Теперь
- сама игра. Она состоит в следующем. В
средствах массовой информации объявляется
некоторый конкретный набор пластинок.
Далее предлагается, воспроизводя каждую
из пластинок набора в необходимом
количестве, приложить пластинки друг
к другу так, чтобы верхняя и нижняя
строчки иксов и зетов совпали друг с
другом. Первым пяти, приславшим решения,
будет выплачен внушительный приз.
Поясним
сказанное на примерах. Пусть объявленный
набор содержит всего только одну
пластинку A из приведённого выше
перечня. Ясно, что решение невозможно,
поскольку, сколько раз ни прикладывай
пластинку A саму к себе, нижняя
строка всегда окажется длиннее верхней.
По сходной причине решения не существует,
если объявленный набор состоит из одной
только пластинки D , только тут
длиннее будет верхняя строка. Желающие
могут попытаться доказать, что решения
не существует и в том случае, когда
объявленный набор состоит из двух
пластинок, A и D . А вот если
объявить набор из всех наших четырёх
пластинок A , D , C и D , то
решение существует. Действительно, если
сложить пластинки в таком порядке: DBCDA
, то и верхняя, и нижняя строка окажутся
одинаковы: zzzxxzzzzx .
Итак,
набор объявлен. Все хотят получить приз.
Но прежде, чем пытаться найти такое
расположение пластинок, при котором
верхняя и нижняя строки окажутся
одинаковыми, желательно узнать, возможно
ли такое расположение в принципе. Ведь
если оно невозможно, то бесперспективно
его искать, это будет пустой потерей
времени. Так вот, оказывается, что не
существует никакого эффективного
способа это узнавать. Не существует
(именно не существует, а не просто
неизвестен) такого алгоритма, который
позволял бы для любого объявленного
набора пластинок узнать, имеется ли
решение, то есть возможно или невозможно
сложить пластинки требуемым образом.
Для каждого отдельно взятого набора
пластинок задача узнать, к какой из двух
категорий этот набор относится - к той,
для которой решения имеются, или же к
той, для которой решений нет, - она, эта
задача, есть сугубо творческая задача,
своя для каждого такого набора, а общий
метод получения ответа для всех таких
задач отсутствует.
Глава
7. Парадокс Галилея, эффект Кортасара и
понятие количества
В детстве
меня иногда посещал следующий кошмар.
Мне представлялось большое число стульев
(наглядно - в виде стульев в партере
летнего театра). И вот их начинают
пересчитывать. Получают некоторое
число. Затем пересчитывают в другом
порядке и получают другое число. Кошмар
заключался в том, что при обоих подсчётах
не было ошибки.
Только
в университете я узнал, что невозможность
описанного только что явления составляет
предмет особой, и притом не слишком
просто доказываемой, теоремы математики.
А потом я прочёл “Записи в блокноте”
Хулио Кортасара. Там говорилось о
произведённой в 1946 или 1947 году операции
по учёту пассажиров на одной из линий
метро Буэнос-Айреса: “‹…›Было
установлено точное количество пассажиров,
в течение недели ежедневно пользующихся
метро. ‹…› Учёт производился с
максимальной строгостью у каждого входа
и выхода. ‹…› В среду результаты
исследований были неожиданными: из
вошедших в метро 113 987 человек на
поверхность вышли 113 983. Здравый смысл
подсказывал, что в расчётах произошла
ошибка, поэтому ответственные за
проведение операции объехали все места
учёта, выискивая возможные упущения.
‹…› Нет необходимости добавлять, что
никто не обнаружил мнимой ошибки, из-за
которой предполагались (и одновременно
исключались) четверо исчезнувших
пассажиров. В четверг все было в порядке:
сто семь тысяч триста двадцать восемь
жителей Буэнос-Айреса, как обычно,
появились, готовые к временному погружению
в подземелье. В пятницу (теперь, после
принятых мер, считалось, что учёт ведется
безошибочно) число людей, вышедших из
метро, превышало на единицу число
вошедших”.
При
дальнейшем чтении я, к сожалению,
обнаружил, что Кортасар предлагает
некое рациональное объяснение изложенному
им парадоксу; вот тут очевидное отличие
Кортасара от его старшего соотечественника
Борхеса (влияние коего Кортасар,
несомненно, испытал): Борхес не стал бы
искать рационального оправдания. “К
сожалению” сказано потому, что поначалу
мне показалось, что здесь выражена
глубокая идея о возможности, хотя бы в
фантазии, следующего эффекта: при очень
большом количестве предметов это
количество не меняется при добавлении
или убавлении сравнительно небольшого
их числа. И хотя, повторяю, приписывание
Кортасару открытия и опубликования
этого воображаемого эффекта оказалось
ошибочным, я всё же буду называть его
для краткости эффектом Кортасара;
тем более что такое название полностью
соответствует так называемому принципу
Арнольда, установленному нашим
выдающимся математиком Владимиром
Игоревичем Арнольдом: если какое-либо
явление или утверждение носит чьё-либо
имя, то это означает, что оно не имеет
своим автором носителя этого имени.
Предположение, что эффект Кортасара
имеет отношение не только к воображению,
но и к реальности, может показаться
бредом, но, как будет видно ниже,
сформулированное в нём явление
действительно имеет место, если очень
большое становится бесконечным.
Бесконечное
вообще следует - в понятийном аспекте
- трактовать как упрощённое представление
о конечном, но очень большом. А бывает
ли вообще бесконечное количество
предметов? Бывает ли оно в физической
реальности - этого никто не знает.
Количество звёзд во Вселенной - конечно
оно или бесконечно? Мнения расходятся,
и проверить, кто прав, довольно
затруднительно. В реальности же идеальной
- да, бывает. Например, бесконечен
натуральный ряд, то есть ряд
натуральных чисел 1, 2, 3, 4,… Предупредим
для ясности, что в этой главе, вплоть до
особого распоряжения, никаких других
чисел рассматриваться не будет, а потому
натуральные числа будут именоваться
просто числами .
Натуральный
ряд представляет собой, пожалуй, наиболее
простой пример бесконечной совокупности,
или, как говорят математики, бесконечного
множества . И уже в нём можно наблюдать
некоторые парадоксальные явления, в
частности - нарушение древней философемы
“Целое больше части”. На это обратил
внимание Галилей, описавший ситуацию
с полной отчётливостью и наглядностью.
В 1638 году вышла его книга “Беседы и
математические доказательства…”.
Изложение, в духе тогдашнего времени,
выглядело как запись бесед, которые в
течение шести дней вели между собою
вымышленные персонажи. В первый же день
была затронута тема бесконечности, в
том числе применительно к натуральному
ряду. Послушаем, что говорит один из
участников беседы, синьор Сальвиати:
“Сальвиати.
‹…› Мне пришёл в голову пример, который
я для большей ясности изложу в форме
вопросов, обращённых к синьору Симпличио,
указавшему на затруднения. Я полагаю,
что вы прекрасно знаете, какие числа
являются квадратами и какие нет.
Симпличио.
Я прекрасно знаю, что квадратами являются
такие числа, которые получаются от
умножения какого-либо числа на самого
себя; таким образом числа четыре, девять
и т. д. суть квадраты, так как они получаются
от умножения двух и соответственно трёх
на самих себя.
Сальвиати.
Великолепно. Вы знаете, конечно, и то,
что как произведения чисел называются
квадратами, так и образующие их, т. е.
перемножаемые, числа носят название
сторон или корней; другие числа, не
являющиеся произведениями двух равных
множителей, не суть квадраты. Теперь,
если я скажу, что количество всех чисел
вместе - квадратов и не квадратов -
больше, нежели одних только квадратов,
то такое утверждение будет правильным;
не так ли?
Симпличио.
Ничего не могу возразить против этого.
Сальвиати.
Если я теперь спрошу вас, каково число
квадратов, то
можно
по справедливости ответить, что их
столько же числом, сколько существует
корней, так как каждый квадрат имеет
свой корень и каждый корень - свой
квадрат; ни один квадрат не может иметь
более одного корня и ни один корень -
более одного квадрата.
Симпличио.
Совершенно верно.
Сальвиати.
Но если я спрошу, далее, каково число
корней, то вы не станете отрицать, что
оно равно количеству всех чисел вообще,
потому что нет ни одного числа, которое
не могло бы быть корнем какого-либо
квадрата; установив это, приходится
сказать, что число квадратов равняется
общему количеству всех чисел, так как
именно таково количество корней, каковыми
являются все числа. А между тем ранее
мы сказали, что общее количество всех
чисел превышает число квадратов, так
как ббольшая часть их не является
квадратами”.
“Что
же нужно сделать, чтобы найти выход из
такого положения?” - в растерянности
спрашивает еще один участник беседы,
Сагредо. Возможны два выхода. Первый
состоит в том, чтобы отказаться от
сравнения бесконечных количеств по их
величине и признать, что в отношении
двух таких количеств не следует даже и
спрашивать, равны ли они, первое ли
больше второго, второе ли больше первого,
- и то, и другое бесконечно, и этим всё
сказано. Такой выход и предлагает Галилей
устами Сальвиати. Но возможен и другой
выход. Можно предложить общую схему
сравнения любых количеств по их величине.
В случае конечных количеств эта схема
не будет расходиться с нашими привычками.
Для количеств бесконечных она тоже,
если вдуматься, не будет им противоречить
- хотя бы потому, что каких-либо привычек
оперирования с бесконечностями у нас
нет. Именно этот второй выход и принят
в математике. Забегая вперёд, укажем,
что если к квадратам добавить сколько
угодно не-квадратов, то полученная
расширенная совокупность чисел будет
равна по количеству исходной совокупности
квадратов (эффект Кортасара). Можно, в
частности, добавить все не-квадраты и
получить тем самым совокупность всех
чисел. Тем самым оказывается, что
количество всех чисел действительно
равно количеству квадратов - хотя
квадраты составляют только часть чисел.
Это явление - равенство по количеству
совокупности и её собственной части -
для конечных совокупностей невозможно,
для совокупностей же бесконечных
возможно, и сама эта возможность может
служить одним из определений бесконечности.
Только
что изложенное свойство бесконечных
совокупностей не столь трудно для
понимания, как это может показаться. И
сейчас мы попытаемся его объяснить.
Сама логическая конструкция проста,
изящна и поучительна. Мы надеемся, что
читатель согласится включить её в свой
интеллектуальный багаж, причём в качестве
носимой с собой ручной клади, а не
тяжеловесного предмета, сдаваемого в
багажное отделение.
Для
начала перестанем избегать термина
множество, как это мы делали до сих
пор, стыдливо заменяя его синонимом
“совокупность”. Множество состоит из
элементов, которых не обязательно много.
(Это в русском языке слова “множество”
и “много” однокоренные, а вот английское
“set” и французское “ensemble” не несут на
себе вводящего в заблуждение оттенка
множественности.) Возможны множества,
состоящие из одного только элемента, и
даже пустое множество, вовсе не
имеющее элементов. Зачем же рассматривать
такие патологические образования, как
пустое множество, спросит читатель. И
мы ему ответим: это удобно. Удобно иметь
право говорить, например, о множестве
слонов в зоопарке города N, не зная
заранее, есть ли в этом зоопарке хотя
бы один слон. Какое множество ни взять,
среди его частей присутствует и пустое
множество: так, среди частей множества
всех слонов земного шара присутствует
не только множество слонов московского
зоопарка, но и множество слонов любого
зоопарка, слонов не имеющего. Во избежание
недоразумений заметим, что пустое
множество одно: пустое множество слонов
и пустое множество мух представляют
собою одно и то же множество. (Совершенно
так же, как стакан газированной воды
без вишневого сиропа не отличается от
стакана газированной воды без апельсинового
сиропа; сравнение понятно для тех
читателей старших поколений, которые
ещё помнят торговлю газировкой на улицах
советских городов.)
Учение
о сравнении количеств элементов в любых,
а не только конечных, множествах целиком
принадлежит великому немецкому математику
и философу Георгу Кантору (1843 - 1918). Назвав
Кантора немцем, мы всего лишь следовали
укоренившейся традиции. Не вполне ясно,
как его следует называть. Его отец
родился в Дании, мать - в России. Сам он
также родился в России, а именно в
Санкт-Петербурге; в этом городе он провел
первые одиннадцать лет своей жизни, о
которых вспоминал с ностальгией. Вот,
скажем, Пьера Ферма, о котором говорилось
выше, в главе 2, можно было, не испытывая
сомнений, назвать французом: он всегда
жил во Франции, ей служил и говорил
по-французски; трудно представить, чтобы
Ферма ощущал себя кем-то иным, а не
французом. Кем ощущал себя Кантор -
загадка. Его биографы указывают, что
хотя свою взрослую жизнь он и прожил в
Германии, уютно ему там не было.
Выдающийся
российский математик Павел Сергеевич
Александров (1896 - 1982) писал: “Думаю, что
во второй половине XIX века не существовало
математика, оказавшего большее влияние
на развитие математической науки, чем
создатель абстрактной теории множеств
Георг Кантор”.
Учение
о бесконечном оказалось настолько
трудным, что привело его автора к тяжёлой
нервной болезни. В 1884 году у Кантора
начались приступы депрессии, а с 1897 года
он уже не публиковал научных работ. С
1899 года Кантор становится пациентом
нервных санаториев, а потом и клиник,
проводя в них всё больше и больше времени.
В одной из таких клиник он и скончался.
Любезному читателю это не грозит,
поскольку мы ограничимся началами.
Построения
Кантора основаны на чрезвычайно простой
мысли (которая, как и всякая гениальная
мысль, после своего осознания кажется
очевидной): понятие количества является
вторичным по отношению к понятию
равенства количеств. Не дболжно смущаться
тем, что в выражении “равенство количеств”
слово “количество” уже присутствует:
нас должна интересовать не лингвистическая
этимология терминов, а логическая
генеалогия понятий. Для установления
равноколичественности двух множеств
вовсе не нужно пересчитывать их элементы,
даже вообще можно не уметь считать. Для
примера представим себе двух первобытных
людей, один из которых располагает
стадом коз, а другой - стадом овец. Они
хотят обменяться своими стадами, но при
условии, что стада равноколичественны.
Счёта они не знают. Но это им и не нужно.
Нужно просто связать попарно овец и
коз, так чтобы каждая коза была связана
ровно с одной овцой, а каждая овца - ровно
с одной козой. Успех процедуры и означает
равенство количеств.
Пример
из первобытной жизни приводит нас к
важнейшему понятию эквивалентности
множеств . Говорят, что два множества
эквивалентны, если можно так
сопоставить друг с другом элементы
первого множества и элементы второго
множества, что каждый элемент первого
множества окажется сопоставленным
ровно с одним элементом второго множества