– Вы, люди, не цените то, что имеете, – огромное богатство чувственных ощущений. Попробовали бы вы пожить как я – без возможности насладиться вкусом еды, хмелем вина, гармонией звуков, симфонией оргазма… Вам все это дозволено, перед вами накрыт огромный стол с едой и питьем, но вы довольствуетесь сухой корочкой, вместо того чтобы пировать… К счастью, – продолжил черноокий, – в тебе, дружок, есть потенциал. Ты уже начал движение к обретению настоящей свободы. Но плохо то, что женщины, будем говорить откровенно, существа второсортные по отношению к мужчинам, имеют такую власть не только над тем органом, который предназначен для их удовлетворения, но и над твоим интеллектом. Посуди сам: Маргарита окрутила тебя на раз-два, Мирослава в секунду смела все твои доводы. Считай, на лоскутики порвала… Куда это годится, а?

«Друг» засмеялся, и его смех гулко понесся по каменной глотке донельзя узкой улочки, на отполированных временем стенах которой повторялась на разные лады надпись: «No fucking foto».

– А почему тут нельзя фотографировать? – озираясь, пробормотал Денис.

– По тем же причинам, что в хорошем магазине, – пожал плечами «друг с той стороны», указывая на бесчисленных дам, заполнявших тротуар. – Это тебе не зоопарк и не выставка достижений. Нечего фотографировать, выбирай и плати. Смотри, какие шикарные, ослепительные и обольстительные – просто как на подбор, на любой вкус. Фестиваль жизненных радостей, ярмарка удовольствий плоти. Но что есть дух, лишенный плоти? Как пар, лишь дунь – и он исчез…

– Но почему? – спросил Денис. – Зачем вы… то есть зачем ты приволок меня сюда?

– В целях общего развития, дружок, – пояснил его собеседник. – Чтобы ты понял, для чего вообще нужны женщины… явно не для того, чтобы они тебе указывали.

«Друг» взял Дениса под локоток и показал ему на окружающих их женщин, предлагающих себя:

– Жаль, что меня не спросили, когда называли эту улицу. Я бы назвал ее «улица Откровения». Это лицо вашего мира. Витрина. Здесь ты можешь увидеть человека таким, какой он есть на самом деле. Здесь вообще нет ни капельки лжи. Все по-честному – ты выбираешь, платишь, получаешь. Любую на выбор, одну, двух, трех, хоть целую улицу.

– Зачем? – не понял Денис.

– За шкафом, – ответил черноокий. – За тем шкафом, за который ты забился, прячась от реальной жизни, пытаясь превратить свое тело в гроб для души и ее прекрасных порывов. Идем.

Они выбрались из каменного чулка на более просторное место и прошли до следующей улицы среди беспечно гуляющих людей, таких же зевак, как они сами. Денис в изумлении уставился на окна-витрины на первом этаже. В каждой витрине и вправду находилась девушка в более чем легкомысленном одеянии. Конечно, он и читал об этом, и в интернете видел, но чтобы так?! Нет, они не были призывно-назойливыми, как, скажем, в не очень хорошем кино: «Пойди сюда, сладенький», и даже не подманивали воздушными поцелуйчиками. Просто они там жили. Словно в незабвенном «Доме-два», или сколько их там было?

Блондинка с косой и на высоченных каблуках разговаривала по мобильнику, то и дело заливаясь беззвучным благодаря витринному стеклу смехом. Рыженькая в голубом пеньюаре смотрела на проходящих мимо витрин и равнодушно улыбалась. Шатенка причесывалась, брюнетка в малиновом белье с пуховой оторочкой подкрашивала губы. Они были настоящими, и это была их работа. Вероятно, рутина. Деловой подход к вопросу был настолько очевиден, что Денис оторопел. Но… чем дольше он смотрел в витрины, тем больше понимал, что хочет если не каждую (все-таки «товар» был представлен разнообразнейший, и далеко не все во вкусе Дениса, хоть невидимые организаторы и старались сделать каждую даму универсально-привлекательной), то, во всяком случае, больше половины. Точнее, это его тело отзывалось желанием, а вот душа… Душа словно отвернулась, словно прикрыла лицо руками. Потому что это было слишком легко и обыденно, в сознании Дениса даже всплыло полузабытое слово «пошло». Но нет, не столько даже пошло, сколько действительно обыденно, как, например, выбирать в магазине гигиенические товары. Он понимал эту простоту со стороны, но не получалось вписать себя в эту картину. Любой голландец или турист запросто мог войти в любую дверь. А он, Денис, не мог. И не потому, что не было средств. Средства – вот они, рядышком стоят, только попроси…

– Что, уже не хочется? – поддел «друг». – Знаешь почему? Потому что доступно. А что доступно, то уже не так и интересно, правда? Согласен с тобой, кстати. Кроме того, ты на диво нравственный. Так ведь это и хорошо! Только нравственный человек сможет наиболее полно раскрыть тему, которую я тебе подсказал. Вот я, самый темный, самый ужасный и так ненавидимый человечеством персонаж, сейчас рядом с тобой. Я что, пускаю слюни и тащу тебя за руку в вертеп разврата?

Мартин Гарднер

Есть идея!

– Но ты же предложил? – в свою очередь попытался поддеть его Денис.

От переводчика

– Но ты же понимал, что это шутка, – с сомнением сказал «друг». – Если бы я взялся искушать тебя по-настоящему, ты никуда бы не делся, уж можешь мне поверить.

Причудливая логика научного открытия далека от логики формальной, а обстоятельства, сопутствующие прорыву на более высокую ступень познания, далеко не всегда соответствуют важности момента. Скрытая работа мысли происходит не только, в тиши кабинета, у чертежной доски и в рабочее время, но и в самой, казалось бы, неподходящей обстановке, и малейшего толчка извне иногда бывает достаточно, чтобы сумерки ожидания осветились яркой вспышкой мгновенного озарения и разрозненные фрагменты загадочной мозаики сложились в единую картину.

Кто не слышал о яблоке Ньютона, о паутинке, подсказавшей конструкцию сказочно легкого подвесного моста, об Эйнштейне, лихорадочно делающем выкладки на обратной стороне подвернувшегося под руку старого конверта? Из воспоминаний Пуанкаре мы знаем, что долго не дававшееся ему доказательство важной теоремы из теории автоморфных функций неожиданно было найдено, когда он занес было ногу на ступеньку автобуса. Из воспоминаний П. С. Александрова мы узнаём о том, как П. С. Урысон решил задачу, поставленную перед ним Д. Ф. Егоровым: дать топологическое определение линии и поверхности. После двух месяцев напряженных размышлений П. С. Урысон «проснулся с готовым, окончательным и всем теперь хорошо известным определением размерности. Произошло это в деревне Бурково, вблизи Болшево, на берегу реки Клязьмы… В то же утро, во время купания в Клязьме, П. С. Урысон рассказал мне [П. С. Александрову] свое определение размерности и тут же, во время этото разговора, затянувшегося на несколько часов, набросал план всего построения теории размерности с целым рядом теорем, бывших тогда гипотезами, за которые неизвестно было как взяться и которые затем доказывались одна за другой в течение последующих месяцев».

– Не ве… – начал Денис, но черноокий, вальяжно улыбаясь, протянул ему смартфон. На его экране было то, о чем Денис не рассказал бы даже Михе, – одна из его фантазий. Конечно, это был 3D-рисунок, но качественный, не уступающий фотографии. Денис почувствовал, что краснеет.

Проблемам психологии творческого акта в математике посвящена обширная литература, созданная трудами Ж. Адамара и А. Пуанкаре, Д. Гильберта и Дж. фон Неймана, Г. Харди и Д. Пойа, а также многих других математиков, философов и психологов. Теперь она пополнилась книгой Мартина Гарднера «Есть идея!»

– Думаешь, я не мог бы это устроить? – продолжал дьявол. – Легко, как пописать в канал, кстати, здесь это не запрещено, это тебе не зашоренный Питер… Так что не думай, что ты такой уж крепкий орешек – поймать тебя не так и сложно. Но я же не опереточный злодей, правда?

Замечательный американский популяризатор, бывший до недавнего времени бессменным редактором раздела «Математические игры» в журнале Scientific American, M. Гарднер во многом определил лицо современной занимательной математики, наполнив ее новым содержанием и максимально приблизив к математике серьезной. Книга «Есть идея!» выдержана в лучших, подлинно «гарднеровских» традициях. Ее отличает тщательный и умелый подбор материала, яркая занимательность формы, доступность и подлинная популярность, насыщенность новыми постановками задач, призванными пробудить творческие силы читателя, стимулировать его к самостоятельной работе, приобщить к радости открытия нового.

– А с Маргаритой? – заглянул в его глаза Денис. – Ведь самое настоящее искушение.

– А что Маргарита? – пожал плечами его визави. – Во-первых, кто тебе ее рекомендовал именно для постели? Я, что ли? Во-вторых, кто с ней спит? Опять-таки не я. И я ей, кстати, тоже не говорил, что она должна прыгнуть под тебя, как козочка в период гона. Скажем так, у Маргариты весьма передовые по нашим временам взгляды, хотя видел бы ты ее… раньше, ах, эти желтые мимозы… Прости, отвлекся. Да, Марго испытывает слабость к писателям, не отрицаю, но ведь работает она не здесь, а в «Аэгне», правильно? А что это значит? А это значит, что, как бы парадоксально это ни звучало, ты ее очаровал. И скажи, что ты этого не хотел. Давай, вали все на нее, я так хочу это послушать: «Не виноватый я, она сама пришла!»

М. Гарднер не следует ни одному из своих предшественников. Он не предлагает читателю схемы правдоподобных рассуждений, подкрепленных интереснейшими примерами индуктивных умозаключений из математического творчества Леонарда Эйлера, как Д. Пойа, не делится своими соображениями о природе математики и математических доказательств, как Г. Вейль и Дж. фон Нейман, не углубляется в психологию математического открытия, как Ж. Адамар и А. Пуанкаре. М. Гарднер учит читателя тому, чему, казалось бы, невозможно учить: высокому искусству нешаблонного, или, как предпочитает говорить сам Гарднер, «нелинейного» мышления, учит не рассказом, а показом, давая пищу не только уму, но и сердцу, вовлекая в игру, заставляя решать удивительные по красоте задачи, предлагая увлекательные темы для дальнейших размышлений.

– Не буду, – сказал Денис. – Я хотел этого. Но…

– Вечно у вас «но», – фыркнул черноокий. – Тысячи лет одно и то же: это жена меня соблазнила! Нет, это не я, это вот он – и тычет изящным пальчиком в несчастную змею, а ведь змея просто мимо ползла…

Можно надеяться, что для нашего читателя встреча с новой книгой М. Гарднера станет таким же праздником, какими были встречи с его предыдущими книгами.

Ю. Данилов

Денис потупился. По сути, его друг вновь оказался прав. Никто его в постель к Маргарите не тащил. Он сам…

Предисловие

– Будь честным, хотя бы сам с собой. – Дьявол поймал какого-то паренька, ни слова не говоря, сунул ему купюру и взял из ладони папиросу. Зажал зубами, и кончик ее затлел. – Это ты, это твой сознательный выбор, малыш. Но, заметь, я тебя не осуждаю, не хватаю за руку, чтобы, инфернально хохоча, утащить в предварительно разогретый котел с фритюром, правда? Я же не… этот… ваш… Ты человек, грешен и слаб по природе своей, зачем тебя еще и топтать? Вам же дай волю – вы не только себя покалечите, вы и весь мир сметете к чертям собачьим… Глянь вот на него, – дьявол ткнул перстом в проходившего мимо неформала. У этого представителя человеческого рода все лицо было в пирсинге – от подбородка к шее тянулись ряды колец, эдакая металлическая борода, серьги поблескивали в бровях, ушах, губах… у некоторых проколов кожа воспалилась, покрылась неприятной, заскорузлой коркой.

– Думаешь, я его на это надоумил? – улыбался дьявол. – Да я даже не знаю, как его зовут! Это его выбор, он может сделать этот выбор! И ты можешь сделать свой выбор.

– Тогда на кой ты меня сюда притащил? – удивился Денис.

«Творческий акт имеет мало общего с логикой или рациональными рассуждениями. Вспоминая обстоятельства, при которых их озарила блестящая идея, математики нередко отмечали, что вдохновение не имело прямого отношения к тому, чем они в это время занимались. Иногда озарение наступало в тот момент, когда человек ехал в транспорте, брился или размышлял о чем-нибудь другом. Творческий процесс нельзя по желанию довести до наивысшей точки или продлить самыми радужными посулами. Он проистекает особенно успешно, когда разум предается праздности и воображение свободно расправляет крылья.» Моррис Клайн Scientific American, март 1955 г.
– Чтобы ты кое-чего понял, – ответил его собеседник. – Знаешь, чем все они лучше, чем счастливее тебя? Тем, что сбросили дурацкие кожаные одежды, которые напялил на них милосердный Господь, и ходят нагими. И не стыдятся. Они нашли свой рай, в котором никто не запрещает обнажить израненную душу, чтобы кое-кому там, – черноокий ткнул сухим пальцем в хмурое, низкооблачное небо, – стало стыдно. А ты кутаешься в лохмотья своей убогой нравственности, на которых уже места нет от заплат, прикрывающих прорехи греха, бежишь от своих желаний, уходишь из своего рая, не дожидаясь конвоя из милых серафимов с саблями. Ну, что страшного-то в ваших с Маргаритой невинных забавах? Она тебе кто? Друг. Товарищ, можно сказать. Разве она мешает тебе? Кажется, наоборот, помогает: накормит, напоит, создаст атмосферу, а под конец еще и отлюбит. Это тебе мешает? Тогда при чем тут Маргарита? Это твои комплексы мешают тебе, это они – колючая проволока поверх забора вокруг твоего Эдема. Разве нет? Разве Маргарита хочет разрушить твою жизнь? С женой развести? Детей тебе нарожать? Да она идеальная любовница для такого, как ты. Муза, как Лилия Брик. У Мишки спроси. Да он молился бы, если бы ему такая попалась вместо тех алчных девиц, которые на него клюют. И то человек себе голову больной не делает, не то что ты…

Кажется, дьявол вошел в раж, но Денис не чувствовал никакой угрозы, исходящей от него. Хотя тот вроде бы и обвинял его в чем-то. Тем временем черноокий выпустил в не особо чистый воздух клуб дыма, показавшийся Денису похожим на сердце, каким его изображают на валентинках.

Психологи-экспериментаторы любят рассказывать историю об одном профессоре, который изучал способность шимпанзе решать задачи. В центре комнаты к потолку достаточно высоко, чтобы обезьяна, подпрыгнув, не могла достать его, был подвешен банан. В комнате не было ничего, кроме нескольких ящиков из-под фруктов, разбросанных как попало. Тест заключался в том, чтобы проверить, догадается ли шимпанзе составить из ящиков пирамиду в центре комнаты, взобраться на вершину пирамиды и схватить банан.

– Вот с чего ты мучаешься, вместо того чтобы работать себе и радоваться жизни? Видишь ведь, две книжки про скандинава уже закончил, третью начал, и пошла она, как лавина со склона. Умница, трудяга, правильно Маргарита говорит. И, главное, начал уже то, что нужно. Самое главное. Долго не решался, скромную девочку строил, но начал же, молодчина! И как начал! В нужном ключе, правильно. А то, что жена не оценила…

Он выпустил в воздух еще клуб дыма. Табак (если это был табак, в чем Денис сомневался) имел остро-смолистый, дегтярный запах.

Обезьяна тихо сидела в углу, наблюдая за тем, как экспериментатор расставляет ящики по комнате. Она терпеливо ждала, пока профессор не оказался посредине комнаты, и, когда тот проходил под бананом, внезапно вспрыгнула ему на плечи и, оттолкнувшись от него, взмыла в воздух, схватила банан и была такова.

– Ведь каждый человек имеет право на свое мнение. Она же не твоя тень и не должна рукоплескать всему, что ты делаешь… Я, конечно, понимаю, что тебе обидно. Все-таки жена. Маргарита оценила, поверила в тебя, а жена, получается, не верит. Но штука в том, дорогой мой друг, что твое разочарование в Мирославе питается твоими же мифами.

Мораль этой юмористической истории понять нетрудно: задача, которая кажется нам трудной, может Иметь неожиданно простое решение. Обезьяна могла руководствоваться природным инстинктом или накопленным опытом, но главное в том, что она сумела найти прямое решение задачи, которое ускользнуло от внимания профессора.

– Какими? – не понял Денис.

Суть математики — непрестанный поиск все более простых способов доказательства теорем и решения задач. Нередко первое доказательство какой-нибудь теоремы требует целой статьи объемом в 50 страниц убористого текста, доступного лишь посвященным. A через несколько лет другому математику, быть может даже менее знаменитому, приходит в голову блестящая идея, позволяющая упростить и сократить доказательство настолько, что оно умещается в нескольких строках.

– Теми, которые зародились в среде того, что вы называете «христианской культурой», и даже, стыдно сказать, цивилизацией, – терпеливо пояснил дьявол. – «И будут двое одной плотью» – ах, какая красивая заплатка, чтобы прикрыть срам желания присвоить человека, заставить свободную от природы женщину стать тенью своего господина – мужчины!

Черноокий задумчиво склонил голову и с тоской сказал:

Озарения такого рода, приводящие к кратким, изящным решениям, привлекали и продолжают привлекать внимание психологов. Наступают они внезапно, как гром среди ясного неба. Широкой известностью, пользуется история о том, как ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон, возвращаясь как-то вечером домой, изобрел на мосту кватернионы. Он внезапно понял, что в арифметической системе коммутативный закон отнюдь не обязательно должен выполняться. Рассказывают, что эта мысль настолько поразила Гамильтона, что он остановился на мосту как вкопанный и нацарапал основные формулы алгебры кватернионов на каменных перилах, «Высеченные в камне», эти формулы и Польше украшают исторический мост.

– А вот сейчас ты думаешь, что я непоследователен.

Что именно происходит в мозгу творческой личности, когда на нее нисходит озарение? Этого не знает пока никто. Озарение, взлет, интуитивное постижение истины — процесс довольно загадочный, не поддающийся попыткам расчленить его на составные части и воспроизвести при помощи ЭВМ, Современные 8 ЭВМ решают задачи, автоматически шаг за шагом выполняя огромнее количество операций в соответствии с командами, записанными в программе. Лишь невероятные скорости, с которыми ЭВМ выполняют элементарные операции, позволяют современным ЭВМ решать некоторые задачи, остающиеся непосильными для человека, так как решение таких задач потребовало бы от него несколько тысяч лет безостановочных вычислений.

Денис машинально кивнул.

– Видишь ли, – продолжил «друг», – я не считаю зазорным желание присвоить другого человека. Я лишь против, если хочешь, тех средств, которыми вы пользуетесь. Против пустых ритуалов и отживших форм отношений. Можешь очаровать, купить или взять силой женщину – я не вижу в том ничего предосудительного, но зачем обманывать ее выдумками попов о «вечной любви» и браке, заключенном на небесах? Не лучше ли быть честным?

Внезапное озарение, творческий взлет разума, перед которым, как при вспышке молнии, открывается простой и короткий путь к решению задачи, по самой своей природе выделяется на фоне общего темна развития. Как показали последние исследования, личности с особо сильной склонностью к такого рода озарениям обладают средним уровнем развития и никакой корреляции между высоким уровнем развития и способностью интуитивно постигать истину, по-видимому, не существует. Человек может обладать высоким I. Q.[1], измеряемым по обычным тестам, и более чем скромными способностями к нестандартному мышлению. С другой стороны, люди, не блещущие в остальном особыми талантами, могут обладать весьма ярко выраженной способностью к озарению. Например, Эйнштейн не отличался особенно глубокими познаниями в математике, и его оценки и в гимназии, и в цюрихском Политехникуме оставляли желать много лучшего. Тем не менее взлеты творческой фантазии, которые привели его к созданию общей теории относительности, были настолько мощными, что полностью революционизировали физику.

– Ты говоришь о честности, – сказал Денис, – но ведь тебя называют «отцом лжи».

В этой книге перед вами предстанет тщательно подобранная система задач, которые кажутся трудными и действительно трудны, если пытаться решать их традиционными методами. Но стоит лишь вам избавиться от оков традиционного мышления и воспарить до высот озарения, как перед вами откроются простые и ясные решения. Не следует особо огорчаться, если сначала задачи будут упорно не поддаваться решению. Не заглядывайте в ответ до тех пор, пока вам не удастся самостоятельно решить задачу. Постепенно вы постигнете дух оригинального, «нелинейного» мышления и, возможно, с удивлением почувствуете, что озарение стало нисходить на вас чаще, чем прежде. Если это произойдет, то довольно скоро вы обнаружите, что ваше умение находить нестандартные решения оказывается полезным во многих ситуациях, с которыми вы сталкиваетесь в повседневной жизни. Предположим, например, что требуется подтянуть ослабевший винт. Нужно ли непременно отправляться за отверткой или можно с успехом обойтись оказавшейся под рукой мелкой монетой?

Немалое удовольствие вы получите, предлагая задачи из нашего сборника своим друзьям и знакомым. Во многих случаях они будут долго размышлять над предложенной вами задачей, пока наконец не признают себя побежденными, а задачу безнадежно трудной. Когда же вы покажете им, что задача решается очень просто, они, без сомнения, получат большое удовольствие. Не исключено, что озарения каким-то образом связаны с удовольствием, получаемым от игры. Тот, кто умеет находить нестандартные решения, при встрече с головоломкой или трудной задачей испытывает радость, сравнимую с той, которая знакома любителям бейсбола или шахмат. Дух игры, по-видимому, предрасполагает к озарениям, позволяющим находить оригинальные решения.

– А тебя одноклассник Женька однажды назвал педерастом, – парировал дьявол, – но от этого у тебя не развилась тяга к мужчинам, правда?

Способность к нестандартному мышлению отнюдь не обязательно коррелирует с быстротой соображения. Тугодумы могут получать удовольствие от задачи ничуть не меньше тех, кто схватывает все на лету, и при поиске неожиданных решений могут оказаться сильнее «скородумов». Возможно, что удовольствие, получаемое при нестандартном решении задачи, побудит кого-нибудь к более глубокому изучению традиционных методов решения. Эта книга предназначена для любого читателя, наделенного чувством юмора и способностью понимать задачи.

– Все равно, – упрямо склонил голову Денис, – я не понимаю, зачем…

Несомненно, существует тесная взаимосвязь между озарениями и творческой деятельностью в науке, искусстве и любой другой области человеческой деятельности. Великие революции в науке почти всегда были и будут следствием неожиданного интуитивного постижения истины. Что такое наука, как не систематические попытки ученых решать те трудные задачи, которые поставила перед ними природа? Природа бросает вызов любознательности ученого, который пытается понять, как именно и почему происходит в природе то или иное явление. Ни изнурительный метод проб и ошибок, которым Эдисон подбирал подходящий материал для волоска своей электрической лампы, ни даже дедуктивные рассуждения, опирающиеся на соответствующие знания, во многих случаях не позволяют решить задачу. Решение, как правило, открывается неожиданно, и его по праву можно было бы назвать решением типа «Эврика». Восклицание «Эврика!» («Нашел!») заимствовано нами из древней легенды о том, как Архимед, сидя в ванне, открыл способ, позволяющий определить, сколько золота утаили мастера при изготовлении короны царя Сиракуз. Рассказывают, будто Архимед так обрадовался своему открытию, что выскочил из ванны и, забыв об одежде, бросился бежать по улице, крича: «Эврика! Эврика!»

– Затем, что на тебя давит чужое мнение, – ответил черноокий. – Ты слишком ему придаешь значение. Слишком стараешься всем угодить. Не надо так. Будь собой, за тебя это никто не сделает! Ты нужен таким, какой ты есть. Более того, когда не думаешь о том, как воспримут то, что ты делаешь, другие, твой талант раскрывается с максимальной полнотой. Ты обретаешь силу, обретаешь крылья… Подумай над этим…

Собранные в книге задачи разделены на шесть категорий: комбинаторные, геометрические, теоретико-числовые, логические, процедурные и словесные. Это категории не взаимоисключающие, они неизбежно перекрываются, и задачи, отнесенные нами к одной из них, можно было бы включить и в другие. Каждую задачу мы стремились облечь в форму какой-нибудь забавной истории, чтобы создать у читателя приятное настроение и тем самым вовлечь его в игру. Мы надеялись, что такое настроение позволит читателю с большей легкостью отринуть установившиеся, стандартные способы решения задач. Всякий раз, когда вам случится решать новую задачу, мы настоятельно рекомендуем обдумать ее со всех сторон, сколь бы странными и причудливыми ни казались иные подходы, вместо того чтобы напрасно тратить время на длинное и громоздкое решение.

– Силу, крылья… – с иронией повторил Денис. – Может быть, вот только никому не нужна эта сила. Что толку с того, что я напишу по-настоящему сильную книгу, если она не будет продаваться?

К каждой задаче с замечательными иллюстрациями канадского графика Джима Глена мы присовокупили несколько замечаний. В них речь идет о характере задач и показывается, как во многих случаях рассмотренная нами игровая ситуация связана с важными аспектами современней математики. В некоторых случаях мы предоставляем читателю возможность испытать свои силы на еще не решенных задачах.

– Это тебе главный редактор сказал, – «друг» не спрашивал Дениса, он утверждал. – Но, дружище, это – не более чем его мнение. Я могу назвать тебе нескольких авторов бестселлеров, которым говорили, что их книги не будут продаваться. Энн Райс, Стефани Майерс, да хотя бы и Джоанн Роулинг. Стивен Кинг… А насчет твоего ГлавВреда, тут я сам подумаю. Так что, будешь развлекаться, или ограничимся философией в будуаре?

Стремясь облегчить поиск нестандартных решений, мы хотим обратить внимание читателя на следующие вопросы, которые иногда могут служить своего рода путеводными нитями и позволяют хотя бы приблизительно систематизировать возможные подходы:

– Все-таки склоняешь меня к разврату, – констатировал Денис.

1. Нельзя ля свести задачу к более простому случаю?

Черноокий прижал ладонь к лицу:

2. Нельзя ли преобразовать задачу к изоморфной задаче, легче поддающейся решению?

– Да где тут разврат-то? Разве это может сравниться с банальным средневековым европейским аббатством, не говоря уж об античных оргиях? Думаешь, эти девочки несчастные от хорошей жизни, что ли, сюда подались?

3. Не существует ли для решения задачи какого-нибудь простого алгоритма?

4. Нельзя ли для решения задачи применить какую-нибудь теорему из другой области математики?

– Говорят, что проституцией занимаются те, у кого есть к ней склонность, – неуверенно сказал Денис.

5. Можно ли проверить правильность полученного решения на наглядных примерах или контрпримерах?

6. Какие аспекты задачи несущественны для решения и лишь отвлекают ваше внимание?

– Чушь, – ответил дьявол. – Устаревшие данные, современные психологи эту точку зрения отвергают. А в концепцию первородного греха я не верю и тебе не советую. Знаешь, как было на самом деле? Мужчина и женщина внезапно поняли, что привлекают друг друга не только как собеседники, но и в другом качестве, и, соединяясь в порыве страсти, забыли Бога, а Ему это не понравилось. А остальное придумали позже – древа там всякие… Ну не росли в Месопотамии ни яблоки, ни ананасы, ни виноград, ни гранаты. Там даже финики не росли.

Не будет преувеличением сказать, что в наше время многие склонны поддаваться все более сильному искушению сводить решение всех математических задач к составлению программ для ЭВМ. Современная быстродействующая ЭВМ, проделав исчерпывающий перебор всех возможных случаев методом проб и ошибок, действительно может решить ату или иную задачу за считанные доли секунды или за несколько секунд, но на составление хорошей программы и ее отладку потребуется несколько часов или дней. Составление программы также не всегда сводится к стандартным операциям и требует своих озарений. Но удачная идея может привести к решению задачи и без обращения к ЭВМ и сделать излишним составление программы.

– При чем тут финики? – Денис принюхался. Рядом отчетливо запахло травкой. Его собеседник это заметил:

Было бы печально, если бы блага НТР оказали на человечество растлевающее влияние и оно интеллектуально обленилось бы настолько, что утратило бы способность к творческому мышлению. Главная цель предлагаемой вниманию читателя подборки задач и состоит в том, чтобы предоставить ему широкие возможности для оттачивания и развития способности находить нестандартные решения.

– Не бойся, тут это вполне легально. Вся страна травку грехом не считает, смешно даже. Между прочим, моя сигарета тоже была, кхм, с добавками, и что? И, заметь, я тебе даже не предлагаю. Зачем на такие мелочи размениваться? Ладно, насчет похоти и разврата ты, я вижу, не настроен. Не буду настаивать – больше всего я уважаю в человеке его свободную волю. Пойдем-ка еще погуляем, тут очень красиво. Может, сувенир какой найдем для жены и детишек. Скажешь, редактор подарил, он у вас частенько по загранкам мотается и, скажу по секрету, в своих командировках подобные места отнюдь не обходит, скорее, наоборот.

…Ночной Амстердам был действительно очень красив. Отблески огоньков в каналах, мостики, арки, готические здания. В темноте на фоне глубокого, усеянного звездами неба остроконечные крыши казались вырезанными из бархатной бумаги.

Мартин Гарднер

Улочки, мостики, остроконечные крыши, музыка, огни…

Глава 1

Они свернули в очередной переулок. Перед ними возник небольшой магазин сувениров. Какая-то ерунда для туристов – брелки, магнитики. Хозяйка магазина поздоровалась по-английски, устало улыбнулась, повела рукой – мол, выбирайте, что душа пожелает. Внимание писателя привлек стенд с платками. Было там что-то интересное по цвету…

Комбинаторные находки

И тут в магазинчик зашла странноватая фигура. Женщина средних лет, ухоженная. Даже, пожалуй, не средних лет, а много старше… Очень загорелое лицо, крупные серьги в ушах, красная помада. Черное платье до колен, черные колготки, золотые босоножки на высоких каблуках, сумочка на цепочке через плечо. Пальцы украшены массивными кольцами, красный лак на острых длинных ногтях. Посетительница подошла к хозяйке магазина, как к знакомой, заговорила с ней.

Неожиданные решения задач на составление и перечисление комбинаций

Денис не мог понять, что не так. Но что-то явно было не так…

Комбинаторный анализ, или комбинаторика, занимается изучением способов составления комбинаций из предметов. Пожертвовав самую малость общностью, комбинаторный анализ можно определить как раздел математики, который занимается изучением способов объединения по заранее заданным правилам элементов в множества и свойств возникающих при таком объединении множеств.

– Это трансвестит, – вполголоса сказал ему на ухо его дьявол. – Не делай больших глаз, ты не провинциальная первокурсница. И вообще, не глазей так, неприлично. Смотри лучше, какой платок. Пожалуй, он один из немногих здесь не из числа китайского ширпотреба. Цвет какао. Вполне благородно, сдержанно. Мирославе должно понравиться… Возьми, а я отойду пока.

Например, наша первая задача сводится к установлению способов объединения в множества разноцветных шариков. Требуется найти наименьшие множества шариков, удовлетворяющие определенным условиям. Во второй задаче речь идет о способах установления очередности встреч между участниками турнира по настольному теннису, разыгрываемого по олимпийской системе (важный аналог этой задачи встречается при автоматической сортировке данных).

В руке писателя, словно сама собой, появилась купюра в сто евро. Вишняков посмотрел на нее, даже не осознавая, что это деньги. Уж очень еврокупюры походили на несерьезные фантики… Вишняков подумал, что, если бы это были доллары, его, как пить дать, покоробило бы – просто из-за того, что он как-то больше принимал их всерьез. И ему не понравилось бы, что ему суют деньги – небрежно, как папа дает первоклашке на карманные расходы… Впрочем, не сам он сюда захотел, почему бы и не воспринять это путешествие как приглашение в гости, и эти деньги – как часть приглашения?

Он присмотрел еще и сережки – перламутровые, с ручной росписью. Еще какую-то забавную игрушку Кате, Ванюшке маску монстра… Все это стоило гораздо меньше ста евро, ему даже вручили какую-то сдачу.

«Ну вот, – подумал Денис. – Теперь я турист. Что, собственно, я делал бы, купив сюда путевку? Делал бы то же самое. Бродил бы по улицам, глазел, покупал сувениры. Так что…»

В комбинаторном анализе часто требуется найти число всех возможных способов объединения предметов в множества по определенным правилам. С проблемой перечисления, как принято называть эту разновидность комбинаторных задач, мы познакомим читателя при подсчете числа различных маршрутов, которыми Сьюзен может следовать в школу. В нашем случае объединяемые элементы представляют собой прямолинейные отрезки маршрутов, проходимые по строкам или столбцам матрицы. Поскольку подсчет маршрутов связан с рассмотрением геометрических фигур, мы вступаем в область комбинаторной геометрии.

Его внимание снова привлекла фигура трансвестита. На этот раз Вишняков отчетливо увидел, что именно с тем было не так. Из-под подола платья свисал черный хвост с кисточкой… Какого черта?!

Комбинаторные аспекты присущи всем разделам математики, и не удивительно поэтому, что читатель обнаружит комбинаторные задачи во всех без исключения главах нашей книги. Так, существует комбинаторная теория чисел, комбинаторная топология, комбинаторная логика, комбинаторная теория множеств и даже, как мы увидим в последней главе, посвященной словесным играм, комбинаторная лингвистика. Особенно важную роль комбинаторика играет в теории вероятностей: без подсчета всех комбинаций нельзя было бы найти распределение вероятностей. Много задач по теории вероятностей собрано в книге Уитворта «Выбор и случай»[2]. Слово «выбор» в заголовке книги указывает на ее комбинаторный аспект.

Вишняков протер глаза, беспомощно оглянулся в поисках своего провожатого. Тот не преминул появиться, проследил за направлением вишняковского взгляда, крепко взял его под локоток и повлек на улицу, улыбаясь. Вокруг них хороводом кружились огни.

Вишняков несся как сквозь сон, не понимая уже, где сновидение, а где явь; его ноги, казалось ему, скользят над тротуаром. И почему-то он вновь оказался в квартале Красных Фонарей, перед витриной с полуобнаженной девушкой… поразительно похожей на Мирославу.

– А если бы она по воле случая, коими так изобилует жизнь, оказалась здесь, ты тоже клеймил бы ее позором? – сквозь клубы неизвестно откуда взявшегося дыма услышал Денис и… проснулся.

Самая первая задача в нашей книге также имеет непосредственное отношение к теории вероятностей: ведь, в ней требуется указать комбинацию цветных шариков, которая с полной гарантией (то есть с вероятностью, равной 1) позволила бы удовлетворить определенным требованиям. Читая нашу книгу, нетрудно убедиться в том, что из простых вопросов о перечислении способов объединения предметов по тому или иному признаку возникает поистине безбрежное море вероятностных задач. Перечисление маршрутов, по которым Сьюзен могла бы следовать в школу, тесно связано с треугольником Паскаля и теми применениями, которые он находит при решении элементарных задач теории вероятностей.

Настроение было смутным, не сказать, отвратительным. Впечатления от прогулки по красотам голландских улиц напрочь смазались последним видением. И вопрос под занавес. Вопрос, на который у Вишнякова не было и, пожалуй, никогда не будет ответа…

На столе стоял бумажный пакет с сувенирами из Амстердама.

Число комбинаций, дающих решение данной комбинаторной задачи, очевидно, может быть равно нулю, единице, любому конечному числу и даже обращаться в бесконечность. Например, нечетное число ни одним способом невозможно представить в виде суммы двух четных чисел. Число 21 представимо в виде произведения двух простых чисел одним и только одним способом. Число 7 представимо в виде суммы из двух целых положительных чисел тремя различными способами (слагаемые каждой из трех допустимых комбинаций нанесены на противоположные грани игральной кости). Существует бесконечно много пар четных чисел, сумма которых четна.

Почему-то не хотелось встречаться с Мирославой взглядом. Он просто не представлял, что ей сказать. Но точно знал, куда он хочет пойти. И уже начал проворачивать в голове темы, которые хотел бы там обсудить.

* * *

Клиника «Душевный покой» действительно располагала к покою. Удобные мягкие диванчики в светло-голубых тонах, доброжелательный персонал.

Найти «доказательство невозможности», то есть доказать, что не существует ни одной комбинации с требуемыми свойствами, в комбинаторном анализе зачастую бывает чрезвычайно трудно. Например, лишь недавно удалось, доказать, что для правильной раскраски стран на плоской карте достаточно четырех красок. «Проблема четырех красок» долгое время оставалась знаменитой нерешенной задачей комбинаторной топологии. Решить ее, то есть найти «доказательство невозможности», удалось лишь после того, как была составлена специальная, необычайно сложная программа для ЭВМ.

Доктор Степанов, психотерапевт, «мозгоправ», у которого неожиданно нашлось в расписании окошко, оказался внимательным и улыбчивым, располагающим к беседе, и Денис тоже сразу повеселел и успокоился.

– Знаете, мне последнее время кажется, что у меня с головой не в порядке, – довольно бодро начал Денис.

С другой стороны, многие комбинаторные задачи, для которых найти «доказательство невозможности» на первый взгляд кажется необычайно трудным делом, при правильном подходе решаются легко и просто. В задаче «Упрямые плитки» мы увидим, как простая «проверка на четность» сразу же приводит к доказательству неразрешимости задач, найти которое другим путем было бы нелегко.

– А что так? – дружелюбно произнес Степанов. – Вернее, почему вы так решили?

– Ну, как вам сказать, – задумавшись, с чего бы начать, произнес Денис. – Понимаете, я писатель, и последнее время не то чтобы неприятности, а просто неразбериха.

Вторая задача о непригодных пилюлях вскрывает комбинаторный характер рассуждений, связанных с использованием различных систем счисления. Как будет показано, и сами числа, и их цифровая запись в позиционной системе счисления зависят от некоторых комбинаторных правил. Более того, любое дедуктивное умозаключение, будь то в математике или в формальной логике, оперирует с комбинацией символов, выстроенных в «строку» по определенным правилам. Эти правила позволяют решить, допустима ли та или иная строка символов в рассматриваемой теории или недопустима. Именно поэтому отец комбинаторики Лейбниц называл искусство строить умозаключения комбинаторным искусством — ars combinatoria.

– Давайте попробуем вместе разобраться в вашей неразберихе, – предложил психотерапевт, и Денис, уже совершенно расслабившись, поведал ему для начала о том, как складывалась его писательская карьера (по вполне понятным причинам не распространяясь ни о Маргарите, ни о знакомце из кафе «Баста»). О том, как нынче мучает его роман «Дьявол в сердце ангела» и как навязчивы его, Дениса, мысли о нем – и о самом романе, и о том, как он со временем трансформировался, и об отношении к этой трансформации жены.

Разумеется, Вишняков не стал рассказывать и о своих заграничных прогулках с «другом»; его целью совершенно не было прямо из кабинета психиатра отправиться в желтый дом. Он представил их в виде вполне реалистических сновидений. Рассказал, правда, и про бессонницу, и про визит в аптеку, и о том, как чуть не угодил под машину, и даже о посещении таинственного гробовщика.

Доктор Степанов спокойно слушал, иногда задавая уточняющие вопросы.

Жевательная резинка

– Ну и что мне со всем этим делать? – смущенно развел руками Денис в финале рассказа. – Я совсем безнадежен?

Миссис Джонс не повезло: ее близнецы заметили автомат для продажи разноцветных шариков жевательной резинки прежде, чем миссис Джонс успела миновать его.

– Вот что я вам скажу, – после непродолжительного молчания ответил доктор. – Эти так называемые случайности, такие, как ваш странный неотесанный гробовщик, допустим, резонанс с энергетическими полями. Которые суть отражение ваших тревожных мыслей. Не делайте больших глаз, мой дорогой Денис Витальевич, – да, это не ортодоксальная наука, но специалисты совершенно не отвергают этого резонанса. Но углубляться, пожалуй, не будем, это заведет нас в дебри метафизики, а прежде чем куда-то войти, следует задуматься, как выходить будешь. А мы же с вами хотим, наоборот, вернуться в реальность, не так ли? Так вот, о чем говорит нам реальность. Не нахожу я у вас ни депрессивного расстройства, ни расстройства шизофренического спектра, ни бреда, ни каких-то аффективных проявлений.

– А как вы это определили? – наивно осведомился писатель, испытывая в душе не то чтобы облегчение (он ведь все-таки много утаил), но определенно чувствуя поддержку.

Первый близнец. Мама, купи мне жевательную резнику!

– Мы же с вами только что поговорили, – склонил к плечу голову доктор Степанов, – и это был разговор с профессионалом. Всякий специалист моего уровня легко определит наличие того или иного отклонения путем простого опроса. Заметьте, я сказал «отклонения», что вовсе не означает наличие патологии. В мире полно людей, проживших вполне нормальную, адекватную жизнь, имея то или иное отклонение психики. У вас этого нет.

– Отрадно слышать, – улыбнулся Денис, – но если я такой здоровый, чего же я такой больной?

Второй близнец. И мне, и мне! Я хочу шарик такого же цвета, как у Билли.

– Понимаете… – Степанов поудобнее устроился на стуле и с видимым удовольствием продолжал консультацию. – Да, вы склонны к размышлениям, к самоуглублению и даже к философии, но к психопатологиям такая склонность не имеет никакого отношения. Состояние, подобное вашему, часто бывает у творческих личностей: кризисы, метания, бессонные ночи. Главное, не сдерживать творческий порыв, дать ему выход. Судя по тому, что вы мне рассказали, ваш роман настойчиво просится на свет, и не надо этому препятствовать. Именно то, что вы не даете ему родиться, и есть причина вашего невротического состояния. Делайте то, что должны делать. У вас, писателей, есть прекрасная возможность посчитаться с миром за все свои неврозы – просто вернуть миру все то, что он вам дал, на страницах своих книг. Выплесните же то, что копилось годами, посчитайтесь с миром.

Денис немного обескураженно потер кончик носа:

Автомат был почти пуст. Предугадать, какого цвета шарик выпадет, если опустить в щель автомата монету в 1 пенс, невозможно. Сколько однопенсовых монет придется приготовить миссис Джонс, чтобы из купленных шариков заведомо можно было выбрать 2 шарика одного и того же цвета?

– Но… Доктор, а вам не кажется, что с точки зрения морали подобный образ дьявола… я имею в виду положительный образ, в художественном произведении недопустим?

Потратив 6 пенсов, миссис Джонс заведомо могла бы извлечь из автомата 2 красных шарика; 4 пенса ушли бы на «добывание» 4 белых шариков, а 2 пенса — на 2 красных шарика. Израсходовав 8 пенсов, миссис Джонс заведомо получила бы 2 белых шарика. Следовательно, миссис Джонс необходимо приготовить 8 центов. Правильно?

– А почему нет? – пожал плечами специалист. – Не вижу тут никаких противоречий. И не мне вам объяснять, что настоящее творчество не терпит рамок. К тому же то, что мы привыкли называть моралью, с точки зрения психотерапии вещь совершенно не безобидная. Мораль, как утверждают мои западные коллеги, – источник неврозов, состояний аффекта и прочих травмирующих психику переживаний.

– Простите, – не понял Вишняков, – вы хотите сказать, что моральность… вредна?

Нет, не верно! Если бы первые два шарика, выкатившиеся из автомата, были разного цвета, третий шарик непременно совпал бы по цвету с одним из них. Следовательно, миссис Джонс необходимо приготовить всего лишь 3 пенса.

– Не сама моральность, – улыбнулся доктор, – а костное, некритичное следование ей. Но вы, по сути, в своем произведении говорите именно об этом. Так что лично я с нетерпением стану ждать выхода вашего романа. И буду, так сказать, волонтером в деле его рекламы. Судя по тому, что вы мне рассказали, – архиполезнейшая вещь должна получиться!

Предположим теперь, что в автомате осталось 6 красных, 4 белых и 5 синих шариков. Сможете ли вы подсчитать, сколько монет в 1 пенс следует приготовить миссис Джонс, чтобы среди выкатившихся из автомата шариков заведомо нашлось 2 шарика одного и того же цвета?

Денис даже не знал, что на это ответить, а доктор продолжил:

– Однако я понимаю, что ваше творчество является источником хронического стресса, потому считаю нужным выписать вам… – в процессе разговора доктор достал из папки бланк рецепта и стал его заполнять, – …скажем, такое мягенькое средство. Просто для стабилизации сна и общего состояния. Попейте дней семь или десять, но не больше. Собственно, если и больше, то привыкания не возникнет, только ограничьтесь четырьмя неделями. А потом можно принимать разово, по необходимости, а не из паники, мол, без таблетки никуда, – доктор коротко глянул на Дениса, отрываясь от рецепта. – Не думаю, что вы подвержены неконтролируемым приступам паники – у вас совершенно иной тип. Художник вы, дорогой мой Денис Витальевич, просто художник… творец, может, и демиург, посмотрим по результатам…

По-вашему, ей хватит 4 центов? А что вы скажете о бедной миссис Смит, которая безуспешно пыталась отвлечь от автомата для продажи жевательной резинки внимание своей тройни?

«Ну вот, затарился на весь год, – почти довольный, подумал Вишняков, забирая бланк. – И успокоительным, и снотворным».

– Скажите, пожалуйста, а вот это снотворное? – рискнул писатель вытащить из кармана заветный пузырек; несмотря на мнение Аноры, он предпочел перестраховаться. – Не опасно?

На этот раз в автомате находились 6 красных, 4 белых шарика и лишь 1 синий шарик. Сколько монет достоинством в 1 пенс следует приготовить миссис Смит, чтобы среди купленных шариков заведомо были 3 шарика одного цвета?

– Ну-ка, ну-ка, – заинтересовался психотерапевт. – Ну, что я могу сказать, повезло, у нас такого, увы, и не продают, и не производят… м-да… Как говорится, «все для людей»… Призраки зависимости не дают нашим законодателям покоя, притом что в более прогрессивных странах уже легализуют легкие наркотики. У нас же даже обсуждать это – уже табу, а любое табу – гвоздь в тот крест, на котором общество распинает личность. А вам, повторяю, повезло. Не смею задерживать. Приятно было познакомиться, и с нетерпением жду результат вашего труда! Кстати, можно уточнить, как называется ваша книга, которая про скандинава? Племяннику подарю, да и сам почитаю на досуге. Думаю, что у писателя вроде вас вряд ли могут получаться плохие книги. Ведь главное в книге – здравый рассудок ее автора, тогда и сюжет будет осмысленным и гладким.

Денис сказал, психотерапевт черкнул на листочке календаря себе пометку и дружески кивнул писателю, прощаясь.

Сколько центов?

«Подумать только, – пронеслось в голове Дениса, когда он покидал кабинет. – А ведь доктор-то говорит почти то же самое, что и «друг с той стороны»… Так, может, ну их, эти сомнения? Только вот Мирослава…

Вторая задача о шариках жевательной резинки лишь незначительно отличается от первой. Идея решения второй задачи по существу та же: первые три шарика могут быть разного цвета (например, один шарик может быть красным, один синим и один белым). Это наименее благоприятный случай, так как к достижению желаемого результата ведет самая длинная последовательность испытаний. Четвертый шарик заведомо совпадает по цвету с одним, из трех первых шариков. Итак, чтобы 2 шарика оказались одного и того же цвета, необходимо купить 4 шарика. Следовательно, миссис Джонс следует приготовить 4 цента.

Обобщение на случай n множеств шариков (каждое множество составляют шарики одного цвета) очевидно: если имеется n множеств шариков, то следует быть готовым к тому, что придется купить n + 1 шариков (чтобы 2 шарика заведомо были одного и того же цвета).

Третья задача потруднее двух предыдущих. У миссис Смит не близнецы, а тройня. В автомате находятся б красных, 4 белых шарика и 1 синий шарик. Сколько монет достоинством в 1 цент должна приготовить миссис Смит, чтобы среди шариков, выданных автоматом, заведомо были 3 шарика одного цвета?

Как и прежде, начнем с рассмотрения наименее благоприятного случая. Миссис Смит может получить из автомата 2 красных, 2 белых шарика и 1 синий шарик, то есть всего 5 шариков. Шестой шарик должен быть либо красным, либо белым и, следовательно, подходить по цвету к ранее выпавшим из автомата либо 2 красным, либо 2 белым шарикам. Значит, миссис Смит должна приготовить 6 центов. Если бы синих шариков в автомате было не меньше двух, то в наименее благоприятном случае миссис Смит могла бы сначала извлечь из автомата по 2 шарика каждого цвета, и, чтобы получить 3 шарика одного и того же цвета, ей непременно понадобился бы седьмой шарик.

«Неожиданное» решение — это своего рода «прозрение», позволяющее оценить длину серии испытаний в наименее благоприятном случае. Ту же задачу можно было бы решить и более сложным способом: обозначить каждый из 11 шариков «своей» буквой, выписать все возможные варианты выдачи шариков из автомата и установить, в каком случае длина цепочки испытаний до появления трех шаров одного цвета имеет наибольшую длину. Но при таком решении потребовалось бы перебрать 11! = 39 916 800 последовательностей всех возможных исходов испытаний. Если мы условимся не различать шары одного цвета, то и тогда при таком подходе пришлось бы перебрать 2310 последовательностей возможных исходов.

Обобщение задачи на случай, когда требуется определить наименьшее число монет, при котором из выданных автоматом шаров заведомо можно выбрать k шариков одного цвета, приводит к следующему решению. Если имеются шары n цветов (шаров каждого цвета не меньше k), то для получения k шаров одного цвета необходимо выбрать не более n(k − 1) + 1 шаров. Читателю доставит удовольствие самостоятельно исследовать, что произойдет в том случае, если шаров одного или нескольких цветов будет меньше k.

Задачи этого типа можно промоделировать не только на автоматах для продажи жевательной резинки, но и многими другими способами. Например, сколько карт необходимо вытащить из колоды в 52 листа, чтобы 7 карт заведомо были одной масти? Здесь n = 4, k = 7, и наша формула дает ответ? 4(7–1)+1=25.

Мы рассмотрели лишь очень простые комбинаторные задачи, но и они приводят к интересным и трудным вопросам теории вероятностей. Например, какова вероятность извлечь 7 карт одной масти, если вы вытаскиваете из колоды, не возвращая, n карт, где n — любое число от 7 до 24? (Вероятность извлечь 7 карт одной масти, очевидно, равна 0, если из колоды вытащить менее 7 карт, и равна 1, если вытащить более 24 карт). Как изменятся вероятности, если мы условимся возвращать каждую извлеченную карту и тщательно тасовать колоду перед тем, как вытягивать из нее очередную карту? Более трудный вопрос: каково математическое ожидание (среднее по длинной серии испытаний) числа карт, которые необходимо извлечь (с возвратом или без возврата) из колоды, чтобы k из них заведомо были одной масти?

Турнир по настольному теннису

Пять членов клуба любителей настольного тенниса средней школы им. Милларда Филмора решили провести между собой турнир по олимпийской системе.

Тренер составил таблицу розыгрыша турнира, снабдив ее следующими пояснениями.

Тренер. Пять — число нечетное, поэтому в первой круге один участник турнира свободен от игры. Еще один участник свободен от игры во втором круге. Таким образом, всего за турнир будет сыграно 4 партии.

На следующий год в спортивный клуб записалось 37 школьников. Тренер снова составил таблицу розыгрыша турнира, постаравшись свести до минимума число участников, которые переходят в следующий круг без игры. Сколько партий было сыграно за весь турнир на этот раз?

Как, вы еще не сосчитали? А ведь задача решается просто! В каждой партии проигравший выбывает, а поскольку дли того, чтобы определить победителя, следует исключить всех участников, кроме одного, то за весь турнир должно состояться 36 партий. Не правда ли, все очень просто?

Сколько участников турнира перейдут в следующий круг без игры?

Если вы пытались решить задачу о турнире по настольному теннису «в лоб», составляя различные варианты таблиц розыгрыша турнира с 37 участниками, то, должно быть, заметили, что независимо от способа составления таблицы число участников, переходящих в следующий круг без игры, всегда равно 4. В общем случае число участников, для которых в очередном круге не хватает партнера, есть функция от числа n всех участников турнира. Кате установить, сколько участников вынуждены будут перейти в следующий круг без игры?

При заданном n число участников, остающихся без партнера, можно определить следующим образом. Вычтем из n наименьшую степень числа 2, которая больше или равна n. Полученную разность запишем в двоичной системе. Число единиц в двоичной записи и будет равно числу участников турнира, вынужденных перейти в следующий круг без игры из-за нехватки партнера. В нашей задаче мы вычтем 37 из 64 (то есть из 2⁶) и получим разность, равную 27. Десятичное число 27 в двоичной системе имеет вид 11011. Поскольку в его записи 4 единицы, то за весь турнир без игры в следующий круг перейдут 4 игрока. Обоснование этого алгоритма для определения числа участников, которым не хватает партнера, мы предоставляем читателю в качестве интересного упражнения.

Ну а что Мирослава. Я же не ребенок, который зависит от чужого мнения, право слово».

Описанный в задаче тип турнира иногда называют «игрой на вылет». Он аналогичен алгоритму, который вычислители, работающие на современных ЭВМ, используют для нахождения наибольшего элемента в множестве из n элементов: наибольший элемент находят, сравнивая попарно элементы множества и отбрасывая при очередном сравнении тот из двух элементов, который не больше другого. Как мы уже знаем, чтобы найти наибольший элемент, достаточно произвести ровно n − 1 попарных сравнений. При автоматической сортировке сравнивать можно не только по 2, но и по 3, 4 и т. д. элемента.

– …Вишняков-то повесился, – внезапно уловило его ухо, и писатель вздрогнул.

В коридоре поликлиники сидели и разговаривали ожидающие своей очереди две пациентки.

Автоматическая сортировка играет важную роль в вычислительной математике и в информатике. Ей посвящено немало книг. Каждый из нас без труда назовет длинный перечень примеров применения автоматической сортировки. Подсчитано, что примерно четверть машинного времени в научных и в технических расчетах затрачивается на решение задач, связанных с сортировкой данных.

– Кто, простите, повесился? – внезапно охрипнув, осведомился Денис.

– Да у нас в подъезде жилец с шестого этажа, пьющий такой, Вишняков Егор, взял да и повесился недавно, – словоохотливо пояснила одна из них. – А вот сходил бы к доктору Ивановой, так, может, и не повесился бы!

Дениса передернуло. Два Вишняковых разом – это как-то многовато. И удавленник, как вишенка на торте… Снова! Везет ему на удавленников нынче…

Стаканчики профессора Квиббла

– Подождите! – переспросил Денис. – Какая еще Иванова? Ведь фамилия врача Степанов.

Как-то раз продавец прохладительных напитков Барни предложил двум покупателям следующую задачку.

Пациентки переглянулись и уставились на писателя, точно он с луны свалился. Денису показалось, что одна из них сейчас покрутит пальцем у виска. Он опрометью бросился обратно к кабинету. На табличке было четко написано: «Иванова О.С., психотерапевт».

Денис, как безумный, рванул на себя дверную ручку и ворвался в кабинет. На него из-за докторского стола в изумлении взирала полная дама около шестидесяти, с высокой пышной прической.

Барни. Перед вами 10 бумажных стаканчиков, расставленных в ряд. В первые 5 стаканчиков я наливаю кинки-колу, остальные 5 стаканчиков остаются пустыми. Можно ли переставить 4 стаканчика так, чтобы пустые и полные стаканчики чередовались?

– Вы Ольга Сергеевна? – рявкнул писатель. – Иванова? Мозгоправ?

– Психотерапевт, – сухо и неприязненно поправила дама, более чем неодобрительно смерив взглядом конфликтного посетителя. – А в чем дело? Я принимаю по записи, и сейчас у меня пациент.

Писатель диковато воззрился на сидящего на кушеточке тощего мужика в клетчатой рубашке. Тот подмигнул Вишнякову и… вдруг показал ему язык. Это не лезло уже ни в какие ворота. Ну, конечно же, ему показалось!

– Извините, – все так же резко гаркнул Денис, чувствуя себя буквально на грани помешательства, и поспешил покинуть поликлинику, чтобы не слышать больше рассуждений об удавленниках и не видеть галлюцинации. Дались они ему, преследуют на каждом шагу, ну их к черту…

Видения! Рецепт, который выписал ему этот лже-Степанов, – это что, тоже галлюцинация?

Он опрометью ворвался в знакомую аптеку. В окошечке виднелись обе продавщицы-фармацевта, и Анора, и Лена. Они переглянулись.

«Ну, точно подумают, что я ку-ку…» – вздохнул писатель и протянул в окошечко рецепт, уже ожидая подвоха. Однако рецепт оказался настоящим.

– А чем вам наша Ольга Сергеевна не угодила, – поинтересовалась бойкая Лена, пока Анора отошла за лекарствами, – что вы аж в Ховрино к Степанову поехали?

– Какая-то она… Сухая, – ответил Денис, вспомнив доктора Иванову. Ховрино? Интересно… – А что, что-то не так?

– Да нет, я понимаю, – ответила Лена. – Правильно сделали, что поехали. Хорошее успокоительное. Побочных эффектов нет, и спится после приема хорошо. Главное, наутро ни сонливости, ни рассеянности, просыпаешься, как огурчик. У меня брат принимал, когда вернулся из…

Дослушивать Денис не стал. Хорошее средство? Ну и замечательно…

«Пусть-ка «друг» тоже отдохнет», – с толикой злорадства подумал Денис, купил любимый Катюшкой зефир в шоколаде и решительно пошагал домой.

Глава 4. Когда надежды больше нет…

Продолжение метаний. О здоровье физическом. Ужасная новость. Кто творит чудеса?

Утром его старенькая машина снова не завелась.

«Вот и нечего спихивать на потустороннее, – усмехнулся Денис. – Просто паршивая техника, надо бы уже задуматься о чем-то поприличней. Неужели я такой неудачник, что и на новую машину не наскребу. Ну, пусть на подержанную, но и не такое ведро…»

Ему надо было заскочить в «Аэгну» и договориться о выездном семинаре в Питере. До этого оставалось три месяца, но кое-какие бумажки требовалось подписать уже сейчас, чтобы отделаться и заняться работой вплотную. Визит к мозгоправу все-таки вышиб его из колеи, и Денис неделю маялся практически без дела, то глядя какие-то дурацкие фантастические фильмы с Ваней, то не менее дурацкие мультики с Катюшей.

Мирослава прекрасно видела, что муж, грубо говоря, валяет дурака, но ей просто было спокойно, что он, по крайней мере, дома. Книжки продолжали продаваться потихоньку, Мальковы приходили в гости с хвалебными речами и пирогом с капустой…

Денис откровенно скучал, потому что нет ничего хуже принимать гостей, с которыми нет общих тем для разговоров. Но и откреститься от этого не получалось, потому что прослыть невежливым или зазнавшимся Вишнякову совершенно не хотелось, а мыслей в голове не было никаких, хотя третью книгу Денис уже худо-бедно начал.

До издательства он добирался на общественном транспорте – чуть-чуть на метро, чуть-чуть на автобусе и немного пешком. Утешало то, что не надо было торчать в пробках. По дороге два раза звонил телефон. Оба раза это была Маргарита, и оба раза Денис не ответил. Вся страсть, которую он когда-то питал к ней, вдруг улетучилась, а по работе можно было списаться. Он, конечно, понимал, что поступает не просто малодушно, но и глупо. Все-таки у них был служебный роман, а не слезливая мелодрама с обещаниями жениться или незапланированной беременностью, и лучше бы просто и так же по-деловому объясниться. Но редко какой мужчина способен развязаться с ненужными отношениями, тем более Денис. Ему проще было попытаться выбросить все это из головы, а саму голову спрятать в песок – почему бы нет. «Нам детей вместе не крестить, – повторял он про себя как утешительную мантру, пока у него трезвонил сотовый, а на экране пульсировало имя Маргариты».

Уже подходя к дверям, он набрал номер редакции. Главреда не было на месте, зато секретарь Марина сказала, что все документы готовы, только подписать. И, радуясь, что так легко и быстро отделался, Вишняков поставил закорючки и поспешно покинул «Аэгну».

Но не успел он свернуть к остановке, как услышал доносившиеся неподалеку звуки траурного марша. Через несколько секунд показалась и сама похоронная процессия. Множество людей в черном шли по улице, первые в колонне несли венки. Четверо держали на плечах гроб и двигались с особенной мрачной торжественностью.

«Странно, – поежился Вишняков. – Точно старое кино… Кажется, сейчас это совсем не так делается…»

Процессия тянулась мимо него, отрезая ему путь и не давая возможности пойти другой дорогой, и помимо своей воли он оказался втянутым в водоворот этого шествия.

У идущих за гробом были скорбные лица, многие, не сдерживаясь, плакали, и от этого Денису стало совсем не по себе. Чужое горе, конечно, не так трогает, как собственное, но когда вокруг царит такая скорбная атмосфера, трудно оставаться в стороне.

– Такая молодая, – переговаривались вполголоса люди.

– Какое несчастье, – эхом раздавалось то здесь, то там.

– Что случилось? – не выдержав, вполголоса спросил у кого-то Вишняков, чувствуя, как к горлу подступает дурнота, а ноги становятся ватными.

– Рак, – бесцветно уронил кто-то рядом.

– Рак, – тихим разноголосым эхом пронеслось по толпе. – Такая молодая…

«Да что происходит?!» Вишняков совершенно отчаялся покинуть процессию. Словно запутавшись в паутине, он пробирался наперерез, лавируя, боясь толкнуть или задеть, но все же толкая и задевая, а люди шли сплошной стеной, и сдавленные рыдания повисли над головами, точно тучи, набухшие дождем. Бледные лица расплывались, словно стертые, на них черными пятнами, точно провалы в черепе, зияли глазницы; темные фигуры обступили писателя со всех сторон; казалось, еще немного, и его просто раздавят… Но трель сотового, так внезапно и непристойно бодро зазвеневшего среди плаксивого бормотания, моментально отрезвила Дениса. Он внезапно увидел впереди просвет и немедленно скользнул туда ужом, и несколько метров еще пробежал по инерции, задыхаясь, как вынырнувший с большой глубины. Телефон все звонил, и Денис поспешно выдернул его из кармана. Мишка!

– Мишка, слава богу! – вырвалось у него.

– Как сам, мужик? – традиционно поприветствовал его приятель. – Ты что-то пыхтишь, словно от толпы чертей удирал.

– Да тут… похуже чертей… – буркнул Вишняков. – Даже рассказывать не буду…

– Тачка-то твоя как? – хохотнув, поинтересовался Мишка.

– Накрылась совсем, – радуясь перемене темы, отозвался Денис, все еще тяжело дыша и оглядываясь. – Да и бог с ней, с тачкой. Так вроде бы все в порядке, но тараканы в голове взбунтовались.

– А ты их дустом, дустом, – посоветовал друг на полном серьезе, и Вишняков расхохотался от внезапного облегчения. Мишка всегда мог разрядить атмосферу, даже очень напряженную.

– Я чего звоню-то, – продолжил он. – У нас тут проект запускают, серия видеоинтервью с литераторами, так что повезло тебе опять засветиться. Пусть местечково, но помелькаешь, не помешает. Не напрягайся только, что ты задерганный такой вечно-то, а?

– Столкнулся с похоронами, приятного мало, – поделился Вишняков, все еще не в силах отойти от пережитого.

– А, понятно, – отозвался Мишка. – Ну, не знаю там, в магазин сходи, принеси домой макарон, что ли… И Мирке хорошо, и ты мозги разгрузишь…

«А почему бы и нет», – решил писатель и зашел в гастроном.

Он терпеть не мог ходить по магазинам и радовался, что жена с удовольствием занимается закупками. Но сейчас праздное шатание между полок, уставленных какими-то банками, коробками и пакетами, в которых сам черт бы не разобрался, действительно его успокоило. В магазине царила до того обыденная мирная суета, что Денис в скором времени и думать забыл о неприятной встрече и явился домой с двумя пакетами продуктов.

Ваня тут же зарылся носом в пакет, отыскивая вкусняшки, а Катюша с визгом повисла на отце.

– Что за шум, а драки нет? – весело выглянула из кухни Мирослава. – О! Кормилец пришел, вот это да! А я как раз супчик довариваю твой любимый, соляночку.

– А я… а я, наверное, отложу свой роман, – неожиданно решил Денис, тут же озвучив это решение. – Ну, который «Дьявол в сердце ангела», и подумаю еще.

– Может, оно и к лучшему, Дениска, – осторожно заметила Мирослава. – Тема глобальная, и иногда вылежавшийся текст править гораздо лучше. И вылезает все то, от чего глаз замыливается.

– И то верно, – легко согласился он.

– Кроме того, я страшно не люблю с тобой спорить, – шепнула Мирослава.

Они обнялись и постояли в прихожей. Вокруг них сразу заскакала Катя: «Обнимашки, обнимашки!» Они засмеялись.

– Я купил там… разбери, пожалуйста, пакеты. В общем… У меня идея. Я сейчас…

Вишняков, торопливо раздевшись, нырнул в макбук и с ходу погрузился в третьего по счету «Олафа». Он назвал его «Олаф на перепутье», и скандинав как раз опоминался от драки, в которую втянул его друг, балагур и забияка, прозванный «молотом Тора». Частично Денис писал его с Мишки…

«Утро выдалось паршивенькое», – бодро настучал Денис.

– Зашлю-ка я его в будущее, – пробормотал он. – А потом вообще зашвырну по мирам шататься… Нет, лучше пусть вдвоем отправляются. А попадут они туда с помощью одной вредной карги…

Мирослава, разбиравшая пакеты, задумалась. «Кормилец» принес три пачки спагетти, пять одинаковых вафельных тортов, четыре пачки маргарина, чипсы, сухарики, лимонад, пять пар кухонных резиновых перчаток для мытья посуды и бутылку коньяка.

«Вот так наши мужчины ходят по магазинам», – подумала Мирослава и вздохнула.

Вслух она не сказала ничего, потому что была хорошей женой…

* * *

После столь странного визита к психотерапевту Денис с опаской отложил свой роман подальше. К тому же «Олаф на перепутье» неожиданно стал писаться столь быстро и лихо, что макбук, казалось, просто задымится.

Маргарита звонила несколько раз – напоминала о вебинарах по писательскому мастерству, которые она же ему и устраивала. Денис крутился у телефона, как жук на булавке. А когда она спросила, как продвигается его главный роман, Вишняков неожиданно для себя самого рявкнул:

– Роману труба! Редактор наотрез. И помощи ждать неоткуда, да и незачем. Я думаю, что затея эта бесперспективная. И дома эту мысль поддерживают. Извини, пожалуйста, я работаю, не хочу вылетать, мне потом собираться трудно…

– Это ты извини, – кротко ответила Маргарита и отключилась.

И Денис действительно погрузился в третью книгу про героя-скандинава настолько глубоко, что не сразу понял, что с Мирославой что-то происходит.

Лишь дня через два он заметил, что она перестала напевать, крутясь по домашним делам. Да и дети как-то попритихли. В принципе его даже устраивало, что дома стало тише обычного, но, присмотревшись к жене, он увидел ее непривычную бледность и намечающиеся темные круги под глазами.

– Что-то случилось? – спросил он перед сном, и тут она расплакалась.

– Я боюсь, – шепотом, чтобы не разбудить детей, сказала она. – Я была недавно на плановом осмотре у врача, и… в общем, мне велели сдать дополнительные анализы.

– В смысле? – переспросил Денис, до которого не сразу дошло то, что сказала Мирослава.

– Если без подробностей, то это гинекология. Они… они подозревают рак, – прошептала Мирослава и, закрыв лицо руками, беззвучно зарыдала.

Дениса буквально подбросило с места, он немедленно вспомнил, как его втянуло, словно в воронку омута, в черную похоронную процессию. «Такая молодая… Рак…» – эхом прозвучали в голове отзвуки призрачных голосов.

«Нет», – негодующе ответило сознание. Рак, по мнению Дениса, являлся приговором. Крахом всего. Это же… Нет, этого не будет!

Мозг заработал, как компьютерная программа, настроенная на поиск решения.

Вишняков вспомнил недавние разговоры в «Аэгне», какие-то письма, все, что в последнее время имело отношение к медицине и клиникам.

– Я пока не сказала ничего родителям, – всхлипывала в него Мира, а Денис гладил ее по голове, близкий к панике. – Там такой анализ… с тройным тестом… И вот все три теста оказались положительные, а это значит плохие… Я так боюсь…

– Тихо-тихо-тихо… Тут самое главное – это план, – успокаивал он жену, а мысли скакали как бешеные. – А план будет такой: ничего пока никому и не говори. Не надо. Сами справимся. Завтра с утра я обзвоню всех, кого знаю. Нужна клиника хорошая, специалисты и лекарства. А главное, начать все это вовремя и не запускать. Тебе результаты выдали на руки?

– Да, я забрала… – всхлипывая, ответила Мира.

– Ты прямо сейчас можешь их мне дать? – уточнил Денис.

– Да, конечно… – Мирослава с растерянным видом сходила за сумкой и протянула мужу несколько разнокалиберных листков. – А зачем тебе?..

– Я для начала сделаю копии, – пояснил Денис, – и завтра отнесу знакомым, которых вспомнил. Хорошо, что МФУ дома есть…

После выхода первой книги родители Мирославы подарили им компактный МФУ. Дареному коню, конечно, в зубы не смотрят, но Денис про себя недоумевал, зачем им дома такая техника. Он же писатель, а не офисный работник… Кто бы мог подумать, что этот аппарат теперь пригодится именно таким образом.

Мира, успокоенная бурной деятельностью мужа и тихим жужжанием светокопира, который выплевывал свежеотпечатанные копии документов, перестала всхлипывать.

– Постарайся уснуть. – Обеспокоенный Денис смотрел на осунувшееся лицо жены.

– Я не могу спать третий день, не получается, – пожаловалась жена. – И тебе мешать не хотела, ты же пишешь…

– Ты просто растерялась, – решительно сказал Денис. – Ты, что ли, не понимаешь, что так нельзя было? Как маленькая… Я тебе снотворного дам. Ты знаешь, какое оно классное! У-у, его даже у нас и не производят. И Анора, и Лена из аптеки, да и мозгоправ один в голос говорят, что мне с этим лекарством повезло, так что давай глотай, будешь спать как младенец. А младенца Катьку положим сегодня рядышком, она, глядя на тебя, тоже утихомирится, и будете с ней на пару сопеть…

Мирослава послушно проглотила таблетку.

Денис дождался, пока дыхание жены и Катюшки, котенком приткнувшейся к маме под мышку, станет ровным, заглянул к Ване, удостоверился, что там тоже все хорошо, и сел за ноутбук, отключив телефоны. Так. Третьего и четвертого «Олафа» ему придется сделать за рекордно короткие сроки, и романы должны стать убойным… чтобы его жена могла жить. А для этого потребуются деньги…

Так быстро он еще никогда не работал. Когда Вишняков, бывало, отпускал себя во все тяжкие, текст всегда шел как по маслу. Герои, казалось, оживают и действуют самостоятельно, а он только следит за тем, чтобы они не вильнули в сторону от намеченного плана. Раньше, как порой замечал Денис, стоило ему зазеваться, и персонажи иногда устраивали «бунт на корабле». Приходилось переписывать по нескольку страниц. Но сейчас он точно следил за кадрами зубодробительного кино и просто записывал то, что проносилось у него перед глазами. Пальцы носились над клавишами, взгляд не отрывался от монитора…

…Вишняков не сразу понял, что за окном уже рассвело. Встал, потянулся так, что хрустнули все косточки, протер красные воспаленные глаза. Их словно засыпало песком, но спать не хотелось. Он сохранил текст, посмотрел статистику и присвистнул. Да, похоже, сегодня он превзошел сам себя. Три с половиной авторских листа за одну ночь! Работал на чистом адреналине. И вроде сюжет гладко пошел, хоть и виражи крутые… Да, это не ново, но таки отправил он Олафа на Великую Отечественную. Пусть-ка скандинав за нашу Родину повоюет, то-то у фрицев глаза на лоб полезут… Особенно от дружка его, «молота Тора»… Пусть и Валентин Валентиныч выпучит глаза, когда Вишняков принесет ему в клюве свежеиспеченный третий роман про неистового варвара! Уже скоро, написано почти две трети.

Заглянул в обе комнаты, посмотрел, как там Мира, Катя и Ваня. Все трое мирно спали.

Наскоро перекусив и оставив дома сонное семейство, Вишняков схватил распечатки, копии анализов и помчался буквально по всем клиникам – пока тем, что находились ближе к дому. В первых же двух подтвердили – анализы не просто плохие, а однозначно онкология, причем в запущенной стадии. Сердце глухо сорвалось в какую-то пропасть. Да этого просто не могло быть!

И Денис набрал номер, который набирать ему хотелось в самую последнюю очередь – это был депутат, курировавший детские сады и школы. Он, который в свое время благосклонно отнесся к Денисовым опусам про скандинава, Вишнякову устроили «встречу со школьниками», где присутствовали местные реконструкторы… которые, после того как автор зачитал им фрагменты первой книги, сразу же на нее, что называется, «запали». И это Денис считал настоящим знаком качества, почище любой премии – не секрет, что фанатики-реконструкторы зачастую лучше разбираются в истории, чем профессора, что студентов учат…

Впрочем, зря Вишняков переживал – депутат оказался неплохим дядькой, отнесся по-человечески к Денисовой беде и продиктовал ему другой номер. Это был специалист как раз в той области, которая требовалась Мирославе, гинекологической онкологии. Доктор медицинских наук, некий Синельщиков Виктор Семенович.