. 

И все же у Коперника и Кеплера был аргумент, перевешивавший все возражения против гелиоцентрической системы мира: им удалось построить более простую в математическом отношении, более гармоничную и эстетически более привлекательную теорию. Но если новая теория превосходит в математическом отношении старую, то для всякого, кто считал, что бог сотворил мир, используя при этом лучшую из теорий, любые сомнения в правильности гелиоцентрической теории должны были отпасть. 

И в сочинении Коперника «О обращениях небесных сфер», и в многочисленных трудах Кеплера имеется немало высказываний, убедительно свидетельствующих, что Коперник и Кеплер были уверены в правильности построенной ими теории. Например, у Кеплера мы находим следующий отзыв о построенной им теории движения планет по эллиптическим орбитам: «Я клятвенно подтверждаю ее правильность и созерцаю ее красоту с неизъяснимым, переполняющим душу восторгом». Само название кеплеровского сочинения 1619 г. — «Гармония мира» и бесконечные дифирамбы богу, исполненные восхищения перед величием божественного математического плана, отражают убежденность Кеплера в правильности найденного им закона. 

Сначала новая теория получила поддержку лишь у математиков. И это не было неожиданным. Только математики были убеждены в том, что Вселенная построена на простых математических принципах, только у математиков хватило интеллектуальной смелости, чтобы преступить через широко распространенные философские, религиозные и научные контраргументы и по достоинству оценить математические преимущества новой, революционной астрономии. Нужно было обладать неколебимой уверенностью в значимости математических принципов, на которых зиждется Вселенная, чтобы отстаивать новую теорию перед лицом сильнейшей оппозиции. 

Однако затем гелиоцентрическая теория получила неожиданное подкрепление. В начале XVII в. был изобретен телескоп, и Галилей, прослышав об этом изобретении, сам построил телескоп и приступил к наблюдениям неба. Результаты наблюдений повергли в изумление современников Галилея. Он обнаружил у Юпитера четыре луны (в современные телескопы мы можем наблюдать 12 спутников Юпитера). Это открытие означало, что у движущейся планеты могут быть естественные спутники. Галилей наблюдал неровности и горы на поверхности Луны, пятна на Солнце, странные выступы по обе стороны экватора на Сатурне (сейчас мы знаем, что за выступы Галилей принял кольца Сатурна). Эти наблюдения явились еще одним свидетельством того, что планеты схожи с Землей и заведомо не являются идеальными телами, состоящими, как полагали греки и средневековые мыслители, из какого-то особого эфирного вещества. Млечный Путь, ранее казавшийся широкой светлой полосой, при наблюдении в телескоп «распался» на мириады звезд. В небесах были рассеяны множества других солнц и, возможно, другие планетные системы. Коперник предсказывал, что если бы человеческое зрение было более острым, то человек мог бы наблюдать фазы Венеры и Меркурия так же, как он может невооруженным глазом наблюдать различные фазы Луны. С помощью телескопа Галилей обнаружил фазы Венеры. Произведенные наблюдения убедили Галилея в правильности теории Коперника, и в своем классическом труде «Диалог о двух главнейших системах мира — птолемеевой и коперниковой» (1632) он решительно выступает в защиту новой теории. Теория Коперника завоевала признание еще и потому, что позволяла астрономам, географам и мореплавателям упростить вычисления. К середине XVII в. научный мир принял гелиоцентрическую систему. Уверенность в истинности математических законов природы возросла неизмеримо. 

Отстаивать тезисы об обращении Земли вокруг Солнца и о суточном вращении Земли вокруг своей оси в интеллектуальной атмосфере начала XVII в. было отнюдь не просто. Всем известно о процессе, который инквизиция устроила над Галилеем. Набожный католик Паскаль обнаружил свои сочинения в Индексе запрещенных книг за то, что в «Письмах к провинциалу» опрометчиво выразил порицание иезуитам: 


Напрасно также было с вашей стороны испрашивать в Риме декрет об осуждении мнения Галилея относительно движения Земли. Не этим будет доказано, что она стоит неподвижно; если бы имелись несомненные наблюдения, которые доказали бы, что именно она-то и вращается, то все люди в мире не помешали бы ей — вращаться, и себе — вращаться вместе с нею.
([13], с. 336.) 


Коперник и Кеплер, не усомнившись, приняли синтез греческого учения о природе, основанной на математических принципах, и католического догмата о боге — творце и создателе Вселенной. Рене Декарт (1596-1650) вознамерился развить новую философию науки систематически, ясно и обоснованно. Декарт прежде всего был философом, во-вторых, он занимался проблемами космологии, в-третьих, был физиком, в-четвертых, — биологом и, только в-пятых, — математиком, хотя он и считается одним из основных творцов новой математики. Философия Декарта имеет весьма важное значение, поскольку именно она оказала решающее влияние на формирование самого стиля мышления, характерного для XVII в., и на таких гигантов, как Ньютон и Лейбниц.{18} Свою главную цель Декарт видел в нахождении способа, позволяющего устанавливать истину в любой области, и посвятил ей основной труд — «Рассуждение о методе, чтобы хорошо направлять свой разум и отыскивать истину в науках» (1637) ([14], с. 5-66). 

Создавая свою философию, Декарт начинает с того, что принимает лишь те факты, которые представляются ему несомненными. Каким же образом удается ему провести различие между приемлемыми и неприемлемыми фактами? В своих «Правилах для руководства ума» (написанных в 1628 г., но опубликованных лишь посмертно) Декарт утверждает: «В предметах нашего исследования надлежит отыскивать не то, что о них думают другие или что мы предполагаем о них сами, но то, что мы ясно и очевидно можем усмотреть или надежно дедуцировать, ибо знание не может быть достигнуто иначе» ([15], с. 55). Человеческий разум непосредственно, силой интуиции, воспринимает основные, ясные и очевидные истины, а вывод следствий составляет сущность философии знания. Таким образом, по Декарту, существуют лишь два акта мышления, позволяющих нам получать новое знание без опасения впасть в ошибку: интуиция и дедукция. Однако в своих «Правилах для руководства ума» Декарт отдает предпочтение интуиции: 


Под интуицией я разумею не веру в шаткое свидетельство чувств и не обманчивое суждение беспорядочного воображения, но понятие ясного и внимательного ума, настолько простое и отчетливое, что оно не оставляет никакого сомнения в том, что мы мыслим, или, что одно и то же, прочное понятие ясного и внимательного ума, порождаемое лишь естественным светом разума и благодаря своей простоте более достоверное, чем сама дедукция, хотя последняя и не может быть плохо построена человеком.
([15], с. 57)


В «Рассуждениях о методе» Декарт отстаивал существование разума и достоверного, надежного знания, которым разум обладает. Опираясь на первичную интуицию, Декарт пытается в «Размышлениях о методе» доказать существование бога. Затем с помощью рассуждений, явно образующих порочный круг, Декарт убеждает себя в том, что наша интуиция и метод дедукции должны приводить к верным заключениям, поскольку бог не стал бы вводить нас в заблуждение.{19} «Под словом «бог», — утверждает Декарт в «Метафизических размышлениях» (1641), — я подразумеваю субстанцию бесконечную, вечную, неизменную, независимую, всемогущую, создавшую и породившую меня и все остальные существующие вещи» ([16], с. 363). 

Что же касается собственно математических истин, то в «Метафизических размышлениях» Декарт говорит следующее: «Я считал наиболее достоверными те истины, которые ясно воспринимал как относящиеся к фигурам, числам и другим материям, принадлежащим арифметике, геометрии и вообще чистой и абстрактной математике… Только математикам дано достичь несомненности и ясности, ибо они исходят из того, что наиболее легко и просто». Источником математических понятий и истин являются не ощущения. Они носят врожденный характер и присущи нашему разуму от рождения; наделяет же ими наш разум сам бог. Чувственное восприятие материального треугольника не может помочь разуму составить представление об идеальном треугольнике. Для разума вполне очевидно, что сумма углов треугольника должна быть равна 180°. 

Затем Декарт обращается к физическому миру. Можно не сомневаться, утверждает он, в том, что интуитивные представления, ясно сознаваемые разумом, и получаемые из них дедуктивные заключения применимы к физическому миру. Декарту было ясно, что бог при сотворении мира руководствовался математическими принципами. В «Рассуждениях о методе» он говорит о существовании «законов, установленных богом в природе, и понятий, запечатленных им в наших душах. Коль скоро мы достаточно поразмыслим над ними, то не станем более сомневаться в их проявлениях во всем, что существует и происходит в мире».

Далее Декарт утверждает, что законы природы неизменны, так как составляют неотъемлемую часть предустановленного богом математического плана. Еще до выхода в свет «Рассуждения о методе» Декарт в письме от 15 апреля 1630 г., адресованном отцу Марену Мерсенну, теологу и близкому другу математиков{20}, утверждал: 


Не бойтесь всюду провозглашать, что бог установил эти законы в природе так же, как суверен устанавливает законы в своем королевстве… И подобно тому как король обретает тем большее величие, чем меньше знают его подданные, мы считаем величие бога непостижимым и не мыслим себя без небесного царя. Кто-нибудь возразит Вам, заметив, что если бог установил эти истины, то он же может изменить их, как изменяет король свои законы. На подобное возражение следует ответить, что такое действительно возможно, если может изменяться божья воля. Я не считаю эти истины вечными и неизменными по тем же причинам, по которым сужу о боге.


В приведенном отрывке из письма Декарт отрицает распространенное в его времена мнение о том, что бог непрестанно вмешивается во все, что происходит в природе.{21}

 Для изучения физического мира Декарт хотел бы использовать только математику, ибо, по его собственному признанию в «Рассуждении о методе», «из всех, кто когда-либо занимался поиском истины в науках, только математикам удалось получить некие доказательства, т.е. указать причины, очевидные и достоверные». По мнению Декарта, одной лишь математики было бы вполне достаточно для изучения физического мира. В «Принципах философии» (1644) он пишет: 


Я прямо заявляю, что мне неизвестна иная материя телесных вещей, как только всячески делимая, могущая иметь фигуру и движимая, иначе говоря, только та, которую геометры обозначают названием величины и принимают за объект своих доказательств; я ничего в этой материи не рассматриваю, кроме ее делений, фигур и движения{22}, и, наконец, ничего не сочту достоверным относительно нее, что не будет выведено с очевидностью, равняющейся математическому доказательству. И так как этим путем, как обнаружится из последующего, могут быть объяснены все явления природы, то, мне думается, не следует в физике принимать других начал, кроме вышеизложенных, да и нет оснований желать их.
([16], с. 504-505.) 


В «Принципах философии» Декарт прямо называет математику сущностью всех наук. По словам Декарта, он «не приемлет и не надеется найти в физике каких-либо принципов, отличных от тех, которые существуют в Геометрии или в Абстрактной Математике, потому, что они позволяют объяснить все явления природы и привести доказательства, не оставляющие сомнений». Объективный мир, по Декарту, есть не что иное, как материализованное пространство или воплощенная геометрия. Его свойства поэтому должны выводиться из первых принципов геометрии (термин «геометрия» Декарт и его современники употребляли практически как синоним математики, так как геометрия тогда составляла значительную часть всей математики).{23} 

Размышлял Декарт и над вопросом, почему мир должен быть доступен анализу математическими средствами. По мнению Декарта, наиболее фундаментальными и надежными свойствами материи являются форма, протяженность и движение в пространстве и во времени. Все эти свойства поддаются математическому описанию. Так как форма сводится к протяженности, Декарт утверждал: «Дайте мне протяженность и движение, и я построю Вселенную». Все физические явления, добавляет Декарт, — результат механического действия молекул, приводимых в движение силами. Силы также подчиняются неизменным математическим законам. 

Каким образом объяснял Декарт вкусы, запахи, краски, тембр, высоту и громкость звуков, если внешний мир, по его воззрениям, состоял лишь из движущейся материи? В этих вопросах Декарт принял точку зрения греков, а именно учение Демокрита о первичных и вторичных качествах. Первичные качества — материя и движение — существуют в физическом мире; вторичные качества — вкус, запах, цвет, тепло, приятность или резкость звука — не более чем результат воздействия первичных качеств на органы чувств человека, осуществляемого бомбардировкой этих органов внешними атомами. Реальный мир — совокупность допускающих математическое описание движений предметов в пространстве и во времени, а вся Вселенная в целом представляет собой огромную гармоничную машину, построенную на математической основе. Естественные науки (а в действительности любая дисциплина, пытающаяся установить порядок и меру) подчинены математике. Правило IV декартовских «Правил для руководства ума» гласит: 


К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно несущественно, будут ли это числа, фигуры, звезды, звуки или что-нибудь другое, в чем отыскивается эта мера, таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая все относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем всеобщей математики, ибо она содержит в себе все то, благодаря чему другие науки называются частями математики. Насколько она превосходит своей легкостью и доступностью все эти подчиненные ей науки, видно из того, что она простирается на предметы всех этих наук, так же как и многих других, и если она заключает в себе некоторые трудности, то такие же трудности содержатся и в последних, имеющих сверх того и другие…
([15], с. 68.) 


Вклад Декарта собственно в математику сводится не к открытию новых истин, а к введению мощного метода, который мы ныне называем аналитической геометрией (гл. V).{24} Появление аналитической геометрии технически революционизировало методологию математики. 

Декарт внес заметный вклад и в естествознание, хотя по величине и значимости он несравним с достижениями Коперника, Кеплера или Ньютона. Теория вихрей Декарта (гл. III) была ведущей космологической теорией XVII в. Декарт стал основоположником философии механицизма, согласно которой все явления природы, в том числе все отправления человеческого тела (но не душа), сводятся к движениям частиц, подчиняющимся законам механики. В самой механике Декарт сформулировал закон инерции, ныне известный как первый закон Ньютона: если на тело не действуют никакие силы и оно находится в состоянии покоя, то оно будет и дальше пребывать в состоянии покоя, а если тело движется, то оно будет продолжать прямолинейно двигаться с постоянной скоростью. 

Еще одним увлечением Декарта была оптика (расчет линз). Часть «Геометрии» Декарта и вся «Диоптрика», задуманная им как приложение к «Рассуждению о методе», посвящены оптике. Вместе с Виллебродом Снеллиусом Декарт разделяет честь открытия закона преломления света, описывающего, что происходит со светом при резком изменении свойств среды, в которой он распространяется, например при переходе из воздуха в стекло или воду. Начало математизации оптики положили еще греки, но первым, кто систематически изложил оптику как математический предмет, был Декарт. Он внес также важный вклад в географию, метеорологию, ботанику, анатомию (он собственноручно производил вскрытия трупов животных), зоологию, психологию и даже медицину. 

Хотя картезианская философия, т.е. философские и естественнонаучные взгляды Декарта и его последователей, в чем-то и противоречила учению Аристотеля и средневековой схоластике, в одном важном отношении Декарт все же был схоластом: все утверждения о природе сущего и реальности он строил на основе чистого разума. Декарт верил в априорные истины и в то, что разум своей силой может выработать полное знание обо всем. Так, Декарт на основе априорных рассуждений сформулировал законы движения. (Работая над биологическими и некоторыми другими проблемами, Декарт в действительности производил эксперименты и делал важные выводы из своих наблюдений. Но даже сводя явления природы к их чисто механическим проявлениям, Декарт многое сделал, чтобы избавить науку от мистицизма и оккультизма.) 

Свою лепту в общее убеждение в истинности математики и математического фундамента естествознания внес и великий математик XVII в. (хотя и не столь влиятельный философ, как Декарт) Блез Паскаль (1623-1662). В отличие от Декарта, говорившего о самоочевидных для разума интуитивных понятиях, Паскаль говорил об истинах, воспринимаемых душой. Истина должна быть либо «самоочевидной» для души, либо логическим следствием подобных истин. В своих «Мыслях» Паскаль сообщает нам следующее: 


Наше знание первых принципов, таких, как пространство, время, движение, число, достоверно, как всякое знание, получаемое нами путем умозаключений. В действительности же это знание дает нам душа, и инстинкт есть необходимый фундамент, на котором наш разум строит свои заключения. Требовать от души доказательства первых принципов, прежде чем согласиться принять их, для разума столь же бессмысленно и абсурдно как для души требовать интуитивного представления о всех утверждениях, доказываемых разумом, прежде чем принять их. 


Для Паскаля наука — это исследование сотворенного богом мира. Заниматься наукой ради удовольствия дурно. Видеть конечную цель науки в удовольствии означает совращать исследование с истинного пути, ибо при таком подходе тот, кто занимается наукой, обретает «голод или тягу к учению, ненасытную жажду знаний».{25} «Такое занятие наукой проистекает из априорного взгляда на себя как на центр всего, а не из стремления искать во всех окружающих явлениях природы присутствие бога и его славу». 

Среди выдающихся мыслителей, стоявших у колыбели современной математики и естествознания, Галилео Галилей (1564-1642) занимает столь же почетное место, как и Декарт. Разумеется, Галилей также разделял убеждение, что природа сотворена по математическому плану и что творцом плана был сам господь бог. Широкую известность получил следующий отрывок из небольшого сочинения Галилея «Пробирных дел мастер» (1623): 


Философия природы написана в величайшей книге, которая всегда открыта перед нашими глазами, — я разумею Вселенную, но понять ее сможет лишь тот, кто сначала выучит язык и постигнет письмена, которыми она начертана. А написана эта книга на языке математики, и письмена ее — треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без коих нельзя понять по-человечески ее слова: без них — тщетное кружение в темном лабиринте.{26}


Итак, природа проста и упорядоченна, и все происходящее в ней закономерно и необходимо. Природа действует в соответствии с совершенными и неизменными математическими законами. Источником всего рационального в природе является божественный разум. Бог вложил в мир строгую математическую необходимость, которую люди постигают лишь с большим трудом, хотя их разум устроен по образу и подобию божественного разума. Следовательно, математическое знание не только представляет собой абсолютную истину, но и священно, как любая строка Священного писания. Исследование природы — занятие столь же благочестивое, как и изучение Библии. «В действиях Природы господь бог является нам не менее достойным восхищения образом, чем в божественных стихах Писания». 

В «Диалоге о двух главнейших системах мира — птолемеевой и коперниковой» (1632) Галилей утверждал, что в математике человек достигает вершины всякого знания, ничуть не уступающего тому знанию, которое является уделом божественного разума. Конечно, божественный разум знает и воспринимает бесконечно больше математических истин, чем человек, но если говорить о достоверности, то те немногие истины, которые доступны человеческому разуму, известны человеку с такой же полнотой, как и богу. 

Хотя Галилей был профессором математики и придворным математиком, его главным вкладом в европейскую культуру стали не математические теоремы, а те многочисленные усовершенствования, которые он внес в научный метод. Наиболее значительным из них явился его отказ от поисков физического объяснения, которое Аристотель считал истинной целью естествознания, и переход к поиску математического описания. Различие между этими двумя принципиальными методологическими установками отчетливо видно на следующем примере. Брошенное тело падает на землю, причем падение происходит со все возрастающей скоростью. Аристотель и следовавшие его методологии средневековые ученые пытались найти причину падения тела, предположительно механическую. Вместо поиска причины Галилей описал свободное падение математическим законом, имеющим в современных обозначениях вид s = 4,9t², где s — расстояние (в метрах), которое тело в свободном падении пролетает за t секунд. Эта формула ничего не говорит о том, почему тело падает, и, казалось бы, дает гораздо меньше того, что хотелось бы знать о явлении. Но Галилей был уверен, что знание природы, которого мы стремимся достичь, должно быть описательным. В своей книге «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки» Галилей устами своего героя Сальвиати утверждал: 


Сейчас неподходящее время для занятий вопросом о причинах ускорения в естественном движении, по поводу которого различными философами было высказано столько различных мнений: одни приписывали его приближению к центру, другие — постепенному частичному уменьшению сопротивления среды, третьи — некоторому воздействию окружающей среды, которая смыкается позади падающего тела и оказывает на него давление, как бы постоянно его подталкивая; все эти предположения и еще многие другие следовало бы рассмотреть, что, однако, принесло бы мало пользы. Сейчас для нашего автора будет достаточно, если мы рассмотрим, как он исследует и излагает свойства ускоренного движения (какова бы ни была причина ускорения), приняв, что моменты скорости, начиная с перехода от состояния покоя, идут возрастая в том же простейшем отношении, как и время.
([17], с. 243-244.)


Итак, по Галилею, содержательные научные вопросы следовало отделить от поиска «причины причин» и отказаться от чисто умозрительных рассуждений о физических предпосылках явлений. Галилей мог бы сформулировать свою идею в виде следующей максимы для ученых: ваше дело не рассуждать — почему, а устанавливать — сколько (т.е. находить количественные соотношения). 

Весьма вероятно, что первая реакция на этот пункт намеченной Галилеем программы даже в наши дни была бы отрицательной. Описание явлений на языке формул не более чем первый шаг исследования, возразили критики. Истинная функция науки в действительности была осознана последователями Аристотеля и состоит в объяснении причин, по которым происходит явление. Даже Декарт возражал против установки Галилея на поиск описательных формул. «Все, что Галилей говорит о телах, свободно падающих в пространстве, — утверждал Декарт, — лишено всякого основания, так как сначала ему надлежало бы установить природу тяжести». Кроме того, продолжал Декарт, Галилею следовало бы поразмыслить о первопричинах наблюдаемого явления. Но, как мы теперь знаем, принятое Галилеем решение ограничиться описанием явления было наиболее глубоким и наиболее плодотворным новшеством, когда-либо внесенным в методологию естествознания. Как станет ясно из дальнейшего, значение этого нововведения состояло в том, что оно более четко и определенно, чем ранее, поставило естествознание под эгиду математики. 

Еще один методологический принцип, выдвинутый Галилеем, состоял в том, что любая область естествознания должна быть построена по образу и подобию математики. Здесь необходимо выделить два существенных момента. Математика начинает с аксиом, т.е. самоочевидных, ясных истин. Из них с помощью дедуктивного вывода она устанавливает новые истины. Следовательно, любая область естественных наук также должна начинать с аксиом, или принципов, и строиться дедуктивно. Кроме того, из исходных аксиом надлежит извлекать как можно больше следствий. Такой же план, по существу, был предложен еще Аристотелем, видевшим конечную цель в дедуктивной структуре естественных наук, образцом для которых должна служить математика.

Но в том, что касается способа получения первых принципов, Галилей решительно отошел от греков, мыслителей средневековья и Декарта. Предшественники Галилея и Декарт усматривали источник первых принципов в человеческом разуме. Стоит лишь разуму поразмыслить над любым кругом явлений, как он тотчас же постигнет фундаментальные истины. При этом в качестве примера, подтверждающего всесилие человеческого разума, обычно ссылались на математику. Такие аксиомы, как «Если к равным [частям] прибавить равные, то получатся равные же [части]» или «Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну», якобы самопроизвольно возникают, когда мы начинаем размышлять о числах или о фигурах, — и они считались неоспоримыми истинами. Греки  установили несколько физических принципов, которые в их глазах были столь же привлекательными, как математические аксиомы. Так, они считали вполне очевидным, что все тела во Вселенной должны занимать определенное (естественное) место. Не менее очевидным казалось и то, что состояние покоя более согласуется с сутью вещей, чем состояние движения. Не подлежало сомнению и утверждение о том, что, для того чтобы привести тело в состояние движения и далее поддерживать это состояние, к нему необходимо приложить определенную силу. Вера в то, что человеческий разум способен сам по себе выработать фундаментальные принципы, не отрицает пользу наблюдений для установления первых принципов. Но наблюдения как бы помогают разуму припомнить первые принципы, подобно тому как при взгляде на знакомое лицо в памяти всплывают различные сведения о нем. 

Все эти ученые, по мнению Галилея, сначала решали, как должен был бы функционировать мир в соответствии с предустановленными первыми принципами. Галилей же считал, что в физике в отличие от математики источником первых принципов должны быть эксперимент и анализ его результатов. Чтобы получать правильные и фундаментальные первые принципы, физику надлежит с большим вниманием прислушиваться к голосу природы, а не к тому, чему отдает предпочтение разум. Галилей открыто критиковал естествоиспытателей и философов, принимавших те или иные «законы» только потому, что те согласовывались с их априорными представлениями относительно того, как должна была бы вести себя природа. Природа, утверждал Галилей, не сотворила сначала мозг человека, а затем мир так, чтобы он был воспринимаем человеческим разумом. В адрес средневековых схоластов, вторивших Аристотелю и занимавшихся толкованием различных суждений в его сочинениях, Галилей язвительно заметил, что знание берется из наблюдений, а не из книг. Бесполезно спорить об Аристотеле. Те, кого он называл бумажными учеными, хотели бы уподобить естественнонаучные исследования изучению «Энеиды» или «Одиссеи» и превратить науку о природе в свод текстов. «Перед законом природы бессильны любые авторитеты». 

Некоторые ученые эпохи Возрождения и современник Галилея Фрэнсис Бэкон (1561-1626) также пришли к выводу о необходимости экспериментального подхода к изучению природы. В этом пункте своей программы Галилей не намного опередил других.{27} Тем не менее Декарт не смог по достоинству оценить мудрость галилеевского подхода с его упором на эксперимент. Наши органы чувств, утверждал Декарт, способны лишь вводить в заблуждение. Только разум может развеять туман подобных заблуждений и постичь истину. Из врожденных первых принципов, постигаемых разумом, мы можем выводить явления природы и понимать их. В действительности, как мы уже упоминали, Декарт в своей научной работе широко использовал эксперимент и требовал, чтобы теория находилась в согласии с экспериментом, однако в своей философии он продолжал связывать истины исключительно разумом. 

Мнение Галилея о том, что один лишь разум не может служить источником правильных физических представлений, разделяли лишь немногие физики. Так, взгляды Декарта критиковал Христиан Гюйгенс. С критикой чистого рационализма выступали и английские физики. Обращаясь к членам Королевского общества, Роберт Гук (1635-1705) заявил: «Имея перед глазами так много фатальных примеров ошибок и заблуждений, совершенных большей частью человечества, когда она опиралась только на силу человеческого разума, мы начали теперь проверять все гипотезы свидетельством органов чувств». 

Разумеется, Галилей понимал, что эксперимент может привести к неправильному принципу и что дедуктивный вывод из неверного принципа порождал бы ошибочные заключения. Он предлагал и, по-видимому, использовал эксперименты для проверки своих умозаключений и для отбора первых принципов. Но вопрос о том, сколь широко экспериментировал сам Галилей, остается открытым. Некоторые из предложенных им экспериментов иногда называют «мысленными»: Галилей лишь мысленно представлял, что должно получиться в результате такого эксперимента. Тем не менее выдвинутый им принцип, согласно которому физические принципы должны опираться на эксперимент и наблюдение, был революционным и имел решающее значение. Сам Галилей не сомневался в том, что некоторые из принципов, использованных богом при сотворении мира, могут быть постигнуты чистым разумом, но, проложив путь эксперименту, Галилей одновременно заронил и сомнения. Если источником основных принципов естествознания должен быть эксперимент, то не должен ли эксперимент служить источником и математических аксиом? Этот вопрос не беспокоил ни самого Галилея, ни его преемников вплоть до начала XIX в. Математика продолжала наслаждаться своим привилегированным положением. 

Свою естественнонаучную деятельность Галилей сосредоточил на проблемах материи и движения. Он независимо от Декарта установил принцип инерции, ныне известный как первый закон движения Ньютона. Галилею удалось также получить законы движения поднимающихся вертикально вверх и падающих тел, движения тел по наклонной плоскости, а также тел, брошенных под некоторым углом к горизонту. Галилей показал, что тело, брошенное под углом к горизонту, движется по параболе. Резюмируя, можно сказать, что Галилей исследовал законы движения земных тел. И хотя, как во всяком большом открытии, у Галилея заведомо были предшественники, никто из них не сознавал с такой ясностью идеи и принципы, которым должно руководствоваться научное исследование, и не проводил эти принципы в жизнь столь просто и эффективно. 

Будучи глубоко новаторской по духу, философия и методология науки Галилея подготовила почву для свершений Исаака Ньютона, который родился в тот самый год, когда ушел из жизни Галилей.

III

Математизация науки 

Так как во всяком учении о природе имеется науки в собственном смысле лишь столько, сколько имеется в ней априорного познания, то учение о природе будет содержать науку в собственном смысле лишь в той мере, в какой может быть применена в нем математика.{28} Иммануил Кант
Если убеждение в том, что математические законы естествознания представляют собой истины, органически включенные господом богом в созданный им план Вселенной, и подвергалось каким-то сомнениям, то они были окончательно развеяны Исааком Ньютоном (1643-1727). Хотя Ньютон был профессором математики Кембриджского университета и по праву считается одним из величайших математиков всех времен, его значение как физика превосходит его математическую репутацию. Работы Ньютона положили начало новой эре и послужили основой новой методологии естествознания, отводившей математике более значительную и фундаментальную роль, чем это было прежде. 

В трудах Коперника, Кеплера, Декарта, Галилея и Паскаля было доказано, что некоторые явления природы протекают в соответствии с математическими законами. Все эти ученые не только были глубоко убеждены в том, что бог сотворил Вселенную по математическому плану, но и утверждали, что математическое мышление человека согласуется с божественными предначертаниями и потому пригодно для расшифровки этого плана. Философия (или методология) науки, господствовавшая в XVIII в., была сформулирована и подробно разработана Декартом. Именно Декарту принадлежит известное высказывание о том, что вся физика сводится к геометрии, которую и сам Декарт, и другие авторы той поры рассматривали как синоним математики. В то же время картезианство — научная методология Декарта, разделяемая большинством предшественников Ньютона, в том числе Гюйгенсом, отводила естествознанию автономную от математики роль, вменяя в обязанность человеку поиск физических объяснений явлений природы. 

Греки, главным образом Аристотель, также пытались объяснять явления природы с помощью физических понятий. Главенствующая в классическую эпоху теория утверждала, что вся материя построена из четырех элементов (земли, воздуха, огня и воды), наделенных одним или несколькими свойствами (тяжестью, легкостью, сухостью и влажностью). Наблюдаемое поведение материи объясняется различными сочетаниями этих свойств. Так, огонь стремится вверх, потому что он легкий, а земная материя падает, так как она наделена таким свойством, как тяжесть. К свойствам, которые греки приписывали четырем основным элементам, средневековые ученые добавили множество новых, например симпатию, вызывающую взаимное притяжение тел (железа и магнита), и антипатию, которой объяснялось взаимное отталкивание тел. 

Декарт отверг все эти свойства и стал утверждать, что все физические явления могут быть объяснены материей и движением. Существенным признаком материи Декарт считал протяженность, а так как протяженность измерима, то она может быть сведена к математике. Более того, протяженность не существует вне материи. Следовательно, пустота невозможна. Материя же взаимодействует с материей лишь при непосредственном соприкосновении и состоит из мельчайших невидимых частиц, различных по своим размерам, форме и другим свойствам. Так как частицы материи слишком малы и поэтому их невозможно наблюдать, для объяснения более крупных по своим масштабам явлений необходимо принять определенные гипотезы о поведении частиц. Все пространство заполнено частицами, образующими иногда скопления значительных размеров, например планеты Солнечной системы. Такова сущность теории вихрей Декарта. 

Декарт стал основоположником механистической теории. Его последователями были французский философ и священник Пьер Гассенди (1592-1655), английский философ Томас Гоббс (1588-1679) и голландский математик и физик Христиан Гюйгенс (1629-1695). Так, в «Трактате о свете» (1690) Гюйгенс попытался объяснить оптические явления, исходя из гипотезы, что все пространство заполнено частицами эфира, по которым — от одной к другой — передается движение света. Полное название сочинения Гюйгенса — «Трактат о свете, в котором объяснены причины того, что с ним происходит при отражении и преломлении, в частности при странном преломлении исландского шпата» [19]. В первой главе «Трактата о свете» Гюйгенс утверждает, что в истинной философии «причину всех естественных явлений постигают при помощи соображений механического характера», и добавляет, что, по его мнению, «так и следует поступать, в противном случае приходится отказаться от всякой надежды когда-либо и что-нибудь понять в физике» ([19], с. 12). Гассенди расходится во мнении с Гюйгенсом лишь в одном: он считает, что атомы движутся в пустоте. 

Физические гипотезы, касающиеся поведения мельчайших частиц, позволяли, по крайней мере в общих чертах, объяснить крупномасштабные явления в природе; однако они имели чисто умозрительный характер. Кроме того, физические гипотезы Декарта и его последователей были не количественными, а лишь качественными. Они позволяли объяснять явления, но не давали возможности предсказывать: результаты наблюдения или экспериментов для картезианцев всегда оказывались неожиданными. Лейбниц назвал весь свод подобных физических гипотез не более чем прекрасной выдумкой. 

Начало иной философии науки было положено Галилеем, который провозгласил, что наука должна стремиться к математическому описанию явления, а не к физическому объяснению его. Кроме того, физические принципы надлежит выводить из экспериментов и индуктивных умозаключений, сделанных на основании результатов опытов. Следуя этой философии, Ньютон под влиянием своего учителя Исаака Барроу изменил весь ход научного развития, приняв вместо физических гипотез математические посылки, что позволило делать достоверные предсказания, к которым призывал Фрэнсис Бэкон. Следует особо подчеркнуть, что свои математические посылки Ньютон выводил из экспериментов и наблюдений. 

Предтечей Ньютона был Галилей, изучавший свободное падение тела и движение тел, брошенных под углом к горизонту. Исаак Ньютон рассмотрел гораздо более широкую проблему, занимавшую умы ученых в середине XVII в.: можно ли установить связь между законами движения земных тел, открытыми Галилеем, и законами движения небесных тел, открытыми Кеплером? Идея о том, что законы любого движения должны следовать из небольшого числа универсальных законов, может показаться грандиозной и необычной, хотя религиозным математикам XVII в. она представлялась весьма естественной. Бог сотворил Вселенную, и все явления природы не могут не подчиняться единому плану творца. А коль скоро Вселенную создавал единый разум, то весьма вероятно, что все явления в природе протекают в соответствии с одним и тем же сводом законов. Математикам и естествоиспытателям XVII в., занятым разгадыванием плана творца, поиск некоего общего, скрытого за внешним различием движений земных и небесных тел, казался вполне разумным. 

Осуществляя свою программу поиска универсальных законов, Ньютон получил немало важных результатов в алгебре и геометрии. Особенно велик его вклад в создание дифференциального и интегрального исчисления (гл. VI). Но сколь ни значительны математические достижения Ньютона, все они были лишь средствами решения естественнонаучных проблем. Собственно математику Ньютон считал слишком сухой и скучной материей и видел в ней не более чем удобный способ выражения законов природы. Все свои помыслы Ньютон сосредоточил на поиске естественнонаучных принципов, которые можно было бы положить в основу единой теории движения земных и небесных тел. К счастью, как выразился Дени Дидро, природа удостоила Ньютона своим доверием. 

Разумеется, Ньютон был хорошо осведомлен о законах движения, установленных Галилеем. Но открытые Галилеем законы не могли служить сколько-нибудь надежным путеводителем. Из первого закона движения было ясно, что на планеты со стороны Солнца должна действовать какая-то сила притяжения, в противном случае каждая планета двигалась бы по прямой. Идея о силе притяжения, постоянно действующей на планеты со стороны Солнца, приходила в голову многим еще до того, как Ньютон приступил к своим исследованиям: Копернику, Кеплеру, знаменитому физику-экспериментатору Роберту Гуку, физику и известному архитектору Кристоферу Рену, астроному Эдмонду Галлею и другим. Предполагалось, что на дальние планеты эта сила действует слабее, чем на ближние, и что величина силы изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от Солнца до планеты. Но до Ньютона все размышления о силе тяготения не выходили за рамки чистого философствования.{29}

Ньютон принял гипотезу, высказанную его предшественниками, а именно: он предположил, что сила F взаимного притяжения любых двух тел с массами m и M, удаленных друг от друга на расстояние r, выражается формулой (1):